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1、第 9 章,动态电路的时域分析,翻页,目 录,9-1 动态电路的方程及换路定则,9-2 一阶动态电路的零输入响应 9-3 一阶动态电路的零状态响应,9-4 一阶电路的全响应,翻页,9-5 求解一阶动态电路的三要素法 9-6 一阶电路的阶跃响应和冲激响应,9-7 二阶电路的零输入响应,9-1,基本概念和换路定则,翻页,翻页,一、动态电路概述,一.什么是动态电路,含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路。,稳态分析：,K未动作前,i=0,uC=0,K接通电源后很长时间,i=0,uC=Us,翻页,a.动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态习惯上称为
2、电路的过渡过程。,b.动态电路与电阻电路的比较：,动态电路换路后产生过渡过程，描述电路的方程为微分方程。,电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。,二.过渡过程产生的原因,1.电路内部含有储能元件,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,2.电路结构、状态发生变化,支路接入或断开;参数变化,根据KVL可得：,整理得：,代入上式,三、动态电路的方程,翻页,RC 电路,一阶电阻电容电路,四、一阶电路,翻页,RL 电路,一阶电阻电感电路,五、一阶电路（续）,翻页,1、换路（switching）,假设 t=0 时发生换路，规定：,t=0-,表示换路前的最终时刻,表示换路后的最初时刻,
3、换路经历的时间：0-到 0+,t=0+,六、初始条件和换路定则,换路是在瞬间完成,结构或参数的改变使得电路的工作状态发生变化。,翻页,2、过渡过程,稳态一,稳态二,过渡过程,t=0 时开关S动作，发生换路,翻页,3、换路定理,（1）、电容元件：,i为有限值，则：,uC(0)=uC(0),翻页,=0,换路定理一：,在换路前后的瞬间（设 t=0 时发生换路）,在有限电容电流条件下，在换路前后的瞬间电容元件上的电荷（或电压）不能跳变，即,六、初始条件和换路定理（续）,q(0)=q(0),uC(0)=uC(0),or,翻页,在换路瞬间可以用为一个电压值为 U0 的电压源替代,在换路瞬间电容相当于短路,
4、uC(0)=uC(0)=U0,uC(0)=uC(0)=0,翻页,（2）、电感元件：,uL为有限值，则：,iL(0)=iL(0),翻页,=0,在有限电感电压条件下，在换路前后的瞬间电感元件中的磁通链（或电流）不能跳变，即:,(0)=(0),iL(0)=iL(0),or,换路定理二：,翻页,在换路瞬间可用一个电流值为 I0 的电流源替代,在换路瞬间电感相当于开路,iL(0)=iL(0)=I0,iL(0)=iL(0)=0,翻页,其余的称为非独立的初始条件,独立的初始条件,uC(0)、iL(0),uC(0)=uC(0)iL(0)=iL(0),根据换路定理：,初始条件和换路定理（续）,翻页,5、求初始条
5、件的步骤：,1、根据换路前的电路求出uC(0)、iL(0),翻页,2、根据换路定理求出uC(0+)、iL(0+),3、画出 t=0+时的初始值等效电路图：将uC(0+)用电压源替代，iL(0+)用电流源 替代，激励也分别用uS(0+)、iS(0+)替代，求出其他非独立初始条件。,例 1 求图示电路中开关闭合后电容电压的初始值及各支路电流的初始值i1(0)，iC(0)，i2(0)。(假设开关闭合前，电路已工作了很长时间),翻页,t=0时的等效电路,解：1）求 uC(0),uC(0)=12V,t=0,翻页,2）求 uC(0)，i1(0)，iC(0)，i2(0),t=0时的等效电路,uC(0)=uC
