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1、,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,一 条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。,吸烟有害健康,S,AB,B,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,条 件 概 率,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 1 盒中有4
2、个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次则该试验的所有可能的结果为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,设A=第一次取出球的标号为 2 B=取出的两球标号之和为 4 则事件B所含的样本点为(1,3)(2,2)(3,1)因此事件B的概率为:,若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:,由于已知事件A已经发生，则该
3、试验的所有可能结果为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的 因此，有必要引入下面的定义：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。在例 1 中，我们已求得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,还可求得,故有,返回主目录,条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 2已知某家庭有3
4、个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,则,所以,解：设 A=3个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,两个事件的乘法公式,由条件概率的计算公式,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率解：,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基
5、本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,S,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,定义 设 S 为试验 E 的样本空间，为 E 的一组事件。若满足(1
6、)(2)则称 为 样本空间 S 的一个划分。,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,S,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公
7、式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,Bayes 公 式,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的
8、结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 8 用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌，已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 8（续）,解：由已知，得,所以，由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 9,袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出
9、几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率解：设：B=取出的球全是白球,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例9（续）,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机
10、的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解：设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,解：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,
