《用坐标法研究仿射变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用坐标法研究仿射变换.ppt（55页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、3 用坐标法研究仿射变换,3.1 仿射变换的变换公式,3.2 变换矩阵的性质,3.3 仿射变换的不动点和特征向量,3.4 保距变换的变换公式,定理 平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为,(4.3),其中系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵.,反之,如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则 f 是仿射(点)变换.,3.1 仿射变换的变换公式,证明:设 f 是仿射点变换,I:O;e1,e2 是平面仿射坐标系,平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),P 在 f 下的像 f(P)在 I 中的坐标为(x,y).,记 II:f(
2、O);f(e1),f(e2),根据仿射变换基本定理,它是仿射坐标系,且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标(x,y).,设 f(e1),f(e2),f(O)在 I 中的坐标分别为,(a11,a21),(a12,a22),(b1,b2),于是f(P)在 II 中的坐标为(x,y).,3.1 仿射变换的变换公式,则 I 到 II 的坐标变换公式为,从而 f(P)的I 坐标(x,y)和 II 坐标(x,y)应满足,而上式右端的(x,y)又可以理解为P 的I 坐标,故上式,即(4.3)式就是平面的一个仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式,其系数矩阵A=(a
3、ij)是 I 到 II 的过渡矩阵,是可逆矩阵.,3.1 仿射变换的变换公式,反之,如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则 f 显然是可逆变换,其逆变换 f 1 可由下式给出,此外,设三点A,B,C共线,且在 I 中的坐标分别为,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据P22.例1.7,则有,3.1 仿射变换的变换公式,由假设,像点 f(A),f(B),f(C)在 I 中的坐标分别为,(a11x1+a12y1+b1,a21x1+a22y1+b2),(a11x2+a12y2+b1,a21x2+a22y2+b2),(a1
4、1x3+a12y3+b1,a21x3+a22y3+b2),因为行列式,1,1,3.1 仿射变换的变换公式,=0.,根据P22.例1.7 可知,f(A),f(B),f(C)共线.,综上可知,f 是仿射(点)变换.,3.1 仿射变换的变换公式,注:1.若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为,其中系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则其决定的向量变换在该仿射坐标系中的公式为,A称为变换矩阵.,(4.3),(4.4),3.1 仿射变换的变换公式,2.仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I 到 f(I)的过渡矩阵,因此它的两个列向量分别为I的坐标向量e1,e2的像f(e1),f(e2)
5、在I中的坐标.,3.仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式上完全相同,但意义完全不同！,仿射变换的变换公式中,(x,y),(x,y)是不同的两个点A及其像点f(A)(或不同的两个向量 u 与f(u)在同一个坐标系中的坐标;,而在坐标变换公式中,(x,y),(x,y)是同一个点(或向量)在不同坐标系中的坐标.,3.1 仿射变换的变换公式,4.对仿射向量变换公式的理解:,(1)若知道向量或它的像向量中任一个坐标,可由公式求出另一个坐标.,(2)若能求出任意向量及其像向量之间的关系表达式,则其矩阵表达式中的矩阵即为f 的变换矩阵.,5.给定仿射变换 f 在仿射坐标系I 中的变换公式,若已知某图形 或
6、它的像f()的方程,可利用变换公式求出 的像f()或 的方程.,3.1 仿射变换的变换公式,例 1 已知在仿射坐标系 I 中,仿射变换 f 的点变 换公式为,直线 l 的方程为 3x+y 1=0,求 f(l)的方程.,解:,方法1.根据题设变换公式反解得,代入 l 的方程得,3(2x+3y 16)+(3x+4y 23)1=0.,整理得 9x 13y+72=0.,于是 f(l)的方程为 9x 13y+72=0.,3.1 仿射变换的变换公式,方法2.(待定系数法),设 f(l)的方程为 Ax+By+C=0,将题设变换公式代入得到 l 的方程为,A(4x 3y 5)+B(3x 2y+2)+C=0,它
