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1、1,第八章 z变换、离散时间系统的z域分析,8.1 z变换的定义8.2 典型序列的z变换8.3 z变换的收敛域8.4 逆z变换8.5 z变换的基本性质8.6 z平面与s平面的关系8.7 利用z变换解差分方程8.8 离散系统的系统函数,2,第八章 z变换、离散时间系统的z域分析,8.9 序列的傅里叶变换8.10 离散时间系统的频率响应特性,3,重点,z变换的定义及常用信号的z变换；部分分式法求z逆变换；z平面与s平面的映射关系离散系统的z域分析方法；离散系统的系统函数，及系统函数与系统特性（时域特性、因果性、稳定性）的关系。理解序列的傅里叶变换的物理含义；离散时间系统的频率响应特性的意义及其计算
2、。,4,难点,z变换的收敛域；z变换的位移性质离散系统响应的z域求解；系统函数与系统特性的关系。离散时间系统的频率响应特性的意义及其计算。,5,8.2、8.3 z变换的定义、收敛域,8.5 z变换的基本性质,8.4 逆z变换,离散系统的复频域分析,离散信号的复频域分析,8.7 系统的z变换分析法,8.8系统函数H(z),系统函数决定时域特性,8.9 序列的傅里叶变换(DTFT),系统函数决定稳定性和因果性,8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,离散系统的频域分析,离散信号的频域分析,8.10 系统函数决定频域特性,6,8.1 引言,为什么引入z变换？,z变换是求解差分方程的有力工具，类似于连续时
3、间系统中的拉普拉斯变换。z变换还用于数字滤波器的分析与设计，以及各种类型的数字信号处理问题。,z变换的产生：,18世纪有初步认识20世纪5060年代进一步发展和应用,7,8.2 z变换的定义、典型序列的z变换,借助于抽样信号的拉氏变换引出。连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)的表示式为,8,单边拉氏变换,9,单边Z变换,令,其中 z 为一个复变量,则,通常令T=1,抽样信号的拉氏变换与序列的 z 变换的关系,10,序列的z变换是复变量 的幂级数，其系数是x(n)。,z变换也有单边和双边之分。单边z变换为,双边Z变换为,着重单边，兼顾双边！,11,单位样值序列单位阶跃序列斜变
4、序列指数序列正弦与余弦序列,典型序列的z变换,12,单位样值序列的 z 变换:,13,单位阶跃序列的 z 变换:,单边指数序列的 z 变换:,14,斜变序列的 z 变换:,两边对z-1求导,两边乘以z-1,15,单边余弦序列的 z 变换:,16,单边正弦序列的 z 变换:,17,单边指数余弦序列的z变换：,18,收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的所有 值的集合称为收敛域(region of convergence,缩写为ROC)。,8.3 z变换的收敛域,级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件。,左边构成正项级数，可利用正项级数收敛的判定方法,19,收敛域至少为除了0和 外的整个 平面,（1
5、）有限长序列：在有限区间 内，有非零的有限值的序列,分为三种情况：,几类序列的收敛域,20,（2）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列,因果序列是右边序列的一种特殊情况，它的收敛域为,圆外为收敛域若n10,则不包括 点,收敛半径,21,（3）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列,圆内为收敛域，若 则不包括z=0点,收敛半径,22,（4）双边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列,有环状收敛域,没有收敛域,圆内收敛,圆外收敛,23,注意：,对于一个给定序列的z变换既要给出表达式，又要标出它的收敛域。,24,例8-1 求序列x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换，并确
6、定它的收敛域(其中ba,b0,a0),解：这是一个双边序列，求单边z变换,如果,25,求双边z变换,如果,26,收敛域内不包含任何极点，收敛域通常以极点为边界。,27,例题,有限长序列,八个零点,七阶极点,一阶极点,28,（1）留数法（不要求）（2）幂级数展开法（自学）（3）部分分式法（掌握）,8.4 逆z变换,C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。,29,例8-5 求 的逆变换x(n)(|z|1)。,部分分式法（法一）,解：,x(n)=(2-0.5n)u(n),30,例8-5 求 的逆变换x(n)(|z|1)。,部分分式法（法二）,解：,
7、x(n)=(2-0.5n)u(n),31,一般情况下，X(z)的表达式为,1、X(z)只有一阶极点,对因果序列，它的z变换收敛域为|z|R，需kr保证X(z)在z=处收敛。,32,2、X(z)除含有M个一阶极点外，在z=zi处还含有s阶极点,33,34,利用部分分式展开法求逆变换时，要掌握基本形式的逆变换。注意：逆变换与收敛域有关。,查表，注意收敛条件,35,例题,双边序列,左边序列,右边序列,36,37,线性位移性序列线性加权（z域微分）序列指数加权（z域尺度变换）初值定理终值定理时域卷积定理,8.5 z变换的基本性质,38,（一）线性,注：如果线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩
