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1、,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,考察一台测量仪器的好坏,既看所测结果的平均值又要看每次测量的结果是否集中，即每次测量值与平均值的偏离程度是否小。,例如：,考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述 随机变量，但能清晰地描述其某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和
2、实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描述,第四章,随机变量的数字特征,一、数学期望,二、方差,三、协方差及相关系数,四、矩、协方差矩阵,数学期望,第四章,第一节,二、随机变量函数的数学期望,一、数学期望的概念,三、数学期望的性质,四、几种重要分布的数学期望,我们来看一个引例.,引例1 某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？,我们先观察小张100天的生产情况,（假定小张每天至多出现三件废品）,1、离散型随机变量的数学期望,一、数学期望的概念,对于随机变量来说，,有时不仅要知道它的概率分布，,还希望知道随机变量取值
3、的“平均”大小。,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为X的平均值呢？,若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,以频率为权的加权平均,当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的
4、平均值时，用概率代替频率，得平均值为,以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值.,注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的,若级数,绝对收敛。,设离散型随机变量X 的分布律为,简称期望或均值，记为 E(X).,则称此级数的和为X 的数学期望。,即,级数的和.,数学期望是随机变量的平均值，,其与 X 取,值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。,定义1,定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.,解 设试开次数为X,于是,例2,甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出,试问哪
5、个人的射击水平较高？,解 甲乙的平均环数可求得：,因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。,X：甲击中的环数,Y：乙击中的环数,期望值在决策中有着广泛的应用,假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95会赚，但利润为1000元)究竟该如何决策？,所以权衡下来，情愿去经营西瓜，因它的期望值高,计算期望值：,若经营西瓜，期望值 E1=0.72000=1400元,而经营工艺品期望值 E20.951000950元,再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣一分没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气,计算得分的
6、期望值,蒙对答案的概率0.25,此种情况下，蒙不蒙效果都一样,2、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则X落在小区间xi,xi+1)的概率是,小区间xi,xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近,所以区间xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即,请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例3,求这类电子元件的平均
7、寿命E(X)。,解,小时。,由定义可得,注意 不是所有的随机变量都有数学期望,例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,二、随机变量函数的数学期望,1.问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,答案是肯定的,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的
8、分布，一般是比较复杂的.,解,已知X 的分布律为,求 及 的数学期望。,例4,同理,定理1 设,(g为连续函数),设X为离散型随机变量，其分布律为,若级数,绝对收敛,则g(X)的数学期望为,设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则g(X)的数学期望为,该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,设X 服从 N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),例5,解,解,例7.,设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求,乘客到达车站等车时间的数学期望
9、。,设T 为乘客到达车站的时刻(分)，,设Y 为乘客等车时间，则,解:,则,其概率密度为,已知,上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。,例8 已知(X,Y)的分布律为,求,解,设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为,则Z 的数学期望为,设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z 的数学期望为,绝对收敛,例9 设X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互独立，求E(max(X,Y).,解,D1,D2,其中,一般地，若,X,Y 相互独立，则,解,同理,一般来说，,那么何时相等？看下面数学期望性质,1.设C 是常数，则E(C)=C;,2.若C 是常数，则E(C
10、X)=CE(X);,3.,三、数学期望的性质,证明:设,4.设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,证明:设,由独立性,（当Xi 独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立,解,X 和 Y 是相互独立的吗,？,E(XY)=E(X)E(Y),因为,所以X 和 Y 不相互独立。,求关于X 和Y 的边缘概率密度,性质 4 的逆命题不成立，即,若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立,反例 1,p j,pi,附录1,但,证明：,5.（柯西-施瓦尔兹不等式）,6.,四、几种重要分布的数学期望,.X为离散型随机变量,（01）分布,泊松分布,二项分布,则X
11、 表示n 重伯努利试验中A发生的次数.,现在我们来求X 的数学期望。,若设,则,其中,即,，则,所以,结论：任何一个服从二项分布的随机变量 X 都可表示,n 个服从（01）分布的独立的随机变量,相加的,.X为连续型随机变量,均匀分布,形式：,则,指数分布,则,分部积分法,正态分布,解 由随机变量的性质可知,例2 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.,解一 设 X 为空盒子数,则 X 的概率分布为,解二 再引入 X i,i=1,2,3,4,例3、,将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，,用X表示装对信件的个数，求EX。,解：,则,0,1,解
12、设,则,注:,不是相互独立的。,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.,数学期望的应用,据统计65岁的人在10年内正常死亡,解,应用1,的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险,公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳,保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿,a 元,应如何定 a,才能使公司可期望获益;,若有1000人投保,公司期望总获益多少?,设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得,的收益,i=11000.则,Xi,由题设,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公
