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1、2.2周期信号与离散频谱,2.2周期信号与离散频谱,一、傅立叶级数的三角函数展开式周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：x(t)=x(t+nT)在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。1.狄里赫利条件函数x(t)在闭区间上,如果满足：(1)连续或至多只具有有限个第一类间断点；(2)只具有有限个极值点。则x(t)的傅里叶级数收敛。,2.相关概念（1）连续：设y=f(x)在x0的某邻域内有定义，且有 则称y=f(x)在x=x0处连续。（2）第一类间断点：若x=x0不是y=f(x)的连续点，则称x=x0是y=f(x)的间断点。间断点可以分成两类，即第一
2、类间断点与第二类间断点。若x=x0是y=f(x)的间断点，但y=f(x00)与y=f(x00)都存在，则称x=x0为y=f(x)的第一类间断点。,2.2周期信号与离散频谱,3.傅里叶级数的表达形式：,T周期，T=2/0；0基波圆频率；f0=0/2;n=1,2,3,式中:,常值分量,余弦分量的幅值,正弦分量的幅值,2.2周期信号与离散频谱,式中:,将展开式中的同频项合并，可改写成,2.2周期信号与离散频谱,由此可见，周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。,分步积分公式,2.2周期信号与离散频谱,例：求如图所示的周期性三角波的傅立叶级数解：在x(t)的一个周期中可表示为 常
3、值分量：,2.2周期信号与离散频谱,A,-T0/2,T0/2,余弦分量的幅值正弦分量的幅值 上式是因为x(t)为偶函数，sinn0 t 为奇函数，所以 x(t)sinn0 t 也为奇函数，而奇函数在上下限对称区间积分之值等于零。于是，该周期性三角波的傅立叶级数展开式为,2.2周期信号与离散频谱,2.2周期信号与离散频谱,将展开式中的同频项合并，,可改写成,周期性三角波频谱图如图，其幅频谱只包含常值分量、基波和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以1/n2 的规律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位均为零。,2.2周期信号与离散频谱,幅频谱图,相频谱图,2.2周期信号与离散频谱,二、傅立叶级数的复
4、指数函数展开式,1.三角函数的复数形式根据欧拉公式：傅立叶级数展开式可改写成为,有,2.2周期信号与离散频谱,2.傅立叶级数的复指数函数形式 令n0，1，2，得,令,则,或,2.2周期信号与离散频谱,一般情况下cn 是复数，式中 cn与c-n共轭cnc-n；周期函数x（t）展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以IcnI-和n-作幅频谱图和相频谱图也可分别以cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。,2.2周期信号与离散频谱,三、频谱图的概念,工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 fn(0)为横坐标，bn、an为纵坐标画图，称为实频虚频谱图；以fn为横坐标，An
5、、为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；以 fn 为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。,图例,2.2周期信号与离散频谱,四、总结,1.频谱的含义任意波形的周期信号都可以分解为两种基本的连续时间信号（函数）正弦信号和复指数信号的叠加形式，也就是，一个周期信号可以用正弦信号描述，也可以用复指数信号描述，不同形状的周期信号其区别只在于基本频率0（或基本周期T0）的不同、组成的各谐波分量的振幅和相位不同。频谱An(n0)、n(n0)或cn(n0)是抽取反映信号全貌的三个基本特征，即基频0、振幅An或cn和n相位来描述时域信号x(t)，也就是说频谱An(n0)、n(n0)或cn(n0)是时域信号x(t)的频
6、域描述，即描述了x(t)的频率结构。,2.2周期信号与离散频谱,频率的高低：相当于时间信号x(t)波形变化的快慢。幅值的大小：表示在某个频率点上其信号x(t)的能量（或冲击力）的大小。相位：表示波形在时域中出现的时刻。频谱图由于周期函数的谱线是离散的其图形类似于光谱图，故称为频谱图，每根谱线代表一个分量。An(n0)中的每根谱线代表一个正弦分量。cn(n0)中的每根谱线代表一个复指数分量。谱线的高度代表该分量的振幅该频率下冲击力的大小。,2.2周期信号与离散频谱,2分析复指数函数形式的频谱为双边谱(从-到+)，三角函数形式的频谱为单边谱(从0到+)；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即I
7、cnI=An/2，Ic0I=a0双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。3.复指数级数中的负频率说明在式下中，n取正、负值。当n为负值时，谐波频率n0为“负 频率”，主要原因角速度按其旋转 方向可以为正或负，一个向量的实 部可以看成为两个旋转方向相反的 矢量在其实轴上投影之和，而虚部 则为虚轴上投影之差。,2.2周期信号与离散频谱,例题画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。解：根据欧拉公式得故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。一般周期函数按傅立叶级数的复指数形式展开后，其实频谱总是偶对称，其虚频谱总是奇对称。,2.2周期信号与离散频谱,a)x(t)=cos0
