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1、5.5 一阶电路的全响应 三要素公式5.6 一阶电路的阶跃响应 一、阶跃函数 二、阶跃响应5.7 二阶电路分析 一、零输入响应 二、阶跃响应5.8 正弦激励下一阶电路 的响应,5.1 动态电路的方程及其解 一、动态电路方程的建立 二、微分方程的经典解法5.2 电路的初始值 一、独立初初始值 二、非独立初始值5.3 一阶电路的零输入响应 与时间常数5.4 一阶电路的零状态响应,第五章 动态电路的时域分析,点击目录，进入相关章节,下一页,前一页,第 5-1 页,退出本章,5.1 动态电路的方程及其解,下一页,前一页,第 5-2 页,返回本章目录,一、动态电路方程的建立,1、依据：元件VAR，KCL
2、和KVL列写方程；,2、一阶电路举例：,由于动态电路中的电感电容的VAR是微积分关系，可以预料，动态电路列出的方程一定是微积分方程。若描述电路的方程是一阶微分方程，相应的电路称为一阶电路(first order circuit)。,例1：图RC电路，t=0时开关S闭合，讨论t0时的电容电压uC(t)。,t0时，根据KVL方程列出回路电压方程为,uR+uC uS=0,根据元件的VAR，有,代入上式，整理得,令=RC，其单位是秒。因为RC=V/AC/V=C/A=s故称为时间常数，简称时常数。,例2：图RL电路，t=0时开关S闭合，讨论t0时的电感电流iL(t)。,下一页,前一页,第 5-3 页,返
3、回本章目录,一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,t0时，根据KCL有,iR+iL iS=0,根据元件的VAR，有,代入上式，整理得,观察上两例列出的方程，除变量不同外，均为典型的一阶微分方程，因此均为一阶电路。一阶微分方程的一般形式可写为,y(t)+ay(t)=bf(t)，式中y(t)为响应，f(t)为激励。,令=L/R，其单位是秒。因为L/R=Wb/A/V/A=Wb/V=s,故称为时间常数，简称时常数。,3、二阶电路举例：,下一页,前一页,第 5-4 页,返回本章目录,例：图RLC串联电路，仍以电容电压uC(t)作为电路的响应。,根据KVL方程有,uR+uL+uC uS=0
4、,根据元件的VAR，有,代入上式，整理得,这是二阶微分方程，因此称该电路为二阶电路。二阶微分方程的一般形式可写为,y”(t)+a1y(t)+a0y(t)=b0f(t),一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,4、建立动态方程的一般步骤,下一页,前一页,第 5-5 页,返回本章目录,、根据电路建立KCL或KVL方程，写出个元件的伏安关系；、在以上方程中消去中间变量，得到所需变量的微分方程。对于较复杂的动态电路，常用拉普拉斯变换进行分析。,一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,1、微分方程的经典解法,下一页,前一页,第 5-6 页,返回本章目录,二、微分方程的经典解法
5、,5.1 动态电路的方程及其解,一阶和二阶微分方程一般形式为,y(t)+ay(t)=bf(t)（1），y”(t)+a1y(t)+a0y(t)=b0f(t)（2）,对于线性时不变动态电路，上式中的系数都是常数。,高等数学学过，线性常系数微分方程的解由两部分组成：y(t)=yh(t)+yp(t)即：完全解=齐次解（通解）+特解,齐次解yh(t)：它的函数形式取决于微分方程的特征根。,对于一阶微分方程，其特征方程为 s+a=0，特征根为s=-a，故,yh(t)=K est=K e-a t,式中K为待定常数。,对于二阶微分方程，其特征方程为 s2+a1s+a0=0，特征根为s1 和s2，当s1 s2
6、时，yh(t)=K1 es1t+K2 es2t 当s1=s2=s时，yh(t)=(K1+K2 t)est 式中待定常数K1、K2将在完全解中由初始条件确定。,特解yh(t)：特解具有与激励f(t)相同的函数形式。列表如下：(P99表3-2),下一页,前一页,第 5-7 页,返回本章目录,当特解yp(t)的函数形式确定后，将其代入原微分方程中，来求待定常数Ai,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,2、举例,下一页,前一页,第 5-8 页,返回本章目录,如图RC电路，Us为直流电压源，当t=0时开关闭合，电容的初始电压uC(0)=U0，求t0时的uC(t)。,解（1）建立电路方程
