正弦交流电路的分析.ppt

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1、第4章 正弦交流电路的分析,4.1 正弦交流电路的基本概念 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电路基本定律的相量形式 4.4 电阻、电感、电容元件上电压与电流的相量关系 4.5 用相量法分析RLC串联电路及多阻抗串联电路 4.6 多阻抗并联电路的分析 4.7 功率因数的提高 4.8 正弦交流电路负载获得最大功率的条件 习题4,4.1 正弦交流电路的基本概念,4.1.1基本概念 从本章起将讲述正弦交流电路的基本概念及分析方法，那么什么是正弦交流电路呢？首先我们要区分直流和交流两个不同的概念。,1.交流电 大小和方向均不随时间变化的电流称为直流电流，简称直流。2.激励与响应 激励：电路中的输入信

2、号又称为激励。通常可用电压、电流、电荷、磁通等基本物理量来表征。响应：受到一定激励后，电路中引起的各物理量的变化统称为响应。,图 4.1 激励与响应,3.正弦量的参考方向 我们知道在直流电路的分析中，离开了方向去分析电压和电流是没有意义的。而在交流电路中，交流电的实际方向是随时间不断变化的，因此我们很难知道交流电在某一时刻的实际方向，故而在分析交流电路时，选择电压、电流的参考方向就更为必要了。同直流电路一样，交流电的参考方向也是我们事先假定的，如图4.2所示，当参考方向与实际方向一致时，该电流为正；当参考方向与实际方向相反时，该电流为负。与直流电路相同：若某段电路上电压和电流的参考方向取得一致

3、时，称为关联参考方向，否则为非关联参考方向。,图4.2 参考方向,4.1.2 正弦量的三要素 正弦交流电是以时间t为变量，其瞬时值是按正弦规律变化的周期函数。一个正弦量在规定参考方向下可用一般表达式表示如下：u=Um sin(t+u)i=Im sin(t+i)（4-1）,1.振幅值（最大值）与有效值 振幅值：我们把交流电中瞬时值中的最大值称为振幅值，用大写字母Um、Im、Em等表示（注意，一般表达式中的振幅值应为正值）。振幅值表明了正弦量振动的幅度。正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，为了更准确描述出正弦量的大小，常用有效值表示。有效值：若交流电流i通过电阻R在一个周期T内所做的功与直流电流I在

4、相同时间内流过相同电阻时所做的功相等，则直流电流I称为交流电流i的有效值。,如图4.3（a）所示，;如图4.（b）所示，W=I2RT。,图 4.3 有效值定义,由定义可知W与W相等，则,解得,(4-2a),同理,(4-2b),若令i=Im sin(t+i),u=Um sin(t+u)，则分别代入上式可得正弦量的有效值为,(4-3),故正弦量的一般表达式又可写成,2.角频率 角频率：单位时间内正弦量所经历的电角度，用表示，单位为rad/s。由图4.4可知,角频率反应的是正弦量随时间作周期性变化的快慢程度，它和频率f、周期T的关系为=2f 或,例如,工频电信号的值为=2f=314 rad/s。,图

5、4.4 角频率定义,3.相位与初相 如图4.5所示，当线圈放在磁场内做匀速旋转时，导线切割磁力线而产生感应电动势e,这就是交流发电机的基本原理。若线圈旋转的速度为，t=0时线圈与水平面夹角为，可知其产生的电动势e随时间变化的关系为 e=Em sin(t+)（4-4）,图 4.5 单相交流发电机原理图,在一般表达式(4-4)中，角度t+为任意时刻线圈与水平面的夹角，且该角度直接决定了电动势e的瞬时值及其变化趋势，这个角度就称为正弦量的相位或相位角。初相是指t=0时所对应的相位角，它反映了计时起点的状态，故上述电动势的初相可记为(t+)|t=0=,初相角的单位为弧度（rad）或度（），其取值范围规