6、(0)=12V,根据换路定理：,t=0,翻页,2）求 uC(0)，i1(0)，iC(0)，i2(0),uC(0)=uC(0)=12V,iC(0)=i1(0)i2(0)=6mA,t=0时的等效电路,翻页,例2：求图示电路中开关闭合后电感电流的初始值iL(0)、电感电压的初始值 uL(0)以及其它两个支路电流的初始值 iK(0)和 i(0)。假设换路前电路已工作了很长时间。,翻页,解：1）求 iL(0),t=0,iL(0)=1A,翻页,2）求 各初始值,t=0,2）求 各初始值（续）,uL(0)=iL(0)4=4V,iL(0)=iL(0)=1A,翻页,+ux,例：图示电路开关闭合已久，t=0时开关
7、打开，求：uC(0+)、iL(0+)和。,翻页,解：,iL(0+)=iL(0)=1A,uC(0+)=uC(0)=0,翻页,求初始条件：,根据换路定理：,9 2一阶动态电路的零输入响应,翻页,一、零输入响应,零输入响应就是动态电路在没有外加激励时，由电路中动态元件的初始储能引所起的响应。,iL(0),uC(0),初始储能,翻页,如图所示电路，开关 S 闭合前，电容 C 已充电，其电压uC(0)=U0。求开关闭合后各元件上的电压和电流。,二、RC 电路的零输入响应,翻页,C,开关闭合后，t0,uC uR=0,可得,翻页,uC iR=0,t 0,特征方程：,特征根：,RC p+1=0,设：解 uC=
8、A e pt,代入,得：,方程的通解：,翻页,t 0,uC(0)=uC(0)=U0,代入初始条件,可得 A=U0,二、RC 电路的零输入响应（续）,电容电压,t 0,通解：,V,翻页,t0,V,翻页,定义,RC 电路的时间常数，单位：s,=RC,V t 0,uR=U0 e t/,uC=U0 e t/,A t 0,V t 0,翻页,RC 电路的时 间 常 数,经过时间，电容电压衰减至原值的 36.8%经过 35，电容电压衰减至初始值的5%0.68%，可认为过渡过程基本结束。,翻页,二、RC 电路的零输入响应（续）,t 0 时,t=0 时发生换路,根据换路定理,三、RL 电路的零输入响应,翻页,如
9、图所示电路，求:开关从1合向2后各元件上的电压和电流。,解：,t 0 时,i=Aet R/L,特征方程 L p+R=0,方程的解,设：解 i=A e pt,得,翻页,t 0,代入初始条件,i=Aet R/L,电感电流,t0,A,翻页,三、RL 电路的零输入响应（续）,uR=uL,翻页,三、RL 电路的零输入响应（续）,RL 电路的时间常数 单位：s,定义,翻页,RL 电路的时 间 常 数,零输入响应的图形,翻页,三、RL 电路的零输入响应（续）,1、RC 电路和 RL 电路中的零输入响应都是 电路初始状态的线性函数，,2、一阶电路零输入响应电压和电流变化规律相同：,四、结论,RC 电路=RC,
10、f(t)=f(0)et/,例：uC=U0 e t/V t 0,t 0,翻页,例：图示电路在换路前已工作了很长时间，求：换路后的零输入响应电流 i(t)和 uo(t)。,五、含一个动态元件和若干电阻 的一阶电路,翻页,=ReqC,思 路：,先求独立初始条件uC（0+）再求其它初始条件，,然后用戴维南等效电路求时间常数:,f(t)=f(0)et/,最后套用结论:,翻页,uC(0)=i(0)60=120V,解：求初始值：,uC(0)=uC(0)=120V,翻页,t=0 时的等效电路,uC(0)=uC(0)=120V,翻页,t 0 时的等效电路,Req=60+40=100,=ReqC=1000.021
