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1、第五章 统计决策中的参数与非参数估计,主要内容,参数估计与监督学习 参数估计理论非参数估计理论,参数估计与监督学习,贝叶斯分类器中只要知道先验概率，条件概率或后验概概率 P(i),P(x/i),P(i/x)就可以设计分类器了。现在来研究如何用已知训练样本的信息去估计P(i),P(x/i),P(i/x)一参数估计与非参数估计参数估计：先假定研究的问题具有某种数学模型，如 正态分布，二项分布，再用已知类别的学习 样本估计里面的参数。非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别的学习 样本的先验知识直接估计数学模型。,监督学习与无监督学习,监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，参数估计和非参数估
2、计都属于监督学习。无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。,5.2参数估计,矩法估计（书上）最大似然估计（MLE）假定：待估参数是确定的未知量 按类别把样本分成M类X1，X2，X3，XM 其中第i类的样本共N个 Xi=(X1,X2,XN)T 并且是独立从总体中抽取的 Xi中的样本不包含(ij)的信息，所以可以对每一 类样本独立进行处理。第i类的待估参数根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类的学习样本来估计。,1.原理：第i类样本的类条件概率密度：P(Xi/i)=P(Xi/ii)=P(Xi/i)原属于i
3、类的学习样本为Xi=(X1,X2,XN,)T i=1,2,M求i的最大似然估计就是把P(Xi/i)看成i的函数，求出使它最大时的i值。学习样本独立从总体样本集中抽取的 N个学习样本出现概率的乘积取对数：,对i求导,并令它为0：有时上式是多解的,上图有5个解,只有一个解最大即.,P(Xi/i),2.多维正态分布情况 已知,未知,估计 服从正态分布所以在正态分布时,代入上式得,结论,所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均。,，均未知 A.一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单情况：(n=1)由上式得 即学习样本的算术平均样本方差,讨论：1.正态总体均值的最大似然估计即
4、为学习样本的算术平均 2.正态总体方差的最大似然估计与样本的方差不同，当N较大的时候，二者的差别不大。B多维情况：n个特征估计值：结论：的估计即为学习样本的算术平均 估计的协方差矩阵是矩阵 的算术 平均（nn阵列，nn个值）,5.3贝叶斯估计与学习,最大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量，而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察，使概率密度分布P(Xi/)转化为后验概率P(/Xi)，再求贝叶斯估计。,估计步骤:确定的先验分布P(),待估参数为随机变量。用第i类样本xi=(x1,x2,.xN)T求出样本的联合概率密度分布P(xi|)，它是的函
5、数。利用贝叶斯公式,求的后验概率,例子,下面以正态分布的均值估计为例说明贝叶斯估计的过程 一维正态分布:已知2,估计 假设概率密度服从正态分布 P(X|)=N(,2),P()=N(0,02)第i类学习样本xi=(x1,x2,.xN)T,i=1,2,M 第i类概率密度P(x|i,xi)=P(x|xi)所以后验概率(贝叶斯公式),因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成 其中 为比例因子,只与x有关,与无关 P(Xk|)=N(,2),P(u)=N(0,02)其中a,a包含了所有与无关的因子,P(|xi)是u的二次函数的指数函数P(|xi)仍然是一个正态函数,P(|Xi)=N(N,N2)另外后验概