6、定为|，即-180180。由初相的定义可知,初相的大小和其计时起点有关(如图4.6所示)。,图 4.6 初相,（1）若计时起点与正弦量的零值（本文中正弦量的零值是指由负向正过渡时的零值）重合，则初相为零(如图4.6(a)所示)；（2）若计时起点在与之最近的正弦量的零值之右，则初相为正(如图4.6(b)所示);（3）若计时起点在与之最近的正弦量的零值之左，则初相为负(如图4.6(c)所示)。,例4.1 如图4.7（a）所示的电阻元件，在图4.7(a)所示的电压参考方向下，电压波形如图4.7(b)所示。（1）试说出该正弦量的三要素，并写出电压的一般表达式；（2）当t=5 ms时电压的大小及实际方向

7、；（3）若参考方向与图中参考方向相反，请重新写出该电压的表达式。,图4.7 例4.1 的电路图及电压波形,解(1)从波形可知,电压的一般表达式为,（2）当t=5 ms时，代入一般表达式中，可计算出电压瞬时值为,因为u0说明此刻电压的实际方向与参考方向相反，即b端为正,a端为负。,（3）当参考方向与图中相反时，其电压表达式可写成,4.1.3正弦量的相位差 两个同频率正弦量的相位之差称为相位差。设任意两个同频率的正弦量为 i1=I1m sin(t+)，i2=I2m sin(t+)则i1与i2的相位差为 12=(t+)-(t+)=-（4-5）,图4.8 超前与滞后,即两个同频正弦量的相位差也是它们的

8、初相之差。规定：的取值范围为|。相位差决定了两个正弦量的相位关系。,例4.2 如图4.9所示，图中iR为参考正弦量，试写出iR、uR、uL、uC的表达式，并说明各正弦量的相位关系。解,图4.9 例4.2图,4.2 正弦量的相量表示法,4.2.1 复数简介 中学数学中复数可表示成A=a+bi。其中a为实部，b为虚部，称为虚部单位。但由于在电路中i通常表征电流强度，因此我们这里常用j表示虚部单位，这样复数可表示成A=a+jb。复数可以在复平面内用图形表示，也可以用不同形式的表达式表示。,图4.10 复数用点表示,1.复数的图形表示 1）复数用点表示 任意复数在复平面内均可找到其惟一对应的点。反之，

9、复平面上的任意一点也均代表了一个惟一的复数(如图4.10所示)。A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j,2）复数用矢量表示 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量来表示(如图4.11所示)。矢量的长度称为模，用r表示；矢量与实正半轴的夹角称为幅角，用表示。模与幅角的大小决定了该复数的惟一性。,图4.11 复数用矢量表示,由图4.11可知，复数用点表示法与用矢量表示法之间的换算关系为,(4-6),(4-7),2.复数的四种表达式(1）代数式:A=a+jb(2）三角函数式。由式(4-7)可得 A=r cos+jr sin(3）指数式。由数学中的尤拉公式ej=cos+j sin得 A

10、=r ej(4）极坐标式。在电路中，复数的模和幅角通常用更简明的方式表示 A=r,例4.3 现有复数A1=-3-j4和A2=1045，求出它们的其他三种表达式。例4.4 写出1，-1，j，-j的极坐标式，并在复平面内做出其矢量图。,图4.12 例4.4矢量图,解 复数1的实部为1，虚部为0，其极坐标式为1=10；复数-1的实部为-1，虚部为0，其极坐标式为-1=1180；复数j的实部为0，虚部为1，其极坐标式为j=190；复数-j的实部为0，虚部为-1，其极坐标式为-j=1-90。矢量图如图4.12所示，这四个复数的代数式和极坐标式的互换在后续课程中常用，望牢固掌握。,3.复数的四则运算 1）

11、加减运算 设有两个复数分别为 A=a1+jb1=r11,B=a2+jb2=r22 则 AB=(a1a2)+j(b1b2)故一般情况下，复数的加减运算应把复数写成代数式。,图 4.13 平行四边形法则与三角形法则,例4.5 已知复数A1=553，A2=3。求A1+A2和A1-A2,并在复平面内画出矢量图。解 A1=553=3+j4 A1+A2=3+j4+3=6.333.7 A1-A2=3+j4-3=490 矢量图如图4.14所示。,图4.14 例4.5 矢量图,2）乘除运算设有两个复数 A=r11,B=r22则 AB=r1r2(1+2),故一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成较为简便的极坐标式