7、。前面已得,（2）求齐次解uCh(t)。特征方程为 s+1/(RC)=0其特征根 s=-1/(RC)，故,（3）求特解uCp(t)。激励Us为常数，特解也是常数。令 uCp(t)=A，将它代入上面微分方程，得,故得特解 uCp(t)=A=Us,（4）求完全解uC(t)。,uC(t)=uCh(t)+uCp(t)=,式中常数K由初试条件uC(0)=U0确定。将该条件代入上式，得,uC(0)=K+Us=U0,解得 K=U0-Us，故,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,3、结果分析：固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应,下一页,前一页,第 5-9 页,返回本章目录,在完全解中，其
8、第一项（即齐次解）的函数形式仅由特征根确定，而与激励的函数形式无关，称为固有响应或自由响应。,固有响应,式中第二项（即特解）与激励具有相同的函数形式，称为强迫响应。,强迫响应,按电路的工作情况，也常将完全响应分为暂态响应和稳态响应。上式中第一项按指数规律衰减，t时，该项为0，称为暂态响应。第二项在任意时刻都保持稳定，称为稳态响应。,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,1、换路定律,下一页,前一页,第 5-10 页,返回本章目录,5.2 电路的初始值,前面可以看到，求解微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数K。由于电路的响应是指电压和电流，故相应的初始条件为电压
9、或电流的初始值，即在t=t0时刻的值u(t0)、i(t0)。,其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0)、iL(t0)由电路的初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初始值称为非独立初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。,（1）、换路现象,*开关的闭或开动作；*元件参数突变；*电源数值突变；,统称为“换路”,电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t=t0，则,换路前瞬间为：,换路后瞬间为：,我们解微分方程所需要的初始值实际上是指在t0+时刻的值。,一、独立初始值,（2）、换路定律(Switching Law),下一页,前一页,第 5-11 页,返回本章目录,5
10、.2 电路的初始值,若电容电流iC和电感电压uL在t=t0时为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL是连续的（不发生跃变），即有 uC(t0+)=uC(t0-)iL(t0+)=iL(t0-),（3）、说明,（1）强调指出：除电容电压和电感电流外，其余各处电压电流不受换路定律的约束，换路前后可能发生跃变。（2）换路定律可以从能量的角度来理解：由于wC(t)=0.5Cu2C(t)、wL(t)=0.5Li2L(t)，如果uC或iL发生跃变，则wC或wL也发生跃变，由于功率p=dw/dt，因此能量的跃变意味着功率为，这在实际电路中是不可能的。但在某些理想情况下，有可能。（3）通常t0=0。此
11、时uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-),一、独立初始值,2、独立初始值（初始状态）的求解,下一页,前一页,第 5-12 页,返回本章目录,首先根据换路前电路的具体状况，求出uC(0-)和 iL(0-)。然后利用换路定律即可求得uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。,例：电路如图所示，已知t0时，开关S是闭合的，电路已处于稳定。在t=0时，开关S打开，求初始值uC(0+)和iL(0+)。,解：t 0时，电路在直流电源作用下并已处于稳态，此时，电路各处电压、电流均为直流。因此电容可视为开路，电感视为短路。得t=0-时的等效电路如图(b)。,由图(b)电路容易求得
