概率论与数理统计第一章课件.ppt

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1、概率统计,概率论与数理统计,第一章_1,第一节 随机试验,第二节 样本空间、随机事件,第三节 频率与概率,第四节 等可能概型（古典概型）,第五节 条件概率,第一章 概率论的基本概念,第六节 独立性,第一章_2,第一章 概率论的基本概念,确定性现象：,统计规律性,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象.,在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象.,Section1_1,随机试验：,第一节 随机试验,随机试验，简称 试验.,试验可在相同的条件下重复进行；,满足以下三个特点的试验称为,每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能,结果是明确可知的；,进行一次试

2、验之前不能确定哪一个结果会出现.,Section2_1,第二节 样本空间、随机事件,随机试验 E 的所有可能结果所组成的 集合 称为,试验 E 的 样本空间.记为 S 或.,样本空间的元素，即 E 的每一个结果称为 样本点.,一、样本空间,例1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.,=H,T,例2.将一枚硬币抛掷三次,观察正反面出现的情况.,=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,Section2_1_1,例3.将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数.,=0,1,2,3,例4.抛一颗骰子，观察出现的点数.,=1,2,3,4,5,6,例5.观察某天通过某路口的汽车的数

3、目.,=0,1,2,3,例6.在区间0,1上任取一数，观察所取到的数.,=x|0 x 1,Section2_2,试验 E 的样本空间 的子集，或试验 E 的满足某,些条件的可能结果的集合，称为 E 的 随机事件，简称,事件.,二、随机事件,在每次试验中，当且仅当 事件中的 一个样本点,出现 时，称这个 事件发生.,基本事件：,由一个样本点组成的单点集.,必然事件：,样本空间，,即每次试验一定发生的事件.,不可能事件：,空集，,即每次试验一定不发生的事件.,Section2_2_1,随机事件与集合,样本空间=：全集,样本点：中的元素,随机事件 A：由具有某些,特性的样本点 所组成的样本,空间 的

4、一个子集，即 A.,A,Section2_2_2,例7.将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之,和超过 2 为止.写出样本空间与事件,A=恰好抛掷骰子一次.,解：,=3,4,5,6,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,111,112,113,114,115,116,A=3,4,5,6,Section2_3,1.包含,含义：事件 A 发生必然导致事件 B 发生.,三、事件间的关系与事件的运算,若 A B，则称 事件 B 包含事件 A.,若 A B 且 B A，则称事件 A 与事件 B 相等，,记作 A=B.,Section2_3_1,事件 AB 发生.,事件 B 的

5、 和事件 或 并事件.,2.和（并）,含义：当且仅当事件 A、B 中至少有一个发生时，,事件 AB=|A 或 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的和事件；,称 为可列个事件 的和事件.,Section2_3_2,事件 AB 发生.,事件 B 的 积事件 或 交事件.,3.积（交）,含义：当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时，,事件 AB=|A 且 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的积事件；,称 为可列个事件 的积事件.,Section2_3_3,事件 AB 发生.,4.差,含义：当且仅当事件 A 发生、事件 B 不发生时，,事件 B 的 差事件.,事件 AB=|A 且 B

6、 称为事件 A 与,Section2_3_4,5.互不相容（互斥）,含义：事件 A 与事件 B 不能同时发生.,互不相容 的，或 互斥 的.,若 AB=，则称事件 A 与 事件 B 是,可列个（有限个）事件 两两互不相容.,Section2_3_5,6.对立（互逆）,含义：在每次试验中，事件 A 与事件 B 必有 一个,互为 对立事件 或 互为 逆事件.,若 AB=且 AB=，则称事件 A 与事件 B,发生，且 仅有 一个发生.,事件 A 的对立事件记作：.,注意：,AB,Section2_3_6,例1.将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数.,令 A=两次掷出的点数相同，B=点数之和为 10,C

7、=最小点数为 4.,写出该试验的样本空间.,用样本点表示事件 A,B,C 以及 AB,ABC,AC,CA,A(BC).,解：,=11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,Section2_3_6_1,A=11,22,33,44,55,66,B=46,55,64,C=44,45,46,54,64,AB=11,22,33,44,55,66,46,64,ABC=,AC=11,22,33,55,66,CA=45,46,54,64,