12、。,4.2.2 正弦量的产生 1.旋转因子 我们把模为1的复数称为旋转因子，即ej=1。取任意复数A=r1=r11，则A1=r1(1+),即任意复数乘以旋转因子后，其模不变，幅角在原来的基础上增加了，这就相当于把该复数逆时针旋转了角，这一点我们从图4.15中可以明显地看出。,图4.15 旋转因子,2.正弦量的产生 前述分析中旋转因子1的幅角为一常量，此时任意复数乘以该旋转因子后就会旋转角。假使=t是一个随时间匀速变化的角，其角速度为，不难想象，若任意复数乘以这个旋转因子1t后，其复数矢量就会在原来的基础上逆时针旋转起来，且旋转的角速度也是。,如图4.16所示，我们令某一复数为A=Umu,那么有

13、A1t=Umu1t=Um(t+u)=Um cos(t+u)+jUm sin(t+u)(4-8),图 4.16 正弦量的产生,4.2.3 正弦量的相量表示法 正弦量有三种表示法：三角函数表达式、波形图和相量（包括相量复数式和相量图）。其中三角函数表达式和波形图我们在前面课节中已经用过，本节主要介绍正弦量的相量表示法。由式（4-8）可知，A匀速旋转后可惟一对应一正弦量，即 UmuUm sin(t+u)同理 ImiIm sin(t+i),例4.7 写出下列相量所表示的正弦量。（1）（2）,例4.8 求出下列正弦量所对应的相量。（1）i1=2 sin(t+45)A;（2）i2=-10 sint A。例

14、4.9 有两个相同频率的正弦电压，为,u1=100 sint V和u2=150 sin(t-120)V。求u1+u2。,图4.17 例4.9相量图,4.3 电路基本定律的相量形式,4.3.1 正弦交流电路基本定律的表示原则 基尔霍夫定律是分析电路的一个基本定律，它同时适用于直流和交流电路，为了用相量法分析正弦稳态交流电路，这里介绍基尔霍夫定律的相量形式。,1.KCL的相量形式 我们在第1章中介绍过KCL的一般形式为i=0。如图4.18所示，则有 i1+i2-i3-i4=0 设各支路电流均为同频率正弦量，则有 I1m sin(t+1)+I2m sin(t+1)-I3m sin(t+3)-I4m

15、sin(t+4)=0,图4.18 KCL,由式（4-8）可知，上述正弦量分别等于其对应的振幅值相量与1t乘积后的虚部，故上式可表示成,(4-9),式中,Im表示对中的复数取虚部。,由式（4-9）可知,将式（4-10）方程左右同除以，得,将式（4-10）和式（4-11）推广，可得相量形式的 KCL为,和,(4-12),2.KVL的相量形式 KVL的一般形式为u=0。如图4.19所示的电路中，任一闭合回路各段电压满足：u1+u2-u3+u4=0 当各段电压为同频率正弦量时，利用上述方法同理可推出,图4.19 KVL,推广后即得相量形式的KVL为,（4-13),4.3.2应用举例 例4.10 如图4

16、.20所示，已知i1=sint A,i2=5 sin(t+)A,i3=3 cost A,求电流i，并画出相量图。,解,由KCL可知 I=I1+I2+I3=1-5+j3=5143 A所以，i=5 sin(t+143)A,相量图如图4.21所示。,图 4.20 例4.10图,图4.21 例4.10的相量图,图4.22 例4.11图,例4.11 如图4.22所示，已知us和us1均为工频正弦电压，其值分别为200 V和100 V，且us1超前us 30角。求（1）电压表(V)表的读数;（2）u的表达式；（3）做出各段电压的相量图。解（1）令us为参考正弦量，其对应的相量即为参考相量，则,由KVL可知

17、,=2000-10030=124-23.8 V,图4.23 例4.11的相量图,(2）u的表达式为 u=124 sin(314t-23.8)V（3）各段电压的相量图如图4.23所示。从上述两例题可以看出，正弦量的有效值并不满足KCL和KVL。在图4.20中，II1+I2+I3,在图4.22中，UsUs1+U,这正是正弦交流电路与直流电路的不同之处，它是由正弦交流电路本身固有的规律所决定的。,图4.24 节点电流,图4.25 电压源串联,4.4 电阻、电感、电容元件上电压与电流的相量关系,4.4.1 电阻元件上电压与电流的相量关系及功率 1.电阻元件VCR的相量形式 如图4.26所示，uR、iR