7、与 3x+y 1=0 都是 l 的方程,于是,从左式得 A:B=9:13,右式得 A:C=1:8.,取 A=9,B=13,C=72,得 f(l)的方程为,9x 13y+72=0.,3.1 仿射变换的变换公式,方法3.,取 l 上一点 P1(0,1)和 l 的方向向量 u(1,3),根据题设变换公式得 f(P1)的坐标为(8,0),根据题设,向量变换公式为,得 f(u)的坐标为(13,9),于是 f(l)的方程为,即 9x 13y+72=0.,3.1 仿射变换的变换公式,例 2 在仿射坐标系 I 中,仿射变换 f 把直线 x+y 1=0 变为 2x+y 2=0,把直线 x+2y=0 变为x+y+
8、z=0,把点(1,1)变为(2,3),求 f 在 I 中的变换公式.,解:,方法1.(待定系数法),假设所求变换公式为,因为 f 把直线 x+y 1=0 变为 2x+y 2=0,即 直线 2x+y 2=0 的原像是 x+y 1=0,从而,3.1 仿射变换的变换公式,2(a11x+a12y+b1)+(a21x+a22y+b2)2=0,就是直线 x+y 1=0,(2a11+a21):(2a12+a22):(2b1+b22)=1:1:(1),即 2a11+a21=2a12+a22,2a11+a21=(2b1+b2 2),类似地,由f 把直线 x+2y=0变为x+y+1=0 可得到,(a11+a21)
9、:(a12+a22):(b1+b2+1)=1:2:0,即 2(a11+a21)=a12+a22,b1+b2+1=0,于是,3.1 仿射变换的变换公式,再由f 把点(1,1)变为点(2,3)得到,a11+a12+b1=2,a21+a22+b2=3,从上面这6个方程解出,a11=3,a12=1,b1=2,a21=1,a22=3,b2=1,于是所求变换公式为,3.1 仿射变换的变换公式,方法2.把点(x,y)经过变换得到的像点的坐标x,y 看作 x,y 的函数,用条件来决定变换公式.,直线 2x+y 2=0 的原像是 x+y 1=0,从而 2x+y 2=0(其中x,y 看作 x,y 的函数)与 x+
10、y 1=0表示同一条直线的方程,因此存在数s,使得,2x+y 2=s(x+y 1),再由f 把点(1,1)变为点(2,3),用x=1,y=1,x=2,y=3 代入,求出 s=5.,3.1 仿射变换的变换公式,直线 x+y+1=0 的原像是 x+2y=0,因此存在数t,使得,x+y+1=t(x+2y),再由f 把点(1,1)变为点(2,3),用x=1,y=1,x=2,y=3 代入,求出 t=2.,由此解得,从而 x+y+1=0与 x+2y=0表示同一条直线,3.1 仿射变换的变换公式,例3(P207.1)证明:在任何仿射坐标系中,位似 变换的变换矩阵都是数量矩阵kE,其中k 是位似系数.反之,如
11、果一个仿射变换在某个仿射坐标系 中的变换矩阵是数量矩阵kE,其中k 1,则它一定是位似变换.,证明:设 f 是位似变换,位似中心M,位似系数k.,建立平面仿射坐标系I:O;e1,e2,设位似中心M在 I 中的坐标为(a,b),平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),P 在 f 下的像 f(P)在 I 中的坐标为(x,y).根据位似变换的定义,有,3.1 仿射变换的变换公式,=(ae1+be2)+(k(xa)e1+k(yb)e2),故,因此位似变换 f 在 I 中的变换矩阵为数量矩阵kE.,=(kx+(1 k)a)e1+(ky+(1 k)b)e2,即,3.1 仿射变换的变换公式,反之,设仿
12、射变换 f 在某个仿射坐标系I 中的变换 矩阵是数量矩阵kE,其中k 1,设其变换公式为,令M 是在 I 中坐标为(c/(1 k),d/(1 k)的点,设平面上任一点P 在 I 中的坐标为(x,y),=k(xc/(1 k)e1+(y d/(1 k)e2),即 f 是以M为位似中心,位似系数为k 的位似变换.,3.1 仿射变换的变换公式,3.2 变换矩阵的性质,在变换公式(4.3)和(4.4)中,变换矩阵A=(aij)是关键因素.已经知道仿射变换 f 在一个仿射坐 标系I 中的变换矩阵即为I 到 f(I)的过渡矩阵,下 面给出变换矩阵的几个重要性质,主要回答以下两个问题:,(1)已知两个仿射变换