8、A(BC)=11,22,33,44,55,66,46,64,Section2_4,2.交换律：AB=BA，AB=BA.,四、事件运算的性质,3.结合律：A(BC)=(AB)C，,A(BC)=(AB)C.,4.分配律：A(BC)=(AB)(AC)，,A(BC)=(AB)(AC).,1.吸收律：若 A B，则 AB=A，AB=B.,（交 取小，并 取大）,Section2_4_1,6.双重否定律：.,差积转换公式：.,直和分解公式：将一事件分解为若干个互不相,5.德摩根律：.,其它的重要性质：,容事件之和.,Section2_4_2,例2.设 A,B,C 为三个事件，试用 A,B,C 表示,下列事

9、件：,A,B 中 A 发生；只有 A 发生.,A,B,C 中至少有一个发生；恰好有一个发生.,A,B,C 中至少有两个发生；恰好有两个发生.,A,B,C 中最多有一个发生.,A,B,C 都发生；都不发生；不都发生.,A,B 中至少有一个发生，但 C 不发生.,解：,A；,A+B+C；,Section2_4_2_1,AB+BC+AC,Section2_4_3,第 2 次出现正面.,只有第 2 次出现正面.,第 2 次才出现正面.,正面出现 2 次.,例3.将一枚硬币抛掷三次，设 表示第 i 次出现,正面(i=1,2,3)，试用 表示下列事件：,解：,Section2_4_4,例4.设 A,B 为

10、两个任意事件，化简下列事件并,说明其含义：,.,.,解：,Section3_1,第三节 频率与概率,定义 在相同的条件下，进行 n 次试验，在这 n 次,一、频率,试验中，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的 频数.,比值 称为事件 A 发生的 频率，记作.,频率具有以下 性质：,；,；,若 是两两互不相容的事件，则,Section3_2,定义 设试验 E 的样本空间为，对于 E 的任意,二、概率,一个事件 A 赋于一个实数 P(A)，称为事件 A 的 概率,如果集合函数 P()满足以下 三条公理：,非负性：对于任意事件 A，有 P(A)0；,规范性：对于必然事件，有 P()=1；,可列

11、可加性：对任意两两互不相容的事件列：,，有,Section3_3,三、概率的基本性质,对于不可能事件，有 P()=0；,设 A,B 是两个事件，若 A B，则有,的事件，则有,有限可加性：若 是两两互不相容,对于任一事件 A，有.,注意：由 P(A)=0 不能推出 A 是不可能事件.,Section3_3_1,加法公式：对于任意两事件 A,B 有,求逆公式：对于任一事件 A,有,减法公式：对于任意两事件 A,B 有,Section3_3_2,直和公式：对于任意两事件 A,B 有,Section4_1,第四节 等可能概型（古典概型）,设随机试验 E 的样本空间为，如果 E 满足：,有限性：只包含

12、有限个基本事件.,则称试验 E 为 等可能概型 或 古典概型.,等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.,对于古典概型，事件 A 的概率为：,Section4_2,例1.将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率：,恰好有一次出现正面.,恰好有二次出现正面.,至少有一次出现正面.,解：,=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,Section4_3,1.加法原理,假设完成一件事情有 n 种不同的方式，而第 i 种,排列组合的基本知识,方式又有 种不同的方法，则完成,这件事情共有 种不同的方法.,2.乘法原理,假设完成一件事情必须经过 n 个不同的步骤，而,第 i 个步骤又有

13、种不同的方法，则,完成这件事情共有 种不同的方法.,Section4_3_1,3.排列,不允许重复的排列：从 N 个 不同 的元素中任,允许重复的排列：从 N 个不同的元素中有放回,取 m(m N)个进行排列，排列数为,地任取 m 个进行排列，排列数为.,4.组合,不允许重复的组合：从 N 个 不同 的元素中任取,m(m N)个进行组合，组合数为,Section4_4,例1.（取球模型）,设一袋中装有 4 个红球，5 个白球.现按下列三种,方式从袋中任取 3 个球，求取出的球中有 2 个红球，,1 个白球的概率.,一次取 3 个.,一次取 1 个，取后不放回.,一次取 1 个，取后放回.,解：

