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1、第2章 误差理论与测量数据处理,2.1 测量误差的基本概念2.2 独立等精度测量随机误差的估计和数据处理2.3 系统误差的估计和数据处理2.4 粗大误差的估计和数据处理2.5 误差的合成2.6 测量数据的处理,2.1 测量误差的基本概念误差公理：误差存在于一切加工和测量中。在高精度要求的情况下，不能直接使用测量数据。测量数据处理的注意事项：利用被测物理量的特性，建立被测物理量真值的数学模型；利用测量设备的特性，建立测量误差的数学模型；以数学理论为基础；充分利用计算机的精度、速度和存储量。,误差理论研究和数据处理的目的：分析误差的原因和性质，合理计算结果，通过估计和修正减小误差，以便在一定条件下
2、得到更接近于真值的数据；正确组织实验，合理设计仪器，合理选用仪器和测量方法。,一、误差的有关术语 1 真值A0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值（不可测）。2 指定值AS 亦称约定值，一般用来代替真值。3 实际值A 由于无法直接和国家标准比对，在量值传递中，高一级标准所体现的值当作准确无误的值，即实际值，亦称相对真值。在实际测量中代替真值。,4 标称值 测量器具上标定的数值。5 示值 测量器具指示的被测量的量值。6 测量误差 测得值与被测量真值之间的差值。7 单次测量与多次测量 精度要求高时进行多次测量。8 等精度测量和非等精度测量 取决于在对被测量进行多次测量的过程，包括主、
3、客观因素在内的测量条件是否变化。,二、误差的表示方法 1、绝对误差x x=x-A0，或x=x-A式中：x绝对误差；x被测量的给出值；A0被测量的真值，A实际值。,2、相对误差和实际相对误差A,3、示值相对误差x,其中：xm为量程满度值。5 分贝误差dB 用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（dB）。设A为实际相对电压增益误差（电压增益误差/实际电压增益），x为实测相对电压增益误差（电压增益误差/实测电压增益）则 dB=Gx-G=20lg（1+A）（dB）式中，Gx为电压增益测得值的分贝值（Gx=20lg（Ax）(dB)，A=uox/uix）；G为电压增益实际值的分贝值(G=20lg（A）(dB
4、)，A=uo/ui)。,4 满度相对误差（引用误差）m：,三、容许误差 容许误差指测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。工作误差：额定工作条件（各种外部影响量和内部影响特性为任意组合）下仪器误差的极限值。固有误差：各种影响量和影响特性处于基准条件时仪 器所具有的误差。影响误差：一个影响量在其额定使用范围内（或 一个影响特性在其有效范围内），而其他 影响量和影响特性处于基准条件时仪器所 具有的误差。稳定误差：仪器标称值在其他影响量和影响特性保持000000000000恒定情况下，在规定时间内产生的误差极 限。,四、测量误差的来源 仪器误差 使用误差 人身误差 影响误差 方法误差五、误差
5、的分类 系统误差：多次测量中，误差的绝对值和符号不变 0000000000000或按某种规律变化的误差。随机误差：任何测量过程中都存在随机误差。粗大误差：在一定测量条件下，测得值明显偏离实0000000000000际值。,2.2 独立等精度测量随机误差的估计和数据处理一、随机误差的数字特征 数学期望：,平均误差：,标准差：,残差（剩余误差）：,算术平均值：,均方根偏差：,算术平均值的均方根偏差：,Bessel公式（n-1为自由度）：,正态分布Peters公式：含粗大误差时稳健性(Robust)较好,二、随机误差的正态分布（高斯分布）绝大多数情况下，随机误差服从正态分布。在正态分布误差影响下的测
6、量数据的分布也是正态分布。误差的概率密度函数为：,有界性对称性可抵偿性,(),三、测量结果的置信度与置信区间 置信度（置信概率）：描述误差处于某一范围内的可靠程度的量。置信区间：对应置信度的极限误差范围，用标准差的倍数K表示（K为正系数，称为置信系数）。,在置信区间M(x)-,M(x)+内置信度P|i|=0.6826,在置信区间M(x)-2,M(x)+2内置信度P|i|2=0.954,在置信区间M(x)-3,M(x)+3内置信度P|i|3=0.997,3 称为极限误差或最大误差,当测量次数较多时，用 和 代替M(x)和,M(x)-3,M(x)+3,M(x)-2,M(x)+2,M(x)-,M(x