13、在一个仿射坐标系I 中的 变换矩阵,如何求它们的乘积的变换矩阵?,(2)已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系I 中的变换矩阵,如何求 f 在另一个仿射坐标系II 中的变 换矩阵?,引理 设I1和I2是平面上的两个仿射坐标系,它们分别被仿射变换f 变为II1和II2,则I1到I2的过渡矩阵与II1到II2的过渡矩阵相同.,f,f,A,A,A的列向量是I2坐标向量e1,e2的I1坐标,过渡矩阵的列向量是f(I2)坐标向量f(e1),f(e2)的f(I1)坐标,f(I1),=,f(I2),=,3.2 变换矩阵的性质,性质1.若仿射变换f 把坐标系I变成II,则f 在II中的变换矩阵就是f 在I中的变换
14、矩阵.,3.2 变换矩阵的性质,f,f,A,A,f(I),=,=f(I),性质2.若仿射变换f,g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A,B,则它们的乘积gf 在I中的变换矩阵为BA.,A,B,A,BA,3.2 变换矩阵的性质,性质3.若仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,则它的逆变换f 1在I中的变换矩阵为A1.,性质4.设仿射变换 f 在仿射坐标系I中的变换矩阵为A,I到仿射坐标系II的过渡矩阵为H,则 f 在II中的变换矩阵为H1AH.,A,H,H1AH,H,H1,3.2 变换矩阵的性质,性质4表明:同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵相似,并且可用这两个坐标系间的过渡矩阵实现
15、这个相似关系.,性质5.同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵的行列式相等.,命题4.8 仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式的绝对值.,仿射变换的变换矩阵的行列式有很强的几何意义:,证明:设在仿射坐标系I:O;e1,e2中,仿射变换 f 的变换矩阵为,3.2 变换矩阵的性质,则 f(e1)f(e2)=(a11e1+a21e2)(a12e1+a22e2),=(a11a22 a12a21)e1 e2,=|A|e1 e2,所以 f 的变积系数,因|e1 e2|,|f(e1)f(e2)|分别是 I 和 f(I)的两个坐标向量所夹平行四边形 和 的面积,且显然=f(),3.2 变换矩阵的性质
16、,定义:平面的仿射变换f,若它在仿射坐标系中的变换公式的系数矩阵A的行列式|A|0,则称f 为第一类的;若|A|0,则称 f 是第二类的.,因为 f(e1)f(e2)=|A|e1 e2,所以,第一类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I)的定向相同.,第二类仿射变换 仿射坐标系 I 与 f(I)的定向相反.,3.2 变换矩阵的性质,P207.习题4.3,3,5,6,11(1,2).,作 业,定义:如果非零向量u 与f(u)平行,则称u为f 的一个特征向量;此时有唯一实数使得 f(u)=u,称为f 的一个特征值,也称u为f 的属于特征值的特征向量.,求法:设f 在仿射坐标系I中的公式为,变换矩阵A
17、,3.3 仿射变换不动点特征向量,仿射变换的特征值和特征向量,则非零向量u(x0,y0)是 f 的属于特征值的特征向量当且仅当,当且仅当下面齐次线性方程组有非零解:,当且仅当行列式,称为 f 的特征方程,或,即,(4.6),(4.7),3.3 仿射变换不动点特征向量,步骤1.求特征值,即特征方程的解.,步骤2.对每一特征值,求齐次方程组,的非零解,即为 f 的属于特征值的特征向量.,或,这样求仿射变换特征向量和特征值的步骤如下:,3.3 仿射变换不动点特征向量,例 4 设f 是位似系数为k 的位似变换,求f 的特征 向量与特征值.,解:,由例3可知,位似变换在任何仿射坐标系中的变换矩阵都是数量
18、矩阵kE,故其特征方程为,22k+k2=(k)2=0,从而 f 有两个相同的特征值1=2=k.,对于1=2=k,齐次方程组(4.6)中两个方程都是恒等式0=0,故任何非零向量都是 f 的特征向量.,直观上,位似变换将任何非零向量映成与之平行 的向量,故任何非零向量都是f 的特征向量.,3.3 仿射变换不动点特征向量,求法:f 的不动点即为下面方程组的解.,于是当行列式,定义 设 f:是一个仿射变换,P.如果 P 在 f 下不动,即 f(P)=P,则称 P 为 f 的一个不动点.,仿射变换的不动点,3.3 仿射变换不动点特征向量,(1)不为零时(即1 不是 f 的特征值),f 有唯一不动点.,(
19、2)为零且方程组无解,此时f 无不动点.,(3)为零且两个一次方程同解,此时f 有无穷多个不动点.,若 f=id,则每一点都是不动点;,否则 f 的不动点构成一条直线:,(1a11)x 2a12y b1=0.,3.3 仿射变换不动点特征向量,例 5 已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系中的 变换公式为,(1)求f 的不动点和特征向量;,(2)求f 的变积系数;,(3)作仿射坐标系,使得原点是不动点,坐标轴 平行于特征向量,求f 在此坐标系中的变换公式.,解:,(1)解方程组 得f 的不动点,为点O(1/2,2).,3.3 仿射变换不动点特征向量,解特征方程 2 9+18=0 得f 的特征值为,1