11、06=2106 s,翻页,因此，电路的零输入响应为：,i=i(0)et/=1.2 e0.5106t A，t0,u0=u0(0)et/=36 e0.5106t V，t0,=2106 s,f(t)=f(0)et/,翻页,零状态响应：就是电路在零初始状态下（动态元 件初始储能为零）由外加激励引起的响应.,iL(0)=0,uC(0)=0,RC 电路,RL 电路,翻页,一、零状态响应,二、RC 电路在直流激励下的零状态响应,uR+uC=US,uR=Ri,图示RC电路，开关闭合前电路处零初始状态，uC(0)=0 求:t 0+时的 uC和 i,解:,翻页,方程的通解:,方程的特解：,对应的齐次微分方程通解,
12、原方程的通解,稳态解,翻页,代入初始值,得待定系数,零状态响应,翻页,原方程的通解,USet/自由分量 瞬态分量,US 稳态分量 强制分量,uC=USUSet/,uC()=US,返回,翻页,二、RC 电路在直流激励下的零状态响应（续）,如图所示，RL电路在开关打开前电感中的电流为零。求：t 0 后的 iL,三、RL电路在直流激励下的零状态响应,翻页,根据 KCL,代入上式,可得：,翻页,设方程的通解,特解,对应齐次微分方程的通解,原方程的通解,翻页,稳态解,代入初始条件,方程的通解,零状态响应电流为,得待定系数,t 0 时,翻页,ISet/自由分量 瞬态分量,IS 稳态分量强制分量,iL=IS
13、Iset/,iL()=IS,翻页,三、RL电路在直流激励下的零状态响应（续）,9-4,一阶动态电路的全响应,翻页,9-5,求解一阶动态电路的三要素法,一、全响应,当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。,uC(0)=U0,翻页,图示电路为已充电的电容接到直流电源 Us上，设电容原有电压为 U0，求各元件上的全响应。,二、直流激励下的全响应,uC(0)=U0,翻页,t=0 时开关闭合，电路发生换路,返回,翻页,解：,开关 S 闭合后，根据KVL，有：,返回,翻页,通解:,方程的特解：,对应的齐次微分方程通解,稳态解,通解:,代入初始条件,全响应,翻页,电流响应：,电压响应：
14、,翻页,二、直流激励下的全响应（续）,全响应=（稳态分量）+（瞬态分量）,翻页,改写成,全响应=,零状态响应,零输入响应,+,翻页,三、三要素法,U0 初始值,全响应,Us 特解，稳态解,时间常数,三 要 素,翻页,全响应的表达式：,三、三要素法（续）,f(0+)初始值,一阶电路在直流激励下,f()特解，稳态解,时间常数,f(t)=f()+f(0+)f()e t/t 0,翻页,例 求图示电路在开关闭合后各支路的电流 i1、i2、i3。设换路前电路已工作了很长时间。U=10V，R1=R2=30，R3=20，L=1H。,思路：三要素法,翻页,解：1）求初始值,根据换路定理：,翻页,t=0 时的等效
15、电路,解得,翻页,2）求时间常数,Req=2015=35,翻页,3）求稳态解,翻页,根据三要素法写出全响应电流:,翻页,根据三要素法写出全响应电流,翻页,9-6,一阶动态电路的阶跃响应和冲激响应,翻页,单 位 阶 跃 响 应,电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应称为单位阶跃响应,翻页,也称为单位阶跃特性,一种奇异函数，定义为：,单位阶跃函数的图形,一、单位阶跃函数,1,1、定义：,翻页,1,(t),延迟的单位阶跃函数,若令,则有,一、单位阶跃函数（续）,翻页,（1）阶跃函数可以作为开关的数学模型,2、作用：,翻页,一、单位阶跃函数（续）,（2）起始任意函数 f(t),翻页,f(t)(t),翻页