18、取关联参考方向时，uR=iRR。当iR=IRm sin(t+i)时，则有 uR=IRmR sin(t+i),令URm=IRmR，即UR=IRR，u=i，代入上式得 uR=URm sin(t+u)(4-14),图4.26 电阻元件,由式(4-14)可得结论如下：（1）iR为正弦量时，uR也为同频率的正弦量;（2）uR与iR的大小关系为UR=IRR(URm=IRmR);（3）uR与iR的相位关系为u=i（同相）。由此我们可做出电阻元件上电压、电流的波形图，如图4.27所示。,图4.27 电压、电流及功率波形,由上述结论可知，当iR=IRm sin(t+i)时,有uR=URm sin(t+u),其对

19、应的相量分别为 IR=IRi 和=URu 又UR=IRR且u=i,所以,结论：关联方向下，电阻元件VCR的相量形式为,或,(4-15),式(4-15)称为相量形式的欧姆定律。由式(4-15)可知，只要把这个复数等式左右同取模和幅角，就可得出uR和iR的大小关系和相位关系。取模：UR=IRR(大小关系);取幅角：u=i(相位关系)。,图4.28 相量图,2.电阻元件上的功率（1）瞬时功率：瞬时电压与瞬时电流的乘积称为瞬时功率。pR=iRuR 令iR=IRm sin(t+),则uR=URm sin(t+),代入上式得 pR=URmIRm sin2(t+)=URmIRm=URIR-URIR cos2

20、(t+)(4-16),（2）平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率。,解得,(4-17),4.4.2 电感元件上电压与电流的相量关系及功率 1.电感元件VCR的相量形式 如图4.29所示，,若 iL=ILm sin(t+i),则,令ULm=LILm，则,图4.29 电感元件,（2）令XL=L=2fL,则uL、iL大小关系写成 UL=ILXL 或 ULm=ILmXL XL叫做感抗,基本单位为欧姆()，它表明电感元件对电流的一种阻碍作用。应注意XL不仅和电感本身的L有关，还和电源频率成正比，f越大这种阻碍作用也越大，所以，我们说电感元件具有通低频阻高频的作用。,（3）uL、iL的相位关

21、系为uL超前iL90。其波形如图4.30所示。,图4.30 电压、电流及功率波形,由上述分析结论可知，当iL=ILm sin（t+i)时，,uL=ULm sin(t+u)=ULm sin,其对应的相量分别为,结论：关联方向下，电感元件VCR的相量形式为,或,(4-18),上式也称为相量形式的欧姆定律。把式(4-18)这个复数等式左右同时取模和幅角，就得uL和iL的大小关系和相位关系。取模：UL=ILXL(大小关系)。取幅角：u=i+(相位关系)。相量图如图4.31所示,图4.31 相量图,2.电感元件的功率 1）瞬时功率 pL=uLiL=ULm sin(t+u)ILm sin（t+i)=ULm

22、ILmsin(t+i)sin t+i+)=ULmILm sin(t+i)cos(t+i)=ULmILm sin2(t+i)-0=ULIL sin2(t+i)(4-19),瞬时功率波形如图4.30所示，由图可知，电感元件为储能元件。一个周期内元件吸收的能量和放出的能量相等，元件本身不消耗电能，因此其平均功率P=0（对此本文不再证明）。当电感元件上的电压和电流方向一致时，电感吸收电源的电能并转化成磁能储存在自身的磁场中；当电感元件上电压和电流方向相反时，电感又将磁能转化成电能释放到电路中。在电源作用的一个周期内，这种储、放能量过程要循环两次，即瞬时功率的周期为电源周期的一半。,2）无功功率 瞬时功

23、率的最大值称为无功功率。用QL表示，由式（4-19）可知,当电感上电压和电流均取基本单位时，其无功功率QL的单位为乏尔，简称乏（var）。无功功率体现了储能元件能量交换的最大速率。,3.电感元件储存的能量如图4.29所示,若,则,任意t时刻电感中储存的能量为,（4-20）,电感元件储存的能量的单位为焦耳（J）。,注意：式（4-20）中的iL为t时刻所对应的电感电流瞬时值，由此可知，电感中储存的最大能量为,（4-21）,4.4.3 电容元件上电压与电流的相量关系及功率 1.电容元件VCR的相量形式 如图4.32所示,若 uC=UCm sin(t+u),则,图 4.32 电容元件,令ICm=CUC