14、,无序,有序,Section4_4_1,注意：,有序与无序 要统一.,不放回地一次取一个，取 n 次,放回与不放回 结果不同.,与一次取 n 个 结果相同.,Section4_5,例2.（抽签问题）,设一袋中有 10 个球，其中白球 2 个，黑球 8 个.,从中随机地逐一取球，取后不放回，求第 8 次取到白,球的概率.,解：,注意：抽签的结果与抽签的顺序无关.,Section4_5_1,例如 某商店有 10 件商品，其中有 3 件一等品，,先后有 2 位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件.,求下列事件的概率：,第 1 位顾客买到一等品.,第 2 位顾客买到一等品.,Section4_6,例3

15、.（取数问题）,事件的概率.,三个数字中不含 0 和 5.,三个数字中不含 0 或 5.,三个数字中含 0 但不含 5.,从 09 十个数字中任取 3 个不同数字，求下列,解：,Section4_6_1,或者,Section4_7,例4.（组数问题）,从 09 十个数字中任取 4 个数字，求能排成一个,四位偶数的概率.,解：,Section4_8,例5.（分配模型）,将 m 个球随机地放入 N（m N）个盒子中，每个,盒子可放入任意多个球.试求下列事件的概率.,某指定的 m 个盒子各有一个球.,恰好有 m 个盒子各有一个球.,某指定的 k（k m）个盒子各有一个球.,某指定的一个盒子中恰好有

16、k（k m）个球.,解：,Section4_8_1,Section4_9,将 3 封信随机地投入到 4 个空邮筒中，求邮筒中,信的最大数量分别为 1，2，3 封的概率.,对于 分配问题：将 m 个不同的球随机地分配到,N 个不同的盒子里，分配方案数 为,每个盒子可容纳任意多个球：.,每个盒子最多可容纳一个球：.,类似的问题：生日问题，住房分配问题，乘客乘车,（电梯）问题.,Section4_10,例6.设事件 A、B、C 满足,则 P(AB C)=_.,解：,由于,又,得,得,所以,Section4_11,例7.设事件 A,B 仅发生一个的概率为 0.3，且,P(A)+P(B)=0.5，求 A

17、,B 至少有一个不发生的概率.,解：,由于,又,所以,得,Section4_12,解题思路：,利用概率的性质与公式.,利用公式求概率.,解题方法：,确定试验的基本事件的结构特征.,计算基本事件总数与事件 A 包含的基本事件数.,古典概型中事件概率求解的思路与方法：,利用对立事件.,直接计算基本事件数.,将复杂事件分解为互斥事件之和.,自放_引言_1,概率论 研究起源于意大利文艺复兴时期.伽利略,的论文论赌博提出了概率论的基本原理.,概率论的真正历史是从 17 世纪中叶开始的.其主,要奠基人法国数学家 帕斯卡尔（Blaise Pascal）和,费马特（Pierre Fermat）将赌博中出现的具

18、体问题归纳,为一般的 概率原理.到18世纪，瑞士数学家 J.贝努里,（Jakob Bernoulli）全面论述了 概率论原理 并将概率论,建立在数学的基础上.,到 19 世纪，开始利用概率论 研究社会经济现象，,形成以概率论为基础发展起来的以随机现象为主要研究,对象的 数理统计.20 世纪 50 年代以后，受计算机、,自放_引言_2,信息论等现代科学技术的影响，统计理论、方法和应用,进入了一个全面发展的阶段，出现 新的研究领域：,多元统计分析、时间序列分析、贝叶斯统计、非参数,统计、线性统计模型等.随着统计方法应用领域的不断,扩展，几乎所有的科学研究都要用到统计学.,统计学 产生与发展的 两条