13、司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.,为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验 n 次；分组化验,k 个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时 k 个人的血需化验 k+1 次.设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.,验血方案的选择,应用2,解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n/k 组.,设第 i 组需化验的次数为X i,则,例如,当 时,选择方案(2)较经济.,市场上对
14、某种产品每年需求量为 X 吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,设每年生产 y 吨的利润为 Y,显然，2000 y 4000,应用3,显然，,故 y=3500 时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元,设由自动线加工的某种零件的内径 X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：,问平均直径 为何值时,销售一个零件的平均利润最大？,应用4,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,作 业,P101 习题4.11，5,小结,这一讲，我们介绍了随机变量的
15、数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,方 差,第三章,第二节,二、方差的性质,一、方差的定义,三、几种重要分布的方差,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲
16、、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,通常用,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,合理,但是存在正负相消，不可行.,带绝对值的运算，不利于分析.,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机变量,定义,即 D(X)=E X-E(X)2,X 的方差,记为D(X)或 Var(X),D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值的平均偏
17、离程度,数,离散型 已知X 分布律,连续型 已知X 的概率密度,注意：,是关于随机变量X 的函,数,的数学期望。,计算方差的简便公式：,方差描述了随机变量X 的取值与其均值的偏离程度。,证明,解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为,例1,甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：,试问那个人的射击水平较高？,X：甲击中的环数 Y：乙击中的环数,9.2(环),乙的平均环数为,9.2(环),从平均环数上看，,甲、乙射击水平是一样的。,但两人射击环数的方差分别为：,这表明乙的射击水平比甲稳定。,解,1.设C是常数,则D(C)=0;,2.若C是常数,则 D(CX)=C 2D(X);,3.若X与Y
18、 独立，则,二、方差的性质,证,证,若X与Y 独立，且a,b 是常数，则,推广 若X1,X2,Xn 相互独立,则,其中,1（0-1）分布 参数为p,三常见分布的方差,2二项分布,其中,，且,相互独立。,则由方差的性质可得,3泊松分布,分布律为,参数为,密度函数,4均匀分布,参数为,密度函数,指数分布,参数为,正态分布,参数为,密度函数,特别，当,时,标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准化随机变量.显然，,仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,与,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,解 Z 为相互独立的正态随机变量的线性组
19、合，所以,仍然服从正态分布，且其参数为,故,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,有些情况下常能确定分布.,解 记,则,故,解 设 X 的分布律为,所以,解 由题意可知,解 X,Y 的取值都为-1和1，则,X+Y 的分布律为,五、课堂练习,1、设随机变量X服从几何分布，概率分布为,PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中0p1,求E(X),D(X),2、,1、解：,记 q=1-p,求和与求导交换次序,无穷递缩等比级数求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),2、解,附例 在 0,1 中随机地取两个数 X,Y,求 D(min X,Y),解,1,1,0,作 业,P10610
20、7 习题4.21，2，3(1)(5),小结,这一讲，我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.,下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,协方差、相关系数,问题 对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,若X,Y相互独立，这项为零,若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在什么关系？,协方差和相关系数,第四章,第三节,一、协方差和相关系数的定义,二、协方差的性质,三、相关系数的性质,定义 设二维随机变量
21、,即,一、协方差和相关系数的定义,二、协方差的性质,Pf:,（协方差的计算公式）,Pf:,Pf:,若X,Y 相互独立，则,为常数,Pf:,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.,三、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数.,在不致引起混淆时，记 为.,四、相关系数的性质,性关系。,即,证明：,证明：,说明：,，X 与Y 的线性关系越显著；,，X 与Y 的线性关系越不显著；,2）,3）,4）,定义、相关系数,下列命题等价：,1）,独立,
22、不相关,注：,则,Cauchy-Schwarz不等式,所以,证,考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，,以均方误差,e=EY-(a+bX)2,来衡量以 a+b X 近似表示Y 的好坏程度:,e 值越小表示 a+b X 与 Y 的近似程度越好.,用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,证明 2）,=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y),e=EY-(a+bX)2,解得,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X,这一逼近的剩余是,E(Y-L(X)2=D
23、(Y)(1-),说 明,，X 与Y 的线性关系越显著；,，X 与Y 的线性关系越不显著；,四个等价命题：,2）,3）,4）,1 相关系数,不相关：X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之,间没有任何关系。,所以，当X 和Y 独立时，Cov(X,Y)=0.,故,请看下例,独立：X 与Y 之间没有任何函数关系。,解 先求关于X 和Y 的边缘概率密度,因为,所以X 和 Y 不相互独立。,求X 和Y 的相关系数,所以,故X 和 Y 不相关。,独立,不相关,特例,若(X,Y)服从二维正态分布。是Y与X的相关系数。以下画出 取几个不同值时(X,Y)的密度函数图。,113页定理2,解 边缘分布律为,的协方差为:,下面求 的方差:,的相关系数为:,例3,解,故 与 的协方差为,又,从而得,解,解,满足,故,作 业,P114 习题4.31，2，4,矩和协方差矩阵,第四章,第四节,一、矩的定义,二、协方差矩阵,若,存在，称它为,二、协方差矩阵,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n 维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,