8、 t,b)x(t)=sin0 t,2.2周期信号与离散频谱,4.周期信号频谱的三大特点1）离散性:周期信号的频谱是离散的。2）谐波性:每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是诸分量频率的公约数。3）收敛性:各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在频谱分析中没必要取那些次数过高的谐波分量。,2.2周期信号与离散频谱,五、周期信号的强度表述周期信号的强度表述方式有四种：1）峰值：峰值xp信号可能出现的最大瞬时值，即 xp=Ix(t)Imax 峰-峰值xp-p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差。2）均值：是信
9、号的常值分量。3）绝对均值：周期信号全波整流后的均值。,2.2周期信号与离散频谱,4）有效值：是信号的均方根值。5）平均功率：有效值的平方，反映信号的功率大小。,2.2周期信号与离散频谱,例子：方波信号的频谱展开,2.2周期信号与离散频谱,波形合成与分解,周期信号都可以用三角函数sin(2nf0 t),cos(2nf0t)的组合表示,也就是说，可以用一组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。,2.2周期信号与离散频谱,2.3 非周期信号与连续频谱,非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。通常所说的非周期信
10、号是指瞬变非周期信号。常见的非周期信号如图。,2.3 非周期信号与连续频谱,一、傅立叶积分 1.对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔当周期T0 趋于无穷时，其频率间隔趋于无穷小，谱线无限靠近。变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。设有一个周期信号x(t)在区间（T0/2，T0/2）以傅立叶级数表示为,其中,代入,2.3 非周期信号与连续频谱,将cn代入上式则得当T0 趋于无穷大时，频率间隔成为d，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，n0成为连续变量，求和符号就变为积分符号，于是这就是傅立叶积分。,2.3 非周期信号与连续频谱,圆括号里的积分，由于
11、时间t是积分变量，故积分后仅是的函数，记做X(),于是,两者称为傅立叶变换对，可记为,称为x(t)的傅立叶变换,称为X()的傅立叶逆变换,2.3 非周期信号与连续频谱,把2f 代入前面两式，则式变为公式简化后有关系一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成式中IX(f)I为信号x(t)的连续幅值谱，(f)为信号x(t)的连续相位谱。,2.3 非周期信号与连续频谱,说明：与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅
12、值密度函数描述。,另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。,2.3 非周期信号与连续频谱,二、傅立叶变换的性质,a.奇偶虚实性 b.线性叠加性 若 x1(t)X1(f)，x2(t)X2(f)则：c1x1(t)+c2x2(t)c1X1(f)+c2X2(f)c.对称性 若 x(t)X(f)，则 X(-t)x(-f)d.时间尺度改变性 若 x(t)X(f)，则 x(kt)1/kX(f/k)e.时移性 若 x(t)X(f)，则 x(tt0)ej2ft0 X(f)f.频移性 若 x(t)X(f)，则 x(t)ej2fot X(ff0)g.卷积特性
13、,2.3 非周期信号与连续频谱,傅立叶变换的主要性质,2.3 非周期信号与连续频谱,1.时移与频移特性,若x(t)X(f)在时域中信号沿时间轴平移一常值t0时，则在频域中信号沿频率轴平移一常值f0时说明：将信号在时域中平移，则其幅频谱不变，而相频谱中相角的改变量和频率成正比=-2f0。,2.3 非周期信号与连续频谱,2.卷积特性(1)卷积定义两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为，记做x1(t)*x2(t)。(2)卷积特性若;则,2.3 非周期信号与连续频谱,2.4 典型信号的频谱分析,2.4 典型信号的频谱分析,（一）矩形窗函数的频谱,1.定义2.频谱,2.4 典型信号的频谱分析,矩形窗
14、函数及其频谱,2.4 典型信号的频谱分析,3.sinc 函数,该函数在信号分析中非常有用，它以2为周期，并随x的增加而做衰减振荡。在n(n=1,2,3,)处为零。,性质：偶函数；抽样(或闸门)函数；滤波函数；内插函数。,2.4 典型信号的频谱分析,4.相角讨论,W(f)函数只有实部，没有虚部。其幅值频谱为 IW(f)ITIsinc(ft)I其相位视sinc(fT)的符号而定，当sinc(fT)为正值时相角（f）为零，当sinc(fT)为负值时相角为。,2.4 典型信号的频谱分析,5.窗函数的实际意义,设客观存在的信号为x(t)，其理论定义域为(0,+)，在进行测试工作时，实际的记录为有限长的信