16、,一、单位阶跃函数（续）,（3）构造方波（矩形脉冲）,翻页,翻页,翻页,一、单位阶跃函数（续）,二、单位阶跃响应,单位阶跃响应：电路对于单位阶跃函数输入的零状 态响应又称为单位阶跃特性，一般 用S(t)表示：SuC(t)、SiR(t)、SiC(t),翻页,图示RC电路，求：t 0+后的uC,零状态响应,翻页,三、一阶电路的单位阶跃响应,1、RC电路的单位阶跃响应,2、RL电路的单位阶跃响应,零状态响应,图示RL电路，求：t 0+后的iL,翻页,一种奇异函数，定义为：,翻页,冲激响应,1、单位冲激函数,当,宽度趋于零，幅度趋于无穷大的面积为1的脉冲,翻页,K 与(t)的乘积,K为冲激函数 K(t
17、)的强度,翻页,2、冲激函数,若f(t)在 t=0处连续且处处有界，则：,（1）采样性质,3、单位冲激函数的性质,翻页,延迟采样：,翻页,（2）、(t)和(t)之间的关系：,反之：,翻页,电路对于冲激函数输入的零状态响应,翻页,二、冲激响应,单位冲激响应,1、冲激响应,电路对于单位冲激函数输入的零状态响应，又称为单位冲激特性，一般用h(t)表示：huC(t)、hiR(t)、hiC(t),(t),(t),h(t)单位冲激响应,S(t)单位阶跃响应,2、h(t)与 S(t)的关系,翻页,三、两个跃变,1、电容电压跃变,翻页,换路定理不再适用!,2、电感电流的跃变,翻页,换路定理不再适用!,t 0时
18、，(t)=0，uc(t)=0,四、一阶电路的冲激响应,t=0 时，(t)对电容充电,1、RC电路的冲激响应,KCL,翻页,uc(0)=0,=0,t 0 的等效电路,t 0，(t)=0,零输入响应：,翻页,故：,翻页,A,2、电感的冲激响应,(t)=0，iL(t)=0,t 0时,KVL,翻页,=0,解:,t 0时(t)=0,零输入响应：,一阶电路的冲激响应,一阶电路的冲激响应也可以用下面的求法：先求出电路的单位阶跃响应(t)响应；再对时间求导就得到单位冲激响应(t)响应；最后乘以冲激强度即可得到冲激函数引起的响应 K(t)响应。,翻页,例:图示电路中，uc(0)=0，R 1=3k，R 2=6k，
19、C=2.5F，求冲激响应 ic、i1、uc,翻页,六、例 题,解：,R1(ic+i1)+uc=(t),根据KVL,翻页,R1C uc(0+)uc(0)=1,因为：,所以：,翻页,uc(0)=0,=ReqC=(R1/R2)C=5 103 S,R1C uc(0+)uc(0)=1,翻页,翻页,R 1=3k，R 2=6k，C=2.5F，,例:图示电路中,当(1)is=(t)A，uc(0)=0；(2)is=(t)A，uc(0)=1V；(3)is=3(t-2)A，uc(0)=2V；时分别求响应uc(t),翻页,六、例 题,解：,(1)按KCL：,i1 ic=is,(1)is=(t)A，uc(0)=0；,翻
20、页,3Cuc(0+)uc(0)=1,uc(0)=0,得：,(1)is=(t)A，uc(0)=0；,翻页,=ReqC=31063103=9103 s,(1)is=(t)A，uc(0)=0；,翻页,(2),(2)is=(t)A，uc(0)=1V；,3Cuc(0+)uc(0)=1,uc(0)=1 V,得：,翻页,(2)is=(t)A，uc(0)=1V；,3Cuc(0+)uc(0)=1,uc(0)=1 V,=9103 s,翻页,uc(0+)=uc(0)=2V,uc(t)=uc(0+)et/=2e1000t/9 V,0 t 2s,0 t 2s,(3),=9103 S,(3)is=3(t-2)A，uc(0)=2V；,uc(2)=0,翻页,零输入响应:,得：3Cuc(2+)uc(2)=3,uc(2)=0,(3)is=3(t-2)A，uc(0)=2V；,t 2s：,翻页,uc(2)=0,t 2s,(3)is=3(t-2)A，uc(0)=2V；,得：3Cuc(2+)uc(2)=3,uc(2)=0,V,翻页,