19、线索：政治算术,社会经济统计：人口统计、国民经济统计、物价指数、,保险统计、卫生医疗统计、工农业统计等.,概率论 数理统计.,自放_事件表示,AB：事件 A 发生，同时 事件 B 不发生，即,A+B：事件 A、B 至少 有一个发生；,AB：事件 A、B 同时（都）发生.,利用事件的运算 表示事件：,事件 A 发生，或者 事件 B 发生.,：事件 A 不发生.,Section5_1,第五节 条件概率,的情况.设 A 表示“至少有一次出现正面”，B 表示,“两次掷出同一面”.,引例 将一枚硬币抛掷两次，观察正反面出现,试用集合表示、A、B、AB，并求 P(A)、,P(B)、P(AB).,一、条件概

20、率,Section5_1_1,解：,=HH,HT,TH,TT，,A=HH,HT,TH，,B=HH,TT，,AB=HH，,Section5_1_2,定义 设 A,B 是两个事件，且 P(A)0，称,为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 条件概率.,条件概率 具有概率的三个基本属性：,非负性：对于任意事件 B，有 P(B|A)0；,规范性：对于必然事件，有 P(|A)=1；,可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：,，有,Section5_1_3,理解：P(AB)、P(B|A)与 P(B)之间的区别.,P(AB)表示事件 A 与 B 同时发生的概率，在计,算 P(AB)时，试验的所有可能结果

21、所构成的集合为样本,P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发,生的概率，在计算 P(B|A)时，试验的所有可能结果所,空间.,构成集合为 A.,在计算 P(B)时，试验的所有可能结果所构成的,集合为样本空间.,Section5_2,乘法定理 设 P(A)0，则有,二、乘法定理,推广 设 P(AB)0，则有,Section5_2_1,例1.设某批产品中有 a 个合格品，b 个废品.现,从中不放回地随机抽取两次，一次抽取一个.求下列,事件的概率：,第一次抽到合格品.,已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品.,二次都抽到合格品.,第二次才抽到合格品.,第二次抽到合格品.,Section5

22、_2_1_1,解：,设 表示第 i 次抽到合格品（i=1,2）.,Section5_3,三、全概率公式和贝叶斯公式,为 E 的一组事件.若,定义 设试验 E 的样本空间为，,则称 为 的一个 划分（或 完备事件组）.,若 为 的一个划分，则对 每次试验,事件 中 必有一个且仅有一个 发生.,Section5_3_1,定理 设试验 E 的样本空间为，A 为 E 的事件,有,为 的一个划分,且,称为 全概率公式.,若 P(A)0，则有,称为 贝叶斯 公式（或 逆概公式、后验概率公式）.,Section5_3_2,适合 全概 与 逆概公式 求解的概型：,从 时间顺序（或逻辑关系）上看，试验可分为,两

23、个阶段（或 层次）进行，第一阶段的试验结果会,影响第二阶段某试验结果 A 的发生，第一阶段的所有,可能结果是已知的，但具体哪一个结果发生是未知的.,若求 P(A)，则利用 全概公式.,若已知 A 发生，求它是由第一阶段某结果,引起（或导致）的概率，则利用 逆概公式.,利用全概或逆概公式的 关键：选取完备事件组，,即确定第一阶段试验的 所有可能结果.,Section5_3_3,3 个红球和 3 个白球.从袋中任取 2 个球放入盒中，然,后从盒中任取 1 个球，求这个球是白球的概率.,例1.设盒中装有 4 个红球和 2 个白球，袋中装有,解：,设 A 表示取到白球，,表示从袋中取出的两,个球中有

24、i 个白球（i=0,1,2）.,Section5_3_4,产品，三个车间生产的产量分别占总产量的 25%,35%，40%，三个车间生产的次品率分别为 5%,4%,2%.现从该厂的所有产品中任取一件进行检验.,如取到次品，求它是 1 号车间生产的概率.,求取到次品的概率.,解：,设 A 表示取到次品，,表示所取到的产品是,由第 i 号车间生产的（i=1,2,3）.,例2.设某工厂有1,2,3 号三个车间生产同一种,Section5_3_4_1,Section6_1,第六节 独 立 性,正反面出现的情况”.设 A 表示“甲出现正面”，B 表示,“乙出现正面”.求 P(A),P(B),P(AB),P