12、：iL(0-)=8/(2+6)=1 A uC(0-)=6 iL(0-)=6 V,由换路定律得：uC(0+)=uC(0-)=6 V iL(0+)=iL(0-)=1 A,5.2 电路的初始值,一、独立初始值,1、非独立初始值求解 基本思路：先求出独立初始值，然后再由独立初始值求出非独立初始值。,下一页,前一页,第 5-13 页,返回本章目录,当初始状态求出后，根据置换定理，在t=0+时刻，将电容用电压等于uC(0+)的电压源替代若uC(0+)=0时用短路替代，电感用电流等于iL(0+)的电流源替代若iL(0+)=0时用开路替代，独立源均取t=0+时刻的值。此时得到的电路是一个直流电源作用下的电阻电
13、路，称为0+等效电路,如图(b)。由该电路求得各电流、电压就是非独立初始值。,5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,下一页,前一页,第 5-14 页,返回本章目录,例：电路如图(a)所示，已知t 0时，开关S是处于位置1，电路已达稳态。在t=0时，开关S切换至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。,解(1)计算uC(0-)和iL(0-)。由于t 0时电路已达直流稳态，电容开路，电感短路，t=0-时的等效电路如图(b)。可得,iL(0-)=210/(2+3)=4AuC(0-)=3 iL(0-)=12 V,(2)根据换路定律得 uC(0+)=uC(0-)=12V，iL(0+)
14、=iL(0-)=4A,(3)计算非独立初始值。开关切换至位置2，画出0+等效电路，如图(c)。,iR(0+)=12/4=3A iC(0+)=-iR(0+)4=-7A uL(0+)=12-34=0V,5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,2、初始值计算步骤总结：,下一页,前一页,第 5-15 页,返回本章目录,（1）由t=0-时的等效电路，求出uC(0-)和iL(0-)（特别注意：直流稳态时，L相当于短路，C相当于开路）。（2）根据换路定律，确定初始状态uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。（3）画出0+等效电路，利用电阻电路分析方法，求出各非独立初始值。,3、电容电压、电感
15、电流发生强迫跃变的情况（了解）,指出：换路定律仅在电容电流和电感电压为有限值时才成立。在某些理想情况下，电容电流和电感电压可以为，uC和iL可能强迫跃变。可能情况：换路后，电路中存在有全部由电容组成的回路或由电容和理想电压源组成的回路，那么，电容电压可能发生跃变。换路后，电路中存在节点或闭合曲面，与它相连支路全部由含电感的支路或理想电流源支路组成，那么，电感电流可能发生跃变。,在发生强迫跃变的情况下，可根据电荷守恒和磁链守恒的原理确定有关初始值。q(0+)=q(0-),(0+)=(0-),5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,1、零输入响应,下一页,前一页,第 5-16 页,返回本章目录,5
16、.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,动态电路能量来源于两部分：一是外加激励，另一是电路的初始储能(初始状态)。,定义：外加激励均为零时，仅由初始状态所引起的响应，称为零输入响应，记为yx(t)。,例：电路如图(a)所示，已知t 0时，开关S是处于位置1，电路已达稳态。在t=0时，开关S切换至位置2，求t0时，电容电压uC(t)(零输入响应)。,解：首先计算初始状态，容易得到,t0时，开关切换至2，电路如图(b)。由KVL列方程 uR+uC=0，其中uR=R i,i=-C duC/dt，故有,或写为,式中，=RC为时常数。,下一页,前一页,第 5-17 页,返回本章目录,将初始值uC(0+)代