7、)+,设随机变量t：,样本的算术平均值（独立等精度测量）是总体期望（A0）的最佳估计，符合无偏性、有效性、一致性和充分性的标准，在正态分布情况下满足最大似然原理。,算术平均值仍是一个随机量，以均方根偏差作为的估计。,给定,等价地,t分布的置信系数t根据测量次数n和可由“t分布在对称区间的积分表”中查得。,当n大于20 以后，t的分布类似于标准正态分布，当n时，即为正态分布，n越小，类似程度越差。,为算术平均值 的精度指标。,即，对于有限次测量（t分布），在区间 内的置信概率Pa，也就是随机变量t在区间-ttt内的概率（t称为t分布的置信系数）。,四、随机误差的均匀分布仪表盘刻度误差；数字显示仪
8、表最低位“1”误差；舍入误差。五、有限次测量结果的表达列出数据表；计算算术平均值和残差；计算单次测量的均方根偏差和算术平均值的均方根偏差；给出最终结果：,此式中包含测量结果和精度指标（误差限）。,测量次数多时（如20次或以上），按正态分布,测量次数少时，按t分布,给出最终结果：,例题：用电压表对某一电压测10 次，试求出最终测量结果(假设系统误差和粗大误差已消除)。,测量结果按正态分布:,自由度为9的t分布置信度0.95时，t=2.262，,2.3 系统误差的估计和数据处理一、系统误差的基本特性系统误差不易发现，也不具有抵偿性，因而分析、估计和修正系统误差很重要。仪器的设计、结构、原理、安装；
9、测量时环境条件与仪器正常工作的要求不一致；测量原理与计算方法；测量人员等因素导致系统误差。,测量误差等于随机误差i和系统误差的代数和（排除粗差）：,当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，系统误差：,此为恒值系统误差情况。注意测量次数多时，引起误差的因素是否会变化。,二、系统误差的判断1、理论分析法2、校准和比对法 精度高一级的仪器的校准；同等精度仪器的比对；在不同测量条件下比较各组测量数据。3、回归模型残差检验法 利用残差构造各种统计量来分析。,4、残差观察法 无系统误差时，数据处理后的残差应该是零均值的。,5、公式判断法马林科夫判据，阿卑赫梅特判据马林科夫判据：线性系统误差,对测量数据排序（按
10、测量条件变化顺序，如时间），分别求出残差，计算,若|imax|通常可认为存在线性系统误差（可能有例外）。,阿卑赫梅特判据：周期性系统误差,对测量数据排序，分别求出残差，若,可认为存在周期性系统误差。,三、减小和消除系统误差1.消除产生系统误差的根源；2.在测量过程中采取措施，避免把系统误差引入测量结果；如零示法、替代法（置换法）、补偿法（部分替代法）、对照法、微差法和交叉读数法等3.设法掌握系统误差的变化规律，建立数学模型，采用统计方法进行估计和修正。,2.4 粗大误差的估计和数据处理 粗大误差的数值一般比系统误差及随机误差都大，严重歪曲测量结果。要设法识别和剔除含过失误差的测量数据。一、粗大
11、误差的产生原因 1.主观原因责任心不强；过于疲劳；缺乏经验；操作不当。2.客观原因被测对象急剧变化；环境条件急剧变化；仪器突发故障、振动；冲击等。,二、避免过失误差 可由多个测量者和多种设备对同一被测量得多个测得值；从设备特点、环境条件、测量人员等多种方面综合考虑。,三、含过失误差的静态目标测量数据识别 服从正态分布的测量数据的判断方法 1.莱特准则（3准则）在已消除系统误差的条件下，正态分布随机误差超过3（极限误差）的可能性极小(置信度为0.27%),因此，在测量次数足够多时（n20）,若某个测量值xi的残差i满足:,则认为xi具有粗大误差，应剔除。,2格拉布斯准则 在测量次数较小（n20）
12、时，用3准则判别粗大误差不太可靠，应采用格拉布斯准则。在一系列等精度测量数据中，若有残差i满足,则认为该i 相对应的测量数据xi是坏值，应剔除。式中G称为格拉布斯系数，可根据置信度和测量次数查表得到。,四、注意事项 1.判断粗大误差的步骤，首先应包含所有的n个测量值在内求出均值和均方根偏差，然后判别粗大误差。若剔除最大的一个，仍将剩余的n-1个数据按此计算和判别，直至无坏值为止。2.正常情况下，一列测量数据中粗大误差数量很少，一旦发现数量太大，说明测量系统或方法可能反常。3.剔除可疑数据应慎重，有时某些异常数据可能包含了一种尚未发现的物理现象。,2.5 误差的合成 测量误差：是测量各环节一系列