24、m,则,结论：（1）uC、iC为同频率正弦量。,（2）令,则uC、iC大小关系可写成,UC=ICXC 或 UCm=ICmXC,（3）uC、iC的相位关系为uC滞后iC 90。其波形如图4.33所示。,图4.33 电压、电流及功率波形,由上述分析结论可知，当uC=UCm sin(t+u)时,其对应的相量分别为,结论：关联方向下，电容元件VCR的相量形式为,或,同理,式(4-22)称为相量形式的欧姆定律，复数等式左右分别取模和幅角，就得出uC和iC的 大小关系和相位关系。取模：UC=ICXC(大小关系)。取幅角：,相量图如图4.34所示。,图4.34 相量图,2.电容元件的功率1)瞬时功率,(4-

25、23),2）无功功率由定义及式(4-23)可知,无功功率的单位为乏尔(var)。,3.电容元件储存的能量 与电感元件同理，可推出任意时刻电容储存的能量为,（4-25）,式中,uC为任意t时刻所对应的电容电压瞬时值，电容中储存的最大能量为,（4-26),4.5 用相量法分析RLC串联电路及多阻抗串联电路,4.5.1 RLC串联电路电压与电流的关系 如图4.35所示的电路中，有,图4.35 RLC串联电路,由KVL可知,(4-27),式(4-27)规定：X=XL-XC称为电抗，表征电路中所有储能元件对电流的阻碍作用，其中感抗取“+”，容抗取“-”。Z=R+jX称为复数阻抗（简称复阻抗），表征电路中

26、所有元件对电流的阻碍作用，其中电阻做实部，电抗做虚部。将复数阻抗分别取模和幅角，称为阻抗，=arctan(X/R)称为阻抗角，由式(4-27)可知，它也是端电压与电流的夹角。,由于角取值不同，相位关系可分如下三种情况讨论：（1）当XLXC时,ULUC,0(相量图如图4.36（a）所示)，电路端电压超前电流，电路中感抗大于容抗，电感起决定作用，此时电路性质称为感性。（2）当XLXC时，ULUC,0(相量图如图4.36（b）所示)，电路端电压滞后电流，电路中感抗小于容抗，电容起决定作用，此时电路性质称为容性。,图 4.36 相位关系,（3）当XL=XC时，UL=UC,=0(相量图如图4.36（c）

27、所示)，电路端电压与电流同相，电路中感抗等于容抗，此时电路性质称为纯电阻性（电路处于串联谐振状态,关于这部分内容,我们将在后续课程中介绍）。在图4.36中可以看出，各段电压相量可构成一个直角三角形（图4.36(c)为特例），而且三角形各边长均表示各段电压的有效值,它们的关系为,（4-28）,因此这样的三角形又称为电压三角形。,4.5.2 复阻抗与复导纳 1.复阻抗 我们把电路中所有元件对电流的阻碍作用用一复数形式体现，称之为复阻抗。复阻抗又可由式(4-27)定义为,复阻抗的单位为欧姆（）。,Z虽然是复数，但它并不表示正弦量，故不能用相量表示复阻抗（即Z的上面不能加小点）。由于Z为复数，因此它可

28、写成代数式和极坐标式，即 Z=R+jX=|Z|那么电阻R、电抗X、阻抗|Z|和阻抗角之间的关系为 R=|Z|cos X=|Z|sin,由图4.36(a)和图4.36(b)中的电压三角形三边长分别除以电路电流有效值I，便可得到阻抗三角形(如图4.37所示)，从阻抗三角形中可进一步证明上述各关系式。,图 4.37 阻抗三角形,2.复导纳 复阻抗的倒数称为复导纳，用大写字母Y表示，即,复导纳的单位为西门子（S）。由于Y是复数，因此它可表示成代数式和极坐标式，即 Y=G+jB=|Y|,式中，G称为电导，B称为电纳，|Y|称为导纳，称为导纳角，则各量关系为 G=|Y|cos B=|Y|sin,由上述关系