17、入，可得常数 K=uC(0+)，最后得,，t0,波形如图(c)、(d)。可见当t时，它们衰减到零，达到稳态。这一变化过程称为暂态过程或过渡过程。,在换路前后，电容电压是连续的；而电流i(0-)=0，i(0+)=uC(0+)/R，发生跃变。,零输入响应与初始状态之间满足齐次性。实际上，对二阶以上电路，有多个初始状态，零输入响应与各初始状态间也满足可加性。这种性质称为零输入线性。,物理过程：放电,上面齐次微分方程的特征方程为 s+(1/)=0，特征根为 s=-1/，故解为：,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,2、暂态过程与时常数之间的关系,下一页,前一页,第 5-18 页,返回本章目录,上述
18、RC电路的放电过程的快慢取决于时常数，它越大，表达电压电流的暂态变化越慢，反之，越快。注意：仅与电路内参数有关，与激励和初始状态无关。,不同t值对应的响应,工程上，一般认为，经过3 5 的时间后，暂态响应已基本结束。,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,例：电路如图所示，已知R=4，L=0.1H，US=24V，开关在t=0打开，求t0时的电流iL，其中电压表的内阻RV=10k，量程为100V，问开关打开时，电压表有无危险？,下一页,前一页,第 5-19 页,返回本章目录,解 因t=0-时，电感相当与短路，故u(0-)=0。而 iL(0+)=iL(0-)=Us/R=24/4=6 A,换路后，
19、等效电路如图(b)。由KVL方程有 uL u=0将uL=L diL/dt和 u=-RViL代入上式得,令=L/RV=10-5s，方程变为,故,电压表换路后瞬间要承受-60kV的高压，而其量程只有100V，因此电压表立即被打坏。,u(t)=-RV iL(t)=-10103=-60 kV,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,下一页,前一页,第 5-20 页,返回本章目录,定义：当电路的初始储能为零(即初始状态为零)时，仅由外加激励所引起的响应，称为零状态响应，记为yf(t)。,例：电路如图(a)所示，已知t 0时，开关S是闭合，电路已达稳态。在t=0时，开关S断开，求t0时，电容电压uC(t)
20、。,解：t 0时开关闭合，uC(0+)=uC(0-)=0，故所求响应为零状态响应。t0时，根据KCL有 iC+iR=Is由于 iC=C duC/dt，iR=uC/R，代入上式得,或写为,式中=RC，初始值uC(0+)=0,uC(t)=uCh(t)+uCp(t),对应的齐次解为,5.4 一阶电路的零状态响应,其特解为常数，令uCp(t)=A，将其代入微分方程得,下一页,前一页,第 5-21 页,返回本章目录,故得特解 uCp(t)=RIS,完全解为,将初始状态uC(0+)=0代入确定K，有 uC(0+)=K+RIS，解得K=-RIS,于是得电路的零状态响应,电容电流,可见，当开关断开后，电容充电
21、，uC按指数规律上升，当t时，达到稳定状态，其稳态值 uC()=RIs。而电容电流iC按指数规律衰减，当达到稳态时，iC()=0。,零状态响应满足齐次性。若有多个激励，零状态响应与各激励之间也满足可加性。这种性质称为零状态线性。,物理过程：充电,5.4 一阶电路的零状态响应,1、全响应,下一页,前一页,第 5-22 页,返回本章目录,定义：电路在外加激励和初始状态共同作用下所产生的响应，称为全响应。,我们可以将初始状态（初始储能）看作电路的内部激励。对于线性电路，根据叠加定理，全响应又可以分解为 全响应=零输入响应+零状态响应，即 y(t)=yx(t)+yf(t),因此，对于初始状态不为零，外
22、加激励也不为零的电路。初始状态单独作用时（独立源置0）时产生的响应就是零输入响应分量；而外加激励单独作用时即令uC(0+)=0时求得的响应就是零状态响应分量。,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,下一页,前一页,第 5-23 页,返回本章目录,前面求解一阶电路时，都是先列出微分方程，再用经典法求解，比较麻烦。本节介绍一种直流电源激励下一阶电路响应的简便计算方法三要素法。,（1）、三要素公式的推出,由于一阶电路只含一个动态元件，因此，换路后，可利用戴维南定理，将任何一阶电路简化为如图(a)(b)两种形式之一。,根据基氏定律和元件VAR很容易分别列出以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应的
