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1、第三章 电阻电路的一般分析,3.1 电路的图3.2 KCL和KVL的独立方程数3.3 支路电流法3.4 网孔电流法3.5 回路电流法3.6 结点电压法,3.1 电路的图,一、电阻电路的分析方法1、简单电路利用等效变换，逐步化简电路。2、复杂电路不改变电路的结构，选择电路变量（电流和/或电压），根据KCL和KVL以及元件的电流、电压关系，建立起电路变量的方程，从方程中解出电路变量。,小知识,哥尼斯堡七桥难题,网络图论:图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,彼得堡科学院:欧拉教授,欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的
2、。,1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的哥尼斯堡7座桥的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础。,电路图论运用了拓扑学的有关理论,解决复杂的电路问题.,图G是结点和支路的一个集合。可以存在孤立的结点，不存在无结点的支路。图是由线段和点所组成。,电压源、电阻的串联和电流源、电阻的并联都看成一条支路。,二、图的定义,指定图的每一条支路的方向。通常支路电压和支路电流的方向和支路的方向一致。,三、有向图,3.2 KCL和KVL的独立方程数,一、KCL独立方程数,对结点1、2、3、4分别列出KCL方程,-i1+i4+i6=0,i1+i2 i3=0,-i2 i5
3、-i6=0,i3-i4+i5=0,对有n个结点的电路列KCL方程，独立方程数为n-1个。与这些独立方程对应的结点叫做独立结点。,+=-,图G的任意两个结点之间至少存在一条路径。三、树 1、概念：一个连通图G的一个树T包含G的全部结点和部分支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。,二、连通图,树(Tree),T是连通图的一个子图满足下列条件：,(1)连通(2)包含所有节点(3)包含部分支路(4)不含闭合路径,2、树支：树中包含的支路。树支数:,不是树,树,2）树支的数目是一定的：,1）对应一个图有很多的树,判断树,四、单连支回路（基本回路）对任一个树，每加进一个连支便形成一个只包含该连支的回路。
4、,树支之外的其他支路。连支数为b-(n-1)=b-n+1,3、连支,基本回路(单连支回路)个数,基本回路具有独占的一条连枝,独立回路数=连支数,基本回路具有独占的一条连枝，该连支不再出现在其它回路中。,对一个树，由全部单连支回路构成。这组回路是独立的，独立回路数等于连支数。,五、基本回路组（单连支回路组）,六、平面图一个图的各条支路除所联接的结点外不再交叉。,不是平面图,注意：选择不同的树，得到不同的回路组,七、KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),结论：n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数共为：,网孔是平面图的一个自然的“孔”，它所限定的区域内不再有
5、支路。平面图的全部网孔就是一组独立回路，数目恰好是该图的独立回路数。,八、网孔,左面的平面图有4个网孔,3.3 支路电流法,一、2b法1、未知量以支路电流和支路电压为未知量,共2b个未知量。2、方程列写原则对节点列写独立KCL:(n-1)个方程对独立回路列写KVL:(b-n+1)个方程 元件支路列伏安特性:b个方程,2b个方程,3,1,2,4,（1）对结点1,2,3应用KCL,（2）选择网孔作为独立回路，应用KVL支路电压和支路电流为关联参考方向。,i1 i2-i6=0,i2 i3 i4=0,i4i5+i6=0,u1+u2+u3=0,-u3+u4+u5=0,-u1-u4+u6=0,（3）列支路
6、方程即各支路电压、电流关系方程。,u1=-us1+R1i1,u2=R2i2,u3=R3i3,u4=R4i4,i5=u5/R5-is5,u6=R6i6,（4）联立以上三组方程,共2b个方程,1、以支路电流作为电路变量（b个）2、任取n-1个结点，列KCL方程。3、把支路电压用支路电流来表示，列KVL方程。4、联立方程(共b个）求解,二、支路电流法,KCL方程,KVL方程,6个方程联立，求解出6个支路电流,i1 i2-i6=0,i2 i3 i4=0,i4i5+i6=0,-us1+R1i1+R2i2+R3i3=0,-R3i3+R4i4+R5i5+R5is5=0,-R2i2-R4i4+R6i6=0,求