13、误差的总和。误差合成：根据各分项误差来确定总误差的过程。误差的分配：当某量的总误差限定在一定的范围以后，确定各分项可容许的误差数值的过程。,一、误差的合成(综合)1、函数误差高精度的测量常用间接测量和组合测量方式。间接测量按照已知的直接测量与被测量的函数关系计算出被测的物理量，因而间接测量的误差也是各直接测量误差的函数。函数误差可分为函数系统误差与函数随机误差。组合测量的误差传递关系比较复杂，要用到近代线性和非线性回归分析方法。,2.系统函数误差 假定函数是连续可微的多元函数 y=f（x1，x2，xn）式中x1，x2，xn 为各直接测量值，y为间接测量值。假定各直接测量值的系统误差为x1，x2
14、，xn很小，那么由全微分公式可算得函数系统误差公式：若xi间相互独立，绝对误差为：xi，y的绝对误差为y，则有：y+y=f(x1+x1，x2+x2，,xn+xn),用台勒级数近似表示为,为各直接测量值的误差传递函数。,则y的绝对误差y可表示为：,当上式各分项符号不能确定时，采用下面的保守算法计算：,以上两式为误差合成公式。,相对合成误差 y：,该式为相对误差传递公式。,3.随机函数误差 函数随机误差用标准差来刻画。,假设：,若随机误差很小，则,于是,若,则,二、常用函数的系统误差合成1、和差函数的合成误差 设 y=x1x2y+y=(x1+x1)(x2+x2)绝对误差：y=x1 x2 当 x1
15、和 x2的符号不能确定时，有：y=(|x1|x2|),相对误差：,例题：R1=1k，R2=2k，相对误差均为5%，求串联后的总相对误差。,2、积函数的合成误差,设y=x1x2，绝对误差：,相对误差：,若 x1、x2都有正负号：,三、系统的不确定度ym 系统误差可能变化的最大幅度。测量仪器的基本误差和工作误差都属于仪器的系统不确定度。1、系统不确定度的绝对值合成法,式中，im为第i个测量值的不确定度。,例题：用R1=10010%和R2=4005%的两个电阻串联，求总电阻的误差范围（系统不确定度）。1m=10010%=10，2m=4005%=20由得 ym=30,2、系统不确定度的均方根合成法,上
16、例中，用均方根合成法求得的两电阻串联后的总误差为：,说明：在一般工程测量中，系统误差起主要作用，一般可按说明书中所提供的指标，用系统的不确定度分析仪器的测量误差。,2.6 测量数据的处理 测量数据处理就是：从测量所得到的原始数据中求出被测量的最佳估值，并计算其精度。一、有效字的处理*1、有效字长 从数字左边第一个不为零的数字起，到右边最后一个数字（包括零）止，都叫有效数字。其绝对误差不大于末尾数字的一半。3.1416 五位有效数字，极限（绝对）误差0.00005 3.1500 五位有效数字，极限（绝对）误差0.00005 0.087 两位有效数字，极限（绝对）误差0.0005 0.807 三位
17、有效数字，极限（绝对）误差0.0005,2、多余数字的舍入规则 大于0.5单位，末位进1；小于0.5单位，末位不变；恰为0.5单位，则使末位为偶。3、有效数字的运算规则 数字运算时，保留位数取决于各数中精度最差的数。二、数据处理步骤 1、识别和剔除过失误差；2、求平均值、残差和均方根误差；3、检查并剔除或修正系统误差；4、计算算术平均值的极限误差和置信度误差合成。,第二章思考题2.1什么是真值、实际值和指定值？2.2在什么情况下可以进行多次测量？测量次数受到什么限制？2.3等精度和非等精度测量的意义和数据处理方法有何不同？2.4静态测量和动态测量的特点是什么？2.5什么是满度相对误差？意义是什
18、么？2.6哪些指标可以用来描述电子测量仪器的容许误差？2.7产生误差的主要因素是什么？2.8方法误差的含义是什么？2.9什么是系统误差、随机误差和粗大误差？各有什么特性？测量数据处理方法各有什么不同2.10随机误差的统计分布函数在处理测量数据时具有什么意义？2.11为什么说算术平均值仍是随机量？其标准差的估计值具有什么意义？如何计算？2.12什么是置信度和置信区间？2.13如何完整地给出测量结果？在不同的置信度下给出的测量结果是一样的吗？,2.14如何判断和处理系统误差？2.15为什么说系统误差的估计和动态系统误差的处理方法有某些共同之处？2.16如何处理粗大误差？2.17误差合成和分解的意义是什么？2.18如何处理有效数字？2.19测量数据处理的基本步骤是什么？2.20测量数据处理的必要性和可能性是什么？2.22误差处理的理论基础有哪些？,