23、方程，整理后有,若用y(t)表示响应uC或iL，用f(t)表示外加激励uS，则可将上述方程统一表示为,式中，b为常数；为时常数，对RC电路，=RC；对RL电路，=L/R。,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,2、三要素公式,下一页,前一页,第 5-24 页,返回本章目录,y(t)=yh(t)+yp(t),由于微分方程的特征根 s=-1/，有 yh(t)=Ke-t/，因此 y(t)=Ke-t/+yp(t),设全响应y(t)的初始值为y(0+)，将它代入上式得,y(0+)=K+yp(0+)，K=y(0+)-yp(0+),得全响应,y(t)=y(0+)-y()e-t/+y()=y(0+)e-t/+y
24、()(1-e-t/)，t 0,由上式可见，对于一阶电路，只要设法求得初始值y(0+)、时常数和微分方程的特解yp(t)，就可直接写出电路的响应y(t)。,当激励f(t)为直流时，yp(t)=A代入上式，有y(t)=y(0+)-Ae-t/+A通常 0（称电路为正电路），当t时，电路稳态，A=y()稳态值。,直流激励时一阶电路的响应为,三要素公式,y(t)=y(0+)-yp(0+)e-t/+yp(t),5.5 一阶电路的全响应三要素公式,（2）、三要素公式说明,下一页,前一页,第 5-25 页,返回本章目录,（1）适用范围：直流激励下一阶电路中任意处的电流和电压；（2）三要素：y(0+)表示该响应
25、（电压或电流）的初始值，y()表示响应的稳定值，表示电路的时间常数。（3）三要素法不仅可以求全响应，也可以求零输入响应和零状态响应分量。（4）0时，电路不稳定。但公式仍适用。只是y()的含义不是稳态值，而是称为平衡状态值。（5）若初始时刻为t=t0，则三要素公式应改为 y(t)=y(t0+)-y()e-(t-t0)/+y()，t t0,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,（3）、三要素的计算（归纳）,下一页,前一页,第 5-26 页,返回本章目录,1、初始值y(0+),步骤（1）先计算uC(0-)和iL(0-)，然后由换路定律得 uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)（2）画0
26、+等效电路，求其它电压、电流的初始值。,2、稳态值y(),换路后 t时，电路进入直流稳态，此时，电容开路，电感短路。步骤：（1）换路后，电容开路，电感短路，画出稳态等效电阻电路。（2）求解该电路得稳态(或平衡）值y()。,3、时常数,对于一阶RC电路，=R0C；对于一阶RL电路，=L/R0；这里R0就是换路后从动态元件C或L看进去的戴维南等效内阻。,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,3、举例,下一页,前一页,第 5-27 页,返回本章目录,例1 如图(a)所示电路，IS=3A，US=18V，R1=3，R2=6，L=2H，在t 0时电路已处于稳态，当t=0时开关S闭合，求t0时的iL(t)、u
27、L(t)和i(t)。,解（1）求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A,（2）画0+等效电路，如图(b)。列节点方程,得uL(0+)=6V，i(0+)=uL(0+)/6=1A,（3）画等效电路，如图(c)。,显然有 uL()=0，i()=0，iL()=18/3+3=9A,（4）计算时常数。,R0=3/6=2,=2/2=1s,=L/R0，,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,下一页,前一页,第 5-28 页,返回本章目录,（5）代入三要素公式得。,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,例2 如图6.5所示电路，US=5V，IS=2A，R1=1，R2=R3=4，C=0.5F，在t0时开关S位于
28、“1”，电路已处于稳态。t=0时开关S由“1”闭合到“2”，经过2s后，开关S又由“2”闭合到“3”。求t0时的电压uC(t)。,下一页,前一页,第 5-29 页,返回本章目录,解(1)首先求出uC(0-)。S接于1，电路直流稳态。,(2)当0t2s时，开关S接于“2”，此时电路处于零输入状态，故稳态值 uC()=0；时常数1=R2C=40.5=2(s)，由换路定律，有 uC(0+)=uC(0-)=4V；代入三要素公式有,uC(t)=4e-t/2(V)，0 t 2s,uC(2-)=4 e-1=1.47(V),(3)当t2s时，开关S闭合至“3”，由换路定律有 uC(2+)=uC(2-)=1.4