7、各支路电流,I1,I2,I3,2、列KCL方程3、列KVL方程4、联立求解,解：,5I2 6I3 90=0,解得：I1=4AI2=6AI3=10A,1、标出各支路电流的参考方向,a,b,I1 I2 I3=0,20I1 6I3 140=0,+,-,+,-,+,-,3.4 网孔电流法,一、网孔电流方程的推导,*各支路电压和电流按关联参考方向选取,网孔电流：im1、im2为假想的沿着网孔流动的电流。,i1、i2、i3、u1、u2、u3分别为支路电流和支路电压,对网孔列KVL方程回路绕行方向与网孔电流一致,i1=im1,i2=im1 im2,i3=im2,网孔电流与支路电流的关系,u1+u2=0,-u
8、2+u3=0,支路电压,代入回路方程,u1+u2=0,-u2+u3=0,u1=-us1+R1i1=-us1+R1im1,u2=R2i2+us2=R2(im1 im2)+us2,u3=R3i3+us3=R3im2+us3,经整理后有,(R1+R2)im1 R2im2=us1-us2,R2im1+(R1+R3)im2=us2 us3,令:R1+R2=R11 R2+R3=R22-R2=R12=R21 us1-us2=us11us2 us3=us22,R11 im1+R12im2=us11,R21im1+R22 im2=us22,有什么规律?,一般地,对有m个网孔的电路,有:,写成矩阵的形式,为:,其
9、中:I为网孔电流列向量,R为mm阶的电阻的矩阵,对角线为自阻.,Us为回路总电压源的列向量,二、网孔电流方程的形式,1、I:为网孔电流列向量2、R:自阻Rii为第i个网孔电流所流过的全部电阻之和。恒为正。互阻Rij为 流过第i个和第j个网孔电流的公共电阻。网孔电流方向相同时，取正号；网孔电流方向相反时，取负号。如果令网孔电流的绕向相同，互阻将总是负的。在不含受控源的电阻电路，Rij=Rji。,3、Us:Usii为第i个网孔 的总电压源电压。各电压源电压的方向与网孔电流一致时，取负号；反之则取正号。,=,=,=,（60+20）,20,-,0,+,-20,+(20+40),-40,0,-40,+(
10、40+40),求电流Ib和Id。,解得,10,50,-,+,10,40,I1=0.786A I2=1.143A I3=1.071A,Ib=I2-I1Id=-I3,1、电流源和电阻的并联组合可先将它等效变换成电压源和电阻的串联组合，再按上述方法进行分析。,+,-,RIs,三、含有电流源支路,无并联电阻的电流源，称为无伴电流源。无伴电流源或是有受控源参见下节回路电流法。网孔电流法的适用范围仅适用于平面电路。,2、含无伴电流源或是有受控源,基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。,独立回路为2。选图示的两个独立回路，支
11、路电流可表示为：,3.5 回路电流法,网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无此限制。回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量，通常选择基本回路作为独立回路。,回路电流方程的一般形式:RI=US,回路电流法：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少n-1个。,选择支路4、5、6为树。,=,+,-,=,+,+,-,=,-,-,+,-,+,+,-,(R1+R6+R5+R4),(R4+R5),(R5+R6),us1,us5,(R4+R5),(R2+R4+R5),R5,us5,(R5+R6),R5,(R3+R5+R6),us5,R11：回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,观察可以看出如下规
12、律：,R22：回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21：回路1、回路2之间的互电阻。,互电阻的正负符号：当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,Ul1：回路1中所有电压源电压的代数和。,ul2：回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,Rkk:自电阻(为正),1、在选取回路电流时，只让一个回路电流通过电流源,无伴电流源的处理方法,il
13、1=is2,il1 il2 il3=,R1,R1,-,0,+,us1,+,il1 il2 il3=,0,(R4+R5),+,R4,-,us5,-,il1 il2 il3=,R1,-,(R1+R3+R4),+,R4,-,us1,-,2、把电流源的电压作为变量,ui,+,含受控电压源的电路,整理后，得,uc=50u1,写出此电路的回路电流方程,(25+100)il1-100il2=5,-100il1+(100+100000+10000)il2=uc,uc=50u1,u1=25il1,125il1-100il2=5,-1350il1+110100il2=0,先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再