20、=3,2=6.,对于1=3,解齐次方程组,得 f 的属于1=3 的特征向量为 k(1,4)T(k 0).,对于1=6,解齐次方程组,得 f 的属于2=6 的特征向量为 k(1,1)T(k 0).,3.3 仿射变换不动点特征向量,(2)f 的变积系数为,(3)解法一:待定系数法,运用变换矩阵的性质4.,设所求的 f 的变换公式为,因为原点是不动点,所以,由此得 d1=d2=0.,3.3 仿射变换不动点特征向量,设 f 在旧坐标系中的变换矩阵为A,根据性质4,f 在新坐标系中的变换矩阵B应为,又新坐标轴平行于特征向量,所以可取特征向量(1,4)T,(1,1)T 分别作为新系的坐标向量,从而旧坐标系
21、到新坐标系的过渡矩阵为,3.3 仿射变换不动点特征向量,故 f 在新坐标系中的变换公式为,即,3.3 仿射变换不动点特征向量,(3)解法二:利用特征向量的性质.,由原点是不动点,所以f 在新系中的变换公式中常数项为0;又新坐标轴平行于特征向量,故坐标向量 分别平行于u=(1,4)T,v=(1,1)T,设,则,因此仿射变换 f 在新系中的变换矩阵为,从而 f 在新系中的变换公式为,3.3 仿射变换不动点特征向量,定理 平面的保距点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为,(),其中系数矩阵A=(aij)是正交矩阵.,反之,如果平面的一个点变换 f 在一个直角坐标系中的公式为(),且其系数矩阵A=(a
22、ij)是正交矩阵,则 f 是保距(点)变换.,3.4 保距变换的变换公式,类似于仿射变换的变换公式,有如下定理:,设f 是平面 上的保距变换.取 I:O;e1,e2 为右 手直角坐标系,由上面定理可知,f 在 I 中的变换矩阵为正交矩阵.,情形1.若f 是第一类保距变换,则|A|=1,于是A 有如下形式:,若=0,则,于是 f 的点变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,此时f 是一个平移,平移量为 u(b1,b2).,如果0 2,则,故f 有唯一不动点M0(x0,y0).作移轴,使新原点为 M0,得新直角坐标系I:M0;e1,e2,则I 到I 的坐标变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,设
23、 f 在 I 中的变换公式为,将I 到I 的坐标变换公式代入上式可得,因为M0(x0,y0)是f 的不动点,故,3.4 保距变换的变换公式,将它代到上式中可得到 f 在 I 中的变换公式为,因此f 是绕M0的旋转,转角为.,总结以上结果,得到,命题4.9 平面上第一类保距变换或是平移,或是旋转.,3.4 保距变换的变换公式,情形2.若f 是第二类保距变换,则|A|=1,此时A 有两个不相等的特征值,其乘积为1.,设 是f 的特征值,e 是f 的相应的特征向量,则,f(e)=e.,又f 是保距变换,e 和f(e)长度相等,于是由|f(e)|=|e|=|e|可得|=1,这样f 的特征值为1 和 1
24、.,取直角坐标系I:O;e1,e2,使e1为属于特征值 1 的 特征向量,则f(e1)在 I 中的坐标为(1,0).,3.4 保距变换的变换公式,于是 f 在 I 中的变换矩阵为,再由 A 是正交矩阵,以及|A|=1,可得,a12=0,a22=1.,因此 f 在 I 中的变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,当b1=0时,f 在 I 中的变换公式为,从而 f 是关于直线 的反射.,当b1 0 时,f 是关于直线 的反射与平移量为b1e1 的平移的复合,b1e1 与反射轴 平行,因此 f 是滑反射.,命题4.10 平面上第二类保距变换或是反射,或是滑反射.,3.4 保距变换的变换公式,P210
25、.17.(3)判断在右手直角坐标系中,有下面变换公式的保距变换 f 是什么变换,并求出其特征(旋转中心,反射轴线,滑反射轴线和滑动量等):,解:,因为 所以f 是第二类保距变换.,3.4 保距变换的变换公式,它必有特征值 1 和 1,对于特征值 1,解齐次方程组(EA)X=0,得f 的属于特征值 1 的特征向量为 k(3,1)T,k 0.,保持原点不变,以属于特征值 1 的特征向量为新 坐标向量e1,建立新的右手直角坐标系,则,3.4 保距变换的变换公式,于是旧系到新系的坐标变换公式为,由此可解出变换 f 在 新系中的变换公式为,3.4 保距变换的变换公式,由于新变换公式中常数项 b1 0,故f 是滑反射.,且其滑反射轴为,即,也即 x+3y 4=0.,其滑动量为,3.4 保距变换的变换公式,P207.习题4.3,12,14,17,19.,作 业,