29、7V,此时电路的稳态值 uC()=(R2/R3)Is=22=4(V),时常数2=(R2/R3)C=1s,uC(t)=4-2.53e-(t-2)(V)，t 2s,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,例3 如图(a)所示电路，R1=6，R2=R4=6，R3=3，在t 0时开关S位于“1”，电路已处于稳态。t=0时开关S由“1”闭合到“2”。求t0时的电流iL(t)和电压u(t)的零输入响应和零状态响应。,下一页,前一页,第 5-30 页,返回本章目录,解(1)首先求出iL(0-)。S接于1，电路直流稳态。,电感短路，利用分流公式得：iL(0+)=iL(0-)=3A,(2)求解零状态响应iLf(t)
30、和uf(t)。,零状态响应是初始状态为零，仅由独立源所引起的响应；故 iLf(0+)=0，电感相当于开路。画出其0+等效电路，如图(b)所示，所以,uf(0+)=,uf()=,iLf()=uf()/R3=3/3=1(A),R0=(),=L/R0=0.5s,iLf(t)=1-e-2t(A)，uf(t)=3+3e-2t(V)，t0,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,下一页,前一页,第 5-31 页,返回本章目录,(3)求解零输入响应iLx(t)和ux(t)。,零输入响应是令外加激励均为零，仅由初始状态所引起的响应；故 iLx(0+)=iL(0+)=3A，电压源US短路，画出其0+等效电路，如图(
31、c)所示，,ux(0+)=-(R2/R4)iLx(0+)=-33=-9(V),uf()=0，iLf()=0，时常数同前；,iLx(t)=3e-2t(A)，ux(t)=-9e-2t(V)，t0,【评注】本题中，求u(t)的零输入响应和零状态响应时，也可利用下列方法：先用三要素法求出iL(t)的全响应，iL(t)=iL(0+)e-t/+iL()（1-e-t/），其中iLx(t)=iL(0+)e-t/，iLf(t)=iL()（1-e-t/），即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。之后，,利用u(t)=R3 iL(t)+=R3 iLx(t
32、)+iLf(t)+从而 ux(t)=R3 iLx(t)+，uf(t)=R3 iLf(t)+,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,例4 如图(a)所示电路，在t0时开关S是断开的，电路已处于稳态。t=0时开关S闭合。求t0时的电流i(t)。,下一页,前一页,第 5-32 页,返回本章目录,解 分析 开关S闭合后电路变为两个一阶电路，先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流i1(t)和i2(t)，然后利用KCL求得i(t)=i1(t)+i2(t)。,t=0-时开关S断开，电路为直流稳态，iL(0+)=iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)uC(0+)=uC(0-)=1iL(0-)=4(
33、V),C=RCC=21=2s，L=L/RL=2/(2/2+1)=1s,画出换路后的0+等效电路如图(d)所示。,i1(0+)=2A，i2(0+)=1A。,i1()=0，i2()=1.5A,i1(t)=2e-0.5t(A)，i2(t)=1.5-0.5e-t(A)，t0i(t)=i1(t)+i2(t)=2e-0.5t+1.5-0.5e-t(A)，t0,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,下一页,前一页,第 5-33 页,返回本章目录,例5 如图(a)所示电路，在t 0时开关S位于b点，电路已处于稳态。t=0时开关S由b点切换至a点。求t0时的电压uC(t)和电流i(t)。,解 化简电路。进行戴维南