25、(B|A).,引例 设试验 E 为“抛甲、乙两枚硬币，观察其,解：,=HH,HT,TH,TT，,A=HH,HT，,B=HH,TH，,AB=HH.,Section6_1_1,定理 设 A,B 是两事件，且 P(A)0.则,则称事件 A 与 B 相互独立，简称 A,B 独立.,定义 设 A,B 是两事件，如果满足等式,A 与 B 相互独立,Section6_1_2,性质 若事件 A 与 B 相互独立，则,概率为 1 或 0 的事件与任何事件相互独立.,事件 A 与 B 相互独立,Section6_1_3,如果 A,B,C 满足条件，则称事件 A,B,C,定义 设 A,B,C 是三个事件，对于条件：

26、,两两独立，如果 A,B,C 满足条件，则称事,件 A,B,C 相互独立.,若 m+n 个事件 相互独立,则事件 与 相互独立，,后所得的事件.,其中 分别表示对其相应事件进行各种事件运算,Section6_1_4,元件（或系统）的 可靠性.,例1.一个元件（或系统）能正常工作的概率称为,如图所示，设有4个独立工,作的元件1,2,3,4 按以下两种方式联接构成两个系统.,设第 i 个元件的可靠性为.,求两个系统的可靠性.,系统 1,系统 2,Section6_1_5,解：,系统 1 正常工作的概率 p,设 表示第 i 个元件正常工作.,系统 2 正常工作的概率 q,Section总结_1,第一

27、章 总 结,一、事件的关系、运算及概率的重要性质,1.,2.,Section总结_1_1,注意：互斥、互逆、独立 三者之间的关系,若 A 与 B 互逆，则 A 与 B 互斥，反之不然.,若 A 与 B 互斥，且相互独立，则事件 A 与 B,中 至少有一个概率为零.,设 0 P(A)1,0 P(B)1，若 AB 或,A B，则 A 与 B 必不相互独立.,3.若事件 相互独立，则,Section总结_2,二、求事件概率的 典型方法,利用条件概率与乘法公式.,直接计算（取球模型、分配模型）.,利用对立事件.,利用全概与逆概公式.,利用概率的性质、公式及独立性.,将事件分解为若干个互斥事件之和.,S

28、ection总结_3,直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率,0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.,例1.假设一厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可以,求该厂生产的仪器能出厂的概率.,解：,设 A 表示能出厂，B 表示需调试，,则,该厂生产的仪器能出厂的概率 p,Section总结_3_1,忘记了是哪两把，只好逐次试开，求此人最多试开 3 次,能打开房门的概率.,例2.某人有 5 把钥匙，其中两把能打开房门，但,解：,设 表示第 i 次试开能打开房门(i=1,2,3),则最多试开 3 次能打开房门的概率,Section总结_3_2,现不放回地一次取一件，求第

29、二次取到正品的概率;,若已知第一次取到正品，求第二次取到正品的概率.,例3.已知 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品.,现从中任取 2 件，若已知其中有一件为次品，,求另一件也为次品的概率.,解：设 表示 i 次取到正品（i=1,2），,设 A 表示“有一件为次品”，B 表示“另一件也,为次品”.,Section总结_3_3,其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，求是,甲射中的概率.,例4.设甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,解：设 分别表示甲、乙两人射中目标，,A 表示目标被击中.,则有,Section总结_3_4,生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份

30、,现随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.,例5.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考,求先抽到的一份是女生表的概率.,是女生表的概率.,已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份,解：设 表示来自三个地区的报名表(i=1,2,3),表示第 i 次抽到女生表（i=1,2）.,Section总结_3_5,Section总结_3_6,击中目标的概率分别为 0.2,0.3,0.5.目标被一门火炮,击中而被击毁的概率为 0.2，被两门火炮击中而被击毁,例6.设有三门火炮同时对一目标进行一次炮击，,的概率为 0.6，被三门火炮击中而被击毁的概率为 0.9.,求三门火炮对目标进行一次炮击击毁目标的概率.,解：设 表示目标被 i 门火炮击中(i=0,1,2,3),A 表示目标被击毁.,