15、号，记做y(t)其定义域为(0，T)，T 为记录时间，长度为有限值。“记录”相当于人为截取信号，这是不可避免的。在数学上相当于y(t)=x(t)wR(t)信号从无限到有限发生了质的变化。例如x(t)为周期信号其频率谱为离散的，但经截断后y(t)不再是周期的了其频谱也变为连续谱，这种现象叫截断效应，又叫窗效应，若不考虑截断效应，就会得出错误的结论。,2.4 典型信号的频谱分析,（二）函数及其频谱,1.定义在时间内激发一个矩形脉冲S(t)（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲），其面积为1（如图）。当趋于0时，S(t)的极限就称为函数，记做(t)。函数称为单位脉冲函数。(t)的特点有：从函数极值的
16、角度看从面积的角度来看（也称为函数的强度）,2.4 典型信号的频谱分析,2.函数的采样性质,如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0)(t)，其余各点(t0)之乘积均为零。其中f(0)(t)是一个强度为f(0)的函数；也就是说，从函数值来看，该乘积趋于无限大，从面积(强度)来看，则为f(0)。如果函数与某一连续函数f(t)相乘，并在(，)区间中积分，则有,2.4 典型信号的频谱分析,同理，对于有延时t0的函数(tt0)，它与连续函数f(t)的乘积只有在t=t0时刻不等于零，而等于强度为f(t0)的函数；在(-，)区间内，该乘积的积分 以上函数的采样性质表明任何函数f(
17、t)和(tt0)的乘积是一个强度为f(t0)的函数(tt0)，而该乘积在无限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。这个性质对连续信号的离散采样是十分重要的，在第五章中得到广泛应用。,2.4 典型信号的频谱分析,3.函数与其他函数的卷积特性,任何函数和函数(t)卷积是一种最简单的卷积积分。例如，一个矩形函数x(t)与函数(t)的卷积为图a同理，当函数为(tt0)时，（图b）x(t)函数和函数的卷积的结果，就是在发生函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。,2.4 典型信号的频谱分析,函数与其它函数的卷积示例,2.4 典型信号的频谱分析,4(t)的频谱,将(t)进行傅立叶变换
18、其逆变换为 故时域的具有无限宽广的频谱，且在所有的频段上都是等强度的，如图，这种频谱称为均有谱。,2.4 典型信号的频谱分析,根据傅立叶变换的对称性质、时移、频移性质，可得以下傅立叶变换对,2.4 典型信号的频谱分析,（三）正、余弦函数的频谱密度函数,进行傅立叶变换需要满足绝对可积条件，但正、余弦不满足这一条件，不能直接进行傅立叶变换，需要在傅立叶变换时引入函数。据欧拉公式有应用函数的傅立叶变换对，正余弦函数的傅立叶变换如下,2.4 典型信号的频谱分析,正、余弦函数及其频谱,2.4 典型信号的频谱分析,2.5 频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。
19、,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,2.5 频谱分析的应用,谱阵分析：设备启/停车变速过程分析,2.5 信号的频域分析,2.6 随机信号,一、概述：随机信号是不能用数学关系式或图表描述的信号称为非确定性信号。是不能准确预测其未来瞬时值，无法用数学关系式描述的信号。其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。特征：不能用重复性实验得到相同的结果；不能预计 将来某时刻数值的大小和方向（极性）；符合统计规律。可用概率统计方法
20、由其过去估计其未来。,2.6 随机信号,随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经(遍历性)随机过程。工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽不是严格的各态历经过程，但也可以当作各态历经随机过程来处理。,二、随机信号的主要特征参数,描述各态历经随机信号的主要特征参数有：1)均值、方差和均方值2)概率密度函数3)自相关函数。4)功率谱密度函数。,1、均值,均值Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。,均值：反
21、映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。,2、均方值,工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。,信号的均方值Ex2(t)，表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。,3、方差,方差：反映了信号绕均值的波动程度。,信号x(t)的方差定义为：,均值、方差、和均方值的相互关系是,4、概率密度函数,以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一。,p(x)的计算方法,5、概率分布函数,概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：,概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,2.3 信号的幅值域分析,自相关函数和功率谱密度函数在后面介绍,作业,教材P271-1、1-2、1-3、1-5、1-6,2.5 信号的频域分析,
