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1、8.2 一阶电路的暂态分析,8.1 换路定律,8.3 一阶电路的阶跃响应,第8章 电路的暂态分析,8.4 二阶电路的零输入响应,本章的学习目的和要求,了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。,8.1 换路定律,学习目标：,了解暂态分析中的一些基本概念；理解“换路”的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。,8.1.1 基本概念,1、状态变量：代表物体所处状态的可
2、变化量称为状态 变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。,2、换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电 路接通、断开或结构和参数发生变化等。,3、暂态：动态元件L的磁场能量WL=0.5LI2和C的电场能 量WC=0.5CUC2，在电路发生换路时必定产生 变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通 常称为“暂态”。,4、零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有 原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在 动态元件原始能量作用下引起的电路响应。,5、零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部 输入激励的作用下引起的电路响应。,6、全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储能 也不为零，这种
3、情况下换路引起的电路响应。,8.1 换路定律,换路定律,由于能量不能发生跃变，与能量有关的iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。,换路定律用公式可表示为：,换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。,电阻电路,电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。,暂态过程产生的原因,R-L电路,电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能：,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在
4、过渡过程。,电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能：,因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。,R-C电路,电路初始值的确定,1.,2.,根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。,初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+时 的大小。,求解要点,根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定iL(0+）和uC(0+）。,例1,解,已知 iL(0)=0，uC(0)=0，试求 S 闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。,根据换路定律可得：,可得t=0+时等效电路如下,iL(0+)=iL(0)=
5、0，相当于开路,uC(0+)=uC(0)=0，相当于短路,其他各量的初始值为：,例2,换路前电路已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+)。,解,根据换路前电路求uC(0+）,画出t=0+等效电路图如下：,根据t=0+等效电路可求得iC(0+）为：,例3,解,根据换路前电路求iL(0+）,换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+)。,画出t=0+等效电路图如下：,根据t=0+等效电路可求uL(0+)为,uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。,求初始值的一般步骤,1、由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-)和 iL(0-
6、)；,2、由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)；,3、画出t=0+的等效电路图：uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)0时相当电压源；,iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)0时相当电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。,4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。,8.2 一阶电路的暂态分析,学习目标：,理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。,一阶电路的零输入响应,1.RC电路的零输入响应,只含有一个动态元件（因变量）的一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。,左图所示电路在
7、换路前已达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，之后由uC(0+)经R引起的电路响应称为RC电路的零输入响应。,RC电路的零输入响应,根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为：,这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得：,式中的=RC称为一阶电路的时间常数。如果让电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电路响应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC放电的快慢程度取决于时间常数R和C的乘积。,式中R用，C用F时，时间常数的单位是秒s。如果我们让上式中的时间t 分别取1、2直至5，可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：,由表可
8、知，经历一个的时间，电容电压衰减到初始值的36.8%；经因两个的时间，电容电压衰减到初始值的13.5%；经历35时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认为35暂态过程基本结束。,RC过渡过程中的响应规律曲线,RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：,2.RL电路的零输入响应,左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅由iL(0+)=I0在电路中引起的响应称为RL电路的零输入响应。,根据RL零输入响应电
9、路可列写出方程为,若以iL为待求响应，可得上式的解为：,式中,称为RL一阶电路的时间常数，其大小同,样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。,电感元件两端的电压：,电路中响应的波形图如左下图所示：,显然RL一阶电路的零输入响应规律也是指数规律。,1、一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；,一阶电路的零输入响应分析归纳,2、零输入响应取决于电路的原始能量和电路特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数来体现的；,3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系
10、称为零线性。,一阶电路的零状态响应,1.、RC电路的零状态响应,RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指数规律增加，用曲线可描述为：,图示电路在换路前电容元件的原始能量为零，t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为RC电路的零状态响应。,可见在RC充电电路中，电容元件上的电压与电流方向关联，元件向电路吸取电能建立电场。,RC零状态响应电路中的计算公式,由RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压(即换路后的新稳态值),则电容电压的零状态响应为：,电容支路电流的零状态响应：,2.