14、将控制量用回路电流表示。,对电源的处理(关键是保证变量数与独立方程数一致),归纳,独立源,电流源,电压源,利用等效变换转换为电压源,(1)设其上电压后按 独立电压源处理(多出一个变量),(2)增加一个该电流源电流与回路电流的关系方程(保持变量数与方程数一致),尽量选为回路电流,放在方程右侧,电压升为正,受控源,依独立源方法处理,首先看成独立源,不是多出一个变量增加一个控制量与 回路电流的关系方程(保持变量数与方程数一致),控制量是否为回路电流,是变量数与方程数一致,3.6 结点电压法,一、结点电压1、定义：在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点与此结点之间的电压称为结点电压。2、极性：结
15、点电压 的参考极性是以参考结点为负，其余独立结点为正。二、结点电压法1、结点电压法以结点电压为求解变量，用uni来表示第i结点的电压。2、结点电压方程：,0,3,2,1,对结点1,2,3应用KCL,各支路方程,整理后,有,R7？,含R7支路的电流是确定的，与R7无关,1、G为结点电导矩阵，如果没有受控源，它是沿对角线对称的。Gii-自电导，与结点i相连的全部电导之和，恒为正。Gij-互电导，结点i和结点j之间的公共电导，恒为负。,三、结点电压方程的一般形式,GUn=Is,注意：和电流源串联的电导不计算在内。,2、Un结点电压列向量3、IsIsi-和第i个结点相联的电源注入该结点的电流之和。电流
16、源：流入为正，流出为负。对有伴电压源：Isi GiUsi，当电压源的参考正极性联到该结点时，该项前取正号，否则取负。（按等效电流源理解）,GUn=Is,结点电压方程的一般形式,思考：电路含无伴电压源如何处理？含受控源如何处理？后面介绍。,0,4,3,2,1,列结点电压方程,对结点1：,un1 un2 un3 un4=,(G1+G4+G8),G1,-,+0,G4,-,is13,is4,-,+,例：,0,4,3,2,1,列结点电压方程,对结点2：,un1un2 un3un4=,-G1,+(G1+G2+G5),-G2,+0,0,0,4,3,2,1,列结点电压方程,对结点3：,un1 un2 un3
17、un4=,0,-G2,+(G2+G3+G6),-G3,is13,G3us3,-,0,4,3,2,1,列结点电压方程,对结点4：,un1 un2 un3 un4=,-G4,-G3,+0,+(G3+G4+G7),-is4,+G3us3,+G7us7,un1 un2 un3 un4=,un1un2 un3un4=,un1 un2 un3 un4=,un1 un2 un3 un4=,(G1+G4+G8),G1,-,+0,G4,-,is13,is4,-,+,-G1,+(G1+G2+G5),-G2,+0,0,0,-G2,+(G2+G3+G6),-G3,is13,G3us3,-,-G4,-G3,+0,+(G
18、3+G4+G7),-is4,+G3us3,+G7us7,电路的结点电压方程：,例：电路中只含两个结点时，仅剩一个未知数。,A结点方程：,UA=I1R1 E1,-,+,UA=I2R2,UA=I3R3-E3,UA=-I4R4,四、无伴电压源的处理方法,1,2,设无伴电压源支路的电流为 i（作为一个变量）,电路的结点电压方程为,再补充的约束方程,un1un2=,(G1+G2),-G2,i,un1un2=,-G2,+(G2+G3),is2,un1=us1,五、电路中含有受控源的处理方法,0,2,1,un1un2=,(G1+G2),-G1,is1,un1un2=,-G1,+(G1+G3),-gu2 is
19、1,u2=un1,1 暂把受控电流源当作独立电流源，列结点电压方程,2 把控制量用有关的结点电压表示，增加一个方程。,电路中含有受控源的处理方法,0,2,1,整理有：,含有受控源的电路系数矩阵不对称,un1un2=,(G1+G2),-G1,is1,un1un2=,(g-G1),+(G1+G3),is1,1、指定参考结点其余结点与参考结点之间的电压就是结点电压。2、列出结点电压方程自导总是正的，互导总是负的，注意注入各结点的电流项前的正负号。3、如电路中含有受控电流源 把控制量用有关的结点电压表示，暂把受控电流源当作独立电流源。4、如电路中含有无伴电压源把电压源的电流作为变量，补充约束方程。5、从结点电压方程解出结点电压可求出各支路电压和支路电流。,六、结点法的步骤归纳如下：,电路中含恒流源的情况,?,列结点电压方程时，和电流源串联的电导不计算在内。,第3章结束,