29、式也可以导出导纳三角形（略）。,根据以上定义可知，单个元件R、L、C的复导纳分别为,其中,G称为电导，BL称为感纳，BC称为容纳。,3.复阻抗与复导纳的关系,在同一电路中,由复导纳的定义可知,于是有,又因为,所以,同理可证,4.5.3复阻抗串联电路的分析 如图4.38（a）所示的多阻抗串联电路中，有,图4.38 复阻抗串联及其等效电路,式中,Z为串联电路的等效复阻抗，原电路可等效为图4.38（b）所示的电路，则 Z=R+jX=|Z|其中，R=R1+R2+.+Rn为串联电路的等效电阻;X=X1+X2+Xn为串联电路的等效电抗;|Z|=为串联电路的阻抗;=arctan(X/R)为串联电路的阻抗角。

30、,4.5.4 功率 1.有功功率（平均功率）串联电路的有功功率即为串联电路等效电阻上的有功功率，即,有功功率的单位为瓦特（W)。,2.无功功率 串联电路的无功功率即为串联电路等效电抗上的无功功率,即,又因为X=XL-XC,所以 Q=I2(XL-XC)=QL-QC 无功功率的单位为乏尔（var）。,3.视在功率 视在功率又称为表观功率，通常用它来表述交流设备的容量，它定义为 S=UI 视在功率的单位为伏安（VA）。,图4.39 功率三角形,4.5.5 举例 例4.12 如图4.40（a）所示，已知R=30,XL=80,XC=40,I=2 A,求复阻抗Z及各段电压相量，画出相量图，并求出电路的P、

31、Q和S。,图 4.40 例4.12图,例4.13 电路如图4.41所示，已知Z1=5+j5,Z2=-j8,Z3=4，如果Z3上的电压降为230V,求I和，并判断电路性质，计算P、Q、S。,图4.41 例4.13图,4.6 多阻抗并联电路的分析,4.6.1 阻抗法 用阻抗法分析并联电路，一般适应于两个支路并联的电路，而每个支路我们都可以用复阻抗表示。如图4.42所示的电路中，有 Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2,图4.42 两支路并联电路,各支路电流为,总电流为,其中,Z为并联电路的等效复阻抗，则有,或,（4-29）,对于有多个支路的并联电路，其等效复阻抗为,（4-30）,4.6.2 导纳

32、法 对于多支路并联电路，用阻抗法分析往往计算量很大，所以通常使用导纳法分析。首先我们可由复导纳的定义分别求出各支路复导纳Y1,Y2,Y3,.,Yn。,如图4.43所示，有,图4.43 用复导纳表示的多支路并联电路,图4.44 RLC并联电路,其中,Y为并联电路的等效复导纳，即 Y=Y1+Y2+Y3+.+Yn（4-31）又 Y=G+jB 其中，G=G1+G2+.+Gn 为并联电路的等效电导;B=B1+B2+.+Bn 为并联电路的等效电纳。,由此可知,电压和电流的大小、相位关系如下:(1)大小关系：I=U|Y|;(2)相位关系：i=u+(为导纳角，也叫电流超前电压的角）。,当取值不同时，相位关系有

33、三种情况：(1)0,此时B0，即BCBL，I3I2，容纳作用大于感纳作用,电路为容性(如图4.45（a）所示)。(2)0，此时B0，即BCBL，I3I2，感纳作用大于容纳作用,电路为感性(如图4.45（b）所示)。(3)=0，此时B=0，即BC=BL，I3=I2，容纳作用与感纳作用相当（并联谐振状态）,电路为纯电阻性(如图4.45（c）所示)。,图 4.45 相量图,4.6.3 功率 1)有功功率 P=UI cos=UI cos=U2G 2)无功功率 Q=UI sin=-UI sin=-U2B 3)视在功率,4.6.4 举例 例4.14 如图4.46所示，已知电流相量=20-36.9A，I2=