11、RL电路的零状态响应,图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合。之后电感上电压、电流的变化称为RL电路的零状态响应。,RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为：,可见，在RL零状态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。,RL零状态响应电路中的计算公式,RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值：,因此电感电流的零状态响应为：,电感元件自感电压的零状态响应：,1、一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其
12、中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；,一阶电路的零状态响应分析归纳,2、零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，也是通过时间常数来体现其特性的。RL一阶电 路的时间常数=L/R；,3、在零状态响应公式中的()符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。,一阶电路的全响应,电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应
13、。,上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。,RC和RL全响应电路的解可表示为：,全响应=零输入响应零状态响应,例,解,图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t 0时的uC(t）和iC(t)。,根据换路定律可得,电路的时间常数,零输入响应uC(t)：,以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)表示；uC(t)“表示零状态响应，则有：,一阶电路的全响应,全响应uC(t)：,电容电流的全响应iC(t)：,电容电压的稳态值：,零状态响应uC(t)：,由全响应结果可以看出，前面的常数6为稳态分量，后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此：,全响应=稳态分量+暂态分量,如用 f(t)表
14、示电路的响应，f(0+)表示响应的初始值，f()表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：,一阶电路暂态分析的三要素法,上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。,式中初始值f(0+)、稳态值 f()和时间常数称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。,由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。,一阶电路三要素法应用举例,例,解,已知图中U1=3 V，U2=6 V，R1=1 k，R2=2 k，C=3 F，t 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t 0 时的 uC(t)
15、，并画出变化曲线。,先确定初始值uC(0+)：,再确定稳态值uC()：,最后确定时间常数：,电容电压的变化曲线为：,显然，应用三要素法求解一阶电路全响应，只要求出其初始值、稳态值及时间常数，代入三要素法公式中即可。,一阶电路三要素法应用举例,应用三要素法求解响应的步骤,1、确定初始值 f(0+),初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确
16、定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，L用电流源I0代替;若uC(0+)=0 或iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路。作t=0+等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。,2、确定稳态值 f(),作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入 新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f()。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。,3、确定时间常数,RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0
17、)。,参看课本P121页例题8.5。,8.3 一阶电路的阶跃响应,学习目标：,单位阶跃函数,(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。,单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：,理解单位阶跃函数的概念及物理意义，明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用。,(t)=,0 t 0-,1 t 0+,注意：(t)在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。,单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在t=0时的动作。,单位阶跃(t)实质上反映了电路在t=0时刻把一个零状态电路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作。,单位阶跃函数,(t-t0)的波形
18、如右图示：,如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃，记作：,(t-t0)=,0 t t0,注意：(t-t0)在t0处不连续，函数值由0跃变到1。,1 t t0,单位阶跃函数,下图所示矩形脉冲波f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个(t)与一个(t-t0)的合成波：,即：f(t)=(t)(t-t0),即：f(t)=(t-t1)(t-t2),单位阶跃响应,已知u=51(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的阶跃响应i。,当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。,
19、解,例,零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：,再求u单独作用下的初始值：,时间常数：,应用叠加定理求得响应：,思考 练习,1、单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在 电路分析中有什么作用？,2、说说(-t)、(t+2)和(t-2)各对应时间轴上的哪一点？,3、试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。,8.4 二阶电路的零输入响应,学习目标：,前面讨论的一阶电路中只含一个动态元件，而含有两个储能元件的电路，往往需用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。,了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况。,图示RLC串联的零输入响应电路，已知uC(0+)=uC(0
20、-)=U0，电流i(0+)=i(0-)=I0，电路在t=0时开关闭合，其过渡过程可描述为,显然此式是一个以uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为：LCS2+RCS+1=0,特征方程LCS2+RCS+1=0中,1、当,时，电路出现“过阻尼”情况，响应的波形,“过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终为放电状态，放电电流由零增大；对应tm时刻达到最大，之后衰减到零。显然这种情况下uC和i是非振荡的，没有正、负交替状况。电路中的原始能量全部消耗在电阻上。,2、当,时，电路出现“欠阻尼”情况，响应的波形,2tm,在“欠阻尼”状态下，电容电压和电路中的充、放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕。,tm,3、当,时，电路的电压和电流仍是非振荡的,但此状态下电路响应临近振荡，因此称为“临界阻尼”状态。,4、当,时，电路出现“等幅振荡”情况。因为此时,电路中没有消耗的因素，能量在L和C之间进行完全补偿交换，即在电场和交换的过程中能量始终不变，因此，这种情况属于一种理想状况。,思考 回答,二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的条件是什么？,二阶电路的零输入响应,本章内容结束！,
