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1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（一）,一 众数、中位数、平均数的概念,中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数,众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数,众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.,平均数:一组数据的算术平均数,即 x=,练习:在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：,分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数,解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.
2、75上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70,1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。例如，在调查的100位居民的月均用水量的问题中，从样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：,1.众数与样本数据的频率分布直方图关系,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的众数估计值往往与样本的实际众数值不一致.,2、在样本中，有50
3、的个体小于或等于中位数，也有50的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.,2.中位数与频率分布直方图关系,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),说明:2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.
4、,在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点，假设横轴是一块放置直方图的跷跷板，则支点取在平均数处时跷跷板达到平衡。,3.平均数与频率分布直方图关系,下面我们用来看样本平均数与样本频率直方图的联系。,我们知道,n个样本数据的平均数,三种数字特征的优缺点,1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少.,2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如
5、上例中假设有某一用户月均用水量为10t，那么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。,3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。,例1.从某大型企业全体员工某月的月工资表中随机抽取50名员工工资资料如下：800 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 12
6、00 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 2500 2500 2500,计算这50个数据的众数，中位数和平均数，并估计这个企业员工的平均工资。,解：众数是1200，中位数是1200，平均数是这50个数值的和除以50得1320.估计这个企业员工的平均工资是1320元.,例2.某工厂人员及工资构成如下：,（1）指出这个问题中的众
7、数、中位数、平均数；（2）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？,解：（1）由表格可知：众数为200，中位数为220。平均数为300（元/周）。（2）虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.,例3.右面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该校学生的日平均睡眠时间。,解1：总睡眠时时间6.255+6.7517+7.2533+7.7537+8.256+8.752=739(h)故平均睡眠时间约为7.39h,解2：求各组中值与对应频率之积的和，6.250.0
8、5+6.750.17+7.250.33+7.7537+8.250.06+8.750.02=7.39(h)估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h,例4.某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入。,解：估计该单位职工的平均年收入为 1250010%+1750015%+2250020%+2750025%+3250015%+3750010%+450005%=26125(元)答：估计该单位人均年收入约为26125元.,练习题：,1.若M个数的平均数是x，N个数的平均数是y，则这M+N个数的平均数是.,，,