6、率可以直接写成正态形式：比较以上两个式子,对应的系数应该相等,解以上两式得 将N,N2代入P(|Xi)可以得到后验概率，再用公式,对的估计为 若令P()=N(0,02)=N(0,1)与最大似然估计相似，只是分母不同,三贝叶斯学习1.贝叶斯学习的概念：求出的后验概率之后，直接去推导总体分布即当观察一个样本时，N=1就会有一个的估计值的修正值当观察N=4时，对进行修正，向真正的靠近当观察N=9时，对进行修正，向真正的靠的更近当N,N就反映了观察到N个样本后对的最好推测，而N2反映了这种推测的不确定性,N,N2,N2 随观察样本增加而单调减小，且当N,N2 0 当N，P(|xi)越来越尖峰突起N,P
7、(|xi)函数，这个过程成为贝叶斯学习。,类概率密度的估计 在求出u的后验概率P(|xi)后，可以直接利用式 推断类条件概率密度。即P(x|xi)P(x|i，xi)一维正态：已知2，未知的后验概率为,结论,结论：把第i类的先验概率P(i)与第i类概率密度P(x|xi)相乘可以 得到第i类的后验概率P(i/x)，根据后验概率可以分类。对于正态分布P(x|xi)，用样本估计出来的N代替原来的 用 代替原来的方差 即可。把估计值N作为的实际值，那么使方差由原来的 变 为,使方差增大,5.4非参数估计,参数估计要求密度函数的形式已知，但这种假定有时并不成立，常见的一些函数形式很难拟合实际的概率密度，经
8、典的密度函数都是单峰的，而在许多实际情况中却是多峰的，因此用非参数估计。非参数估计:直接用已知类别样本去估计总体密度分布，方法有：用样本直接去估计类概率密度p(x/i)以此来设计分类器,如窗口估计 用学习样本直接估计后验概率p(i/x)作为分类准则 来设计分类器如k近邻法.,密度估计:一个随机变量X落在区域R的概率为P P(X)为P(X)在R内的变化值,P(X)就是要求的总体概率密度,密度估计:,P(x),假设有N个样本X=(X1,X2,XN)T都是按照P(X)从总体中独立抽取的 若N个样本中有k个落入在R内的概率符合二项分布 其中P是样本X落入R内的概率 Pk是k个样本落入R内的概率 数学期
9、望:E(k)=k=NP 对概率P的估计:。是P的一个比较好的估计 设P(x)在R内连续变化,当R逐渐减小的时候,小到使P(x)在其上 几乎没有变化时，则 其中 是R包围的体积,条件密度的估计：(V足够小)讨论:当V固定的时候N增加,k也增加,当 时 只反映了P(x)的空间平均估计而反映不出空间的变化 N固定,体积变小 当 时,k=0时 时 所以起伏比较大,噪声比较大,需要对V进行改进.,对体积V进行改进：为了估计X点的密度,我们构造一串包括X的区域序列R1,R2,.RN.对R1采用一个样本进行估计，对R2采用二个样本进行估计.。设VN是RN的体积，KN是N个样本落入VN的样本数则密度的第N次估
10、计：VN是RN的体积 KN是N个样本落入VN的样本数PN(x)是P(x)的第N次估计,收敛应满足三个条件,若PN(x)收敛于P(x)应满足三个条件：，当N时，VN，N，VN0 这时虽然样本数多，但由于VN，落入VN内的样本KN 也减小，所以空间变化才反映出来，N，kN，N与KN同相变化，KN的变化远小于N的变化。因此尽管在R内落入了很多的样本，但同总数N比较,仍然是很小的一部分。,如何选择VN满足以上条件,如何选择VN满足以上条件：使体积VN以N的某个函数减小，如(h为常数)使KN作为N的某个函数，例 VN的选择使RN正好包含KN个近邻 V1K1，V2K2，.VRKR Kn近邻法,窗口法,Pa