34、1045 A，电压相量=1000 V，求元件R1、XL、R2、XC和输入阻抗Z。,图4.46 例4.14图,例4.15 如图4.47所示的电路中，已知=1000 V,R=3,XL=4,XC=5,求各支路电流和电路的有功功率。,图4.47 例4.15图,例4.16 如图4.48（a）所示的电路中，已知U=10 V，求各支路电流，画出相量图，并求电路的P、Q和S。,图 4.48 例4.16图,例4.17 电路如图4.49所示，已知u=424 sin5000t V，试求总电流i及电压ucd。,图4.49 例4.17图,4.7 功率因数的提高,4.7.1 提高功率因数的意义 在电力系统中，功率因数是一

35、个重要的指标。功率因数过低会在电力系统中产生不良的后果。,(1)电源设备容量不能充分地利用。通常电源设备，如发电机、变压器都有一个额定容量，但能否全部为负载所利用这就取决于负载的性质，如果负载是纯电阻，即功率因数等于1，那么负载所获得的有功功率就等于电源的额定容量。而在实际电路中感性负载居多，即功率因数小于1，此时电源必须把一部分功率作为与储能元件间的能量交换，而供给负载的有功功率只能是一部分。cos值越低，所供给负载的有功功率P就越小，所以电源设备就不能充分利用。,(2)线路的电压损失和功率损耗过大。在传输一定有功功率P=UI cos的情况下，cos越低，则电流I越大,因此输电线路上电阻的功

36、率损耗越大，供电效率降低。同时输电线路上阻抗的电压损失增大，从而使负载电压降低，影响负载的正常工作。,4.7.2 提高功率因数的方法 目前实际中所使用的电气设备多为感性负载，那么提高负载功率因数最简单的方法就是用电容与感性负载并联，这样可以使电感中的磁场能量与电容中的电场能量交换，从而减少电源与负载间能量的互换。,例4.18 如图4.50（a）所示的电路中，一感性负载接在380 V的工频电源上，负载吸收的功率P=20 kW，功率因数cos1=0.6。若要使功率因数提高到0.9，则在负载两端需并联多大的电容。解 并联电容前，有,图 4.50 例4.18图,4.8 正弦交流电路负载获得最大功率的条

37、件,在实际问题中，有时需要研究负载在什么条件下能获得最大功率。这类问题可归纳为一个含源二端网络向无源二端网络传输功率的问题。由戴维南定理可知，这个含源二端网络可化成一理想电压源与一复阻抗串联，该复阻抗可以看作是电源内阻抗，若该电源所接无源二端网络的等效复阻抗为ZL，其电路模型如图4.51所示。,图4.51 实际电源带负载的电路,令 Zs=Rs+jXs,ZL=RL+jXL,则负载吸收的功率为,(4-32),若知PL为最大时应满足哪些条件，则需讨论负载的哪些参数可调，现从以下两种情况来讨论：,(1)负载的电阻和电抗都是可调的。仅当XL可调时，由式（4-32）可知，只有当Xs+XL=0,即Xs=-X

38、L时，PL值最大,（4-33）,保持Xs=-XL，PL已达到一种最大值PL=PLm。此时若RL可调，也就是说，这个PLm是RL的函数,则令dPLm/dRL=0时，PLm值为最大，则有,即可推出RL=Rs，代入式（4-33）可知此时负载获得的最大功率为,(4-34),因此当RL和XL均为可调时,负载获得最大功率的条件为RL=Rs,XL=-Xs,即 ZL=RL+jXL=Rs-jXs=Z*s(4-35)(2)负载的阻抗可调，而阻抗角不变。在有些情况下，负载的实部和虚部总是以相同比例增大或减小的，这实际上是阻抗角保持不变，而阻抗可调。,习 题 4,4.1 已知u1=220 sin(314t-120)V

39、,u2=220 cos(314t+30)V,（1）画出u1、u2的波形;（2）写出u1、u2的相量并画出相量图，求其相位差；（3）若把u2的参考方向取得和原来相反，重新回答（1)、（2）。,4.2 某广播电台所发射的正弦电磁波的频率为820 kHz，求它的周期和角频率。4.3 10 A的直流电流和最大值为14.14 A的正弦交流电流分别通过两个相等的电阻，在相同时间内哪个电阻发热量大？4.4 某电流的最大值为100 mA,频率f=1000 Hz，问电流流经正弦量零值后多长时间才能达到25 mA？,4.5 将下列复数写成代数式。(1)690;(2)220-120;(3)110120;(4)20;