34、等效。,uC(0+)=uC(0-)=-5VuC()=10V,C=R0C=10.1=0.1s,利用三要素公式，得,回到原电路计算电流i(t)。,2i(t)+uC(t)12=0。,5.5 一阶电路的全响应三要素公式,一、阶跃函数,下一页,前一页,第 5-34 页,返回本章目录,5.6 一阶电路的阶跃响应,单位阶跃函数用(t)表示，其定义为：,该函数在t=0处发生单位跃变，波形如图(a)。,阶跃函数的应用之一是描述某些情况下的开关动作。如图(b)所示的开关动作，表示在t=0时把电路接入1V直流源时 u(t)的值，即：u(t)=(t)V电路简画为图(c)。,若单位直流电源接入的时刻为t0，则可用延迟单
35、位阶跃函数表示，其波形如图(d)。,阶跃函数另一个重要应用是可以简洁地表示某些信号。,下一页,前一页,第 5-35 页,返回本章目录,如图(a)的矩形脉冲信号，可以看成是图(b)和(c)两个阶跃信号之和。,f(t)=A(t)-A(t t0),f 1(t)=2(t)-4(t 1)+2(t 2),f 2(t)=2(t)+2(t 1)2(t 2)2(t 3),此外，还可以用(t)表示任意函数的作用区间。f 3(t)=t(t)-(t 1)，画出波形。,5.6 一阶电路的阶跃响应,二、阶跃响应,下一页,前一页,第 5-36 页,返回本章目录,1、定义：当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单
36、位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。,单位阶跃函数(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1A)在t=0时接入电路，因此，一阶电路的阶跃响应仍可用三要素法求得。,2、线性时不变电路的性质：,（1）零状态响应与外加激励之间满足齐次性和叠加性(称零状态线性)。即，若f1(t)yf1(t)，f2(t)yf2(t)，则 a f1(t)+b f2(t)a yf1(t)+byf2(t)（2）满足时不变性：若f(t)yf(t)，则f(t-t0)yf(t-t0),5.6 一阶电路的阶跃响应,下一页,前一页,第 5-37 页,返回本章目录,例 如图(a)所示电路，（1）以uC(t)为输出，求电路的阶跃响应
37、g(t)；（2）若激励iS的波形如图(b)，求电路的零状态响应uC(t)。,解（1）用三要素法。根据阶跃响应g(t)的定义，知uC(0+)=0；激励iS=(t)A,可得 uC()=61=6V=RC=(6+4)0.2=2s故 g(t)=6(1 e-t/2)(t)（2）iS=2(t)-2(t-2)A，根据线性时不变性质，得零状态响应 uC(t)=2 g(t)-2 g(t-2)=12(1 e-t/2)(t)121 e-(t-2)/2(t-2)V,5.6 一阶电路的阶跃响应,实际电路中，除直流电源外，另一类典型的激励就是正弦电源。下面以一阶电路为例讨论正弦电源激励下电路的完全响应。,下一页,前一页,第
38、 5-38 页,返回本章目录,5.8 正弦激励下一阶电路的响应,例 如图(a)所示电路，t=0时开关闭合。已知电容电压的初始值uC(0+)=U0。激励为uS(t)=USmcos(t+S)V，求t0时的uC(t)。,解 t0时开关闭合，列方程为,uC(t)=uCh(t)+uCp(t)，uCh(t)=K e-t/(RC)，其特解为与激励具有相同频率的余弦函数，即 uCp(t)=UCmcos(t+C)，代入得-RC UCmsin(t+C)+UCmcos(t+C)=USmcos(t+S),为方便，设A1=RCUCm，A2=Ucm，构成直角三角形，如图(b)，则,A1=Asin，A2=Acos,故-As
39、insin(t+C)+Acos cos(t+C)=USmcos(t+S),利用cosxcosy sinxsiny=cos(x+y)，得,下一页,前一页,第 5-39 页,返回本章目录,3.8 正弦激励下一阶电路的响应,Acos(t+C+)=USmcos(t+S)，故有,C+=S,解得,C=S=S arctan(RC),由初始条件确定常数K，即 uC(0+)=K+UCmcos(C)=U0，解得 K=U0-UCmcos(C)因此，uC(t)=(U0-UCmcos C)e-t/(RC)+UCmcos(t+C),前一项是暂态响应，后一项为稳态响应，称为正弦稳态响应。由上可见当电路复杂时，求解稳态响应麻烦，下一章介绍一种简便方法相量法。,