11、rzen窗口估计假设RN为一个d维的超立方体，hN为超立方体的长度超立方体体积为：，d=1，窗口为一线段 d=2，窗口为一平面 d=3，窗口为一立方体 d3，窗口为一超立方体窗口的选择：,方窗函数,指数窗函数,正态窗函数,(u),(u),(u),hN,正态窗函数,(u)是以原点x为中心的超立方体。在xi落入方窗时，则有 在VN内为1 不在VN内为0落入VN的样本数为所有为1者之和 密度估计,讨论,讨论：每个样本对估计所起的作用依赖于它到x的距离，即|x-xi|hN/2时，xi在VN内为1，否则为0。称为 的窗函数，取0，1两种值，但有 时可以取0,0.1,0.2多种数值，例如随xi离x接近的程
12、度，取值由0,0.1,0.2到1。,要求估计的PN(x)应满足：为满足这两个条件，要求窗函数满足：窗长度hN对PN(x)的影响若hN太大,PN(x)是P(x)的一个平坦,分辨率低的估计,有平均误差若hN太小,PN(x)是P(x)的一个不稳定的起伏大的估计,有噪声误差为了使这些误差不严重，hN应很好选择,例1：对于一个二类（1，2）识别问题，随机抽取1类的6个样本X=(x1，x2，.x6)1=(x1，x2，.x6)=(x1=3.2，x2=3.6，x3=3，x4=6，x5=2.5，x6=1.1)估计P(x|1)即PN(x)解：选正态窗函数,0,1,2,3,4,5,6,x6,x5,x3,x1,x2,
13、x4,x,x是一维的上式用图形表示是6个分别以3.2，3.6，3，6，2.5，1.1为中心的丘形曲线(正态曲线)，而PN(x)则是这些曲线之和。,结果图,由图看出，每个样本对估计的贡献与样本间的距离有关，样本越多，PN(x)越准确。,例2：设待估计的P(x)是个均值为0，方差为1的正态密度函数。若随机地抽取X样本中的1个、16个、256个作为学习样本xi,试用窗口法估计PN(x)。解：设窗口函数为正态的，1，0hN:窗长度，N为样本数，h1为选定可调节的参数。,讨论：由图看出,PN(x)随N,h1的变化情况 当N1时，PN(x)是一个以第一个样本为中心的正态形状的小丘，与窗函数差不多。当N16
14、及N=256时 h10.25 曲线起伏很大，噪声大 h11 起伏减小 h14 曲线平坦，平均误差 当N时，PN(x)收敛于一平滑的正态曲线，估计曲线较好。,例3。待估的密度函数为二项分布解：此为多峰情况的估计设窗函数为正态解：此为多峰情况的估计设窗函数为正态,x,-2.5,-2,1,0.25,0,2,P(x),-0.25x-2,0 x2,x为其它,当N=1、16、256、时的PN(x)估计如图所示 当N1时，PN(x)实际是窗函数。当N16及N=256时 h10.25 曲线起伏大 h11 曲线起伏减小 h14 曲线平坦 当N时，曲线较好。,结论,由上例知窗口法的优点是应用的普遍性。对规则分布，
15、非规则分布，单锋或多峰分布都可用此法进行密度估计。要求样本足够多，才能有较好的估计。因此使计算量，存储量增大。,KN近邻估计：在窗口法中存在一个问题是对hN的选择问题。若hN选太小，则大部分体积将是空的（即不包含样本），从而使PN(x)估计不稳定。若hN选太大，则PN(x)估计较平坦，反映不出总体分布的变化，而KN近邻法的思想是以x为中心建立区域，使v，直到捕捉到KN个样本为止。称KN-近邻估计 v的改进，样本密度大，VN;样本密度小，VN;P(x)的估计为：,使PN(x)收敛于P(x)的充分必要条件：，N与KN同相变化，KN的变化远小于N的变化,V1为N=1时的VN值,KN近邻估计对KN和V
16、N都作了限制KN近邻法作后验概率的估计由KN近邻估计知N个已知类别样本落入VN内为KN个样本的概率密度估计为：N个样本落入VN内有KN个，KN个样本内有Ki个样本属于i类则联合概率密度：,根据Bayes公式可求出后验概率：类别为i的后验概率就是落在VN内属于i的样本ki与VN内总样本数KN的比值,K近邻分类准则：对于待分样本x，找出它的k个近邻，检查 它的类别，把x归于样本最多的那个类别。K近邻分类的错误率随K，Pk,最低的错误率为Bayes分类。,P*,PK,最近邻分类准则：待分样本x，找一个离它最近的样本，把x归于最近的样本一类。错误率：M为类别数P(e)为Bayes估计的错误率最近邻分类法则的错误率P比K近邻错误率还大，但最大不会超过贝叶斯分类器错误率的二倍。,P,P(e),Bayes,K近邻,最近邻,