40、(5)45;(6)10-135。4.6 将下列复数写成极坐标式。(1)3-j4;(2)30+j20;(3)-0.5-j0.8;(4)-8-j6。,4.10 一正弦电压源=13090 V，=100rad/s。若将该电压源分别施加于下列各元件上，求各电流相量，并画出相量图。(1)R=100;(2)L=20 mH;(3)C=100 F。4.11 已知电感两端的电压u=80 sin(1000t+105)V，若电感L=0.02 H，求通过电感中的电流i。4.12 已知通过0.5 F电容的电流为 i=sin(100t-30)A，求电容两端的电压u。,图 4.52 题4.13图,4.14 在RL串联电路中，

41、已知R=3，L=40 mH，将它们接在电压为u=1102 sin(100t+30)V的电源上，求电路的有功功率P和功率因数cos。4.15 在RLC串联电路中，已知R=40，XC=50，电容两端的电压UC=100 V，若所接电源的电压u=141 sin100t V，求电感L的值？,图4.53 题4.16图,4.16 如图4.53所示的电路中，已知=5045 V，I=2.5-15A，Z1=5-j8，求Z2。4.17 判断图4.54所示各电路中，输入电压ui与输出电压uo的相位关系。4.18 有一电感线圈，其电阻R=40，电感 L=0.5 H，若外加电压为50 V，f=1000 Hz，求线圈的电流

42、及电压与电流的相位差，并画出相量图。,图 4.54 题4.17图,4.18 有一电感线圈，其电阻R=40，电感 L=0.5 H，若外加电压为50 V，f=1000 Hz，求线圈的电流及电压与电流的相位差，并画出相量图。4.19 电感降压调速的电风扇的等效电路如图4.55所示，已知R=190，XL1=260，电源电压U=220 V，f=50 Hz，要使U1=180 V，问串联的电感LX应为多大？,图 4.55 题4.19图,图4.56 题4.22图,4.20 交流接触器的电感线圈R=220，L=63 H，试问(1)当电压为交流市电220 V时，电流为多少？(2)若错接到直流220 V的电源上，此

43、时电流是多少？4.21 在RL串联电路中，已知端电压，回路电流i=2.5 sin314t A，求电路的电阻R、电感L及电路中的功率P、Q、S。,4.22 如图4.56所示为三电压法测线圈参数的电路，电源频率为50 Hz，若已知串联电阻R=20，测得三个电压分别为U1=20 V，U2=40 V，U=50 V，电路电流为1 A，求线圈参数r和L。4.23 用电压表、电流表和功率表测量一线圈参数，如图4.57所示，电压表的读数为50 V，电流表读数为 1 A，功率表读数为30 W，试求电感参数R和L（电源频率为50 Hz）。,图 4.57 题4.23图,4.24 如图4.58所示的电路中，R=30，

44、XL=40，U=120 V，试求电路的复导纳及各支路电流，并画出相量图。,图 4.58 题4.24图,图4.59 题4.25，4.27图,4.25 电路如图4.59所示，当并联两个支路电流的相位差为90时，R1=10，XC1=25，XL2=8，试求R2的值。4.26 在电源电压为380 V，频率为50 Hz的电路中，接有一感性负载，负载的功率P=20 kW，功率因数为0.6，试求电路中的电流。如果在负载两端再并联一个374 F的电容器，问电路中的电流又为多大，电路的功率因数变成多少？,4.27 如图4.59所示的电路中，若已知R1=40，XC1=30，R2=30，XL2=40，电源电压U=220 V，求：(1)各支路电流及总电流；(2)电路的有功功率、无功功率和视在功率。,4.28 将一个感性负载接于110 V、50 Hz的交流电源时，电路中的电流为10 A，消耗功率P=600 W，求(1)负载的功率因数；(2)R、XL。,4.29 某工厂供电线路的额定电压Ue=10 kV，平均负荷P=400 kW，Q=260 kvar，(1)求功率因数；(2)如果将功率因数提高到0.9，需安装多大的补偿电容?4.30 如图4.60所示的电路中，已知电流源的电流=490 A，Z3=Z2=-j30，Z1=30，所接负载为ZL，求ZL的最佳匹配值和获得的最大功率。,图 4.60 题4.30图,