8、大。,收敛域为重叠部分,39,（二）位移性,（1）双边序列移位后的双边z变换,m为任意正整数。,40,（2）双边序列左移的单边z变换,41,42,（3）双边序列右移的单边z变换,（4）对于因果序列x(n),43,例,求 的z变换。,由于是有限长序列，且n0,44,利用z变换的线性和位移性可解差分方程,45,线性性和平移性,例8-8,解：,对方程式两端分别取z变换,已知差分方程表示式,边界条件y(-1)=0，用z变换法求系统响应y(n)。,46,（三）Z域微分（时域线性加权）,时域序列乘n等效于z域中求导且乘以(-z)。,进一步,47,例8-9,解：,48,例,解：,49,（四）z域尺度变换（时
9、域指数加权）,50,例8-10,解：,可得,51,（五）初值定理,若x(n)是因果序列,52,（六）终值定理,若x(n)是因果序列,要求当 时x(n)收敛，即X(z)极点必须在单位圆内，在z=1处有一阶极点,注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有极点位于单位圆内。,53,无,无,有，1,有，0,等价于收敛域内包括单位圆或在z=1处有一阶极点。,54,例,解：,已知某因果序列的z变换,式中a为实数，求序列的初值x(0)和终值x()。,由初值定理,55,推理 x(1)？,56,（七）时域卷积定理,已知两序列x(n),h(n)，其z变换为,则,收敛域为重叠部分,注：如果某些零点与极点相抵消，
10、则收敛域可能扩大。,57,证明：,例：,描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,58,例8-12,解：,59,8.6 z平面与s平面的映射关系,将s表示成直角坐标形式，把z表示成极坐标形式,T为序列的时间间隔,为重复频率,60,61,62,63,64,多圈,65,66,z变换与拉氏变换的表达式的对应,借助模拟滤波器设计数字滤波器,67,解：,68,8.7 利用z变换解差分方程,原理：利用单边z变换的线性和位移性,双边序列的单边z变换,69,用单边Z变换解差分方程的步骤和思路,x(n-r)，y(n-k)均为右移序列两边取单边z变换,起始状态,若为因果信号此项为零,7
11、0,若激励x(n)=0，系统处于零输入状态。,求得的是零输入响应。,系统的起始状态y(l)(-Nl-1)。,（1）零输入响应,71,若系统的起始状态y(l)=0(-Nl-1)，系统处于零状态，且激励x(n)为因果序列，则,求得的是零状态响应。,（2）零状态响应,72,线性性和平移性,例8-8,解：,对方程式两端分别取单边z变换,已知差分方程表示式,边界条件y(-1)=0，用z变换法求系统响应y(n)。,零状态响应,73,例题,解：,74,75,例题,解：,76,77,8.8 离散系统的系统函数,一、定义,（1）系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比,若x(n)是因果序列,且系统处于零状态下：
12、,请注意这里与解差分有何不同？,因果,零状态,78,（2）系统函数是单位样值响应h(n)的z变换,激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应,由卷积定理,79,例8-18,求下列差分方程所描述的离散系统的系统函数和单位样值响应。,解：,方程两边z变换得,如果系统处于零状态，则y(-1)=0，可得,80,例题,假设一线性时不变系统的系统函数是,求满足该系统的差分方程？,解：,其差分方程就是,81,二、系统函数的零极点分布确定单位样值响应,82,极点分布对h(n)的影响,83,因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的而且是绝对可和的。即,离散时间系统稳定的充要条件是：单位样值响应绝对可和。即,因果
13、,稳定,三、离散时间系统的稳定性和因果性,（1）时域中系统因果稳定的条件,84,对于因果稳定系统收敛域为：,即全部极点位于单位圆内。,因此对于稳定系统 的收敛域应包含单位圆在内。,恰好满足系统稳定的条件。,（2）在z域中因果稳定的条件,85,例题 已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：,解：,方法二：由收敛域判断该系统是因果系统,方法一：收敛域不包括单位圆，系统是不稳定的,因果稳定系统极点位于单位圆内。本题有一个极点位于单位圆外，系统是不稳定的。,86,由收敛域判断该系统是非因果系统。不能应用因果稳定条件。,右序,左序,收敛域包括单位圆，系统稳定。,87,例8-19
14、,解：,1)先求系统函数差分方程两边z变换，得,整理得,88,2）求收敛域和判断稳定性,系统为因果系统,收敛域包括单位圆，系统为稳定的。,3）求冲激响应h(n),89,零状态响应,4）求零状态响应,90,8.9 序列的傅里叶变换（DTFT）,一、定义,序列的傅里叶变换（DTFT，Discrete-time Fourier transform）为研究离散时间系统的频率响应作准备。由z变换引出：,91,DTFT与z变换的关系,92,表示,DTFT的逆变换,93,连续信号和离散序列的傅里叶变换的比较,连续,离散,94,模拟角频率，量纲：弧度/秒；数字角频率，量纲：弧度；是周期为 的周期函数关系：,频
15、率的比较,95,二、序列的频谱,96,三、DTFT存在的收敛条件,97,8.10 离散时间系统的频率响应,一离散系统频响特性的意义,频响特性：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应随频率变化的情况。,98,频率响应特性的意义：表示输出序列的幅度和相位相对于输入序列的变化。,99,由系统函数得到频响特性,输出对输入序列的相移,系统函数在单位圆上的z变换即为系统的频率响应特性:,输出与输入序列的幅度之比,：幅度响应或幅频特性,：相位响应或相频特性,100,离散系统（数字滤波器）的分类,101,频率响应与单位样值响应的关系,离散系统的频率响应是系统的单位样值响应的傅里叶变换。,是以 h(n)为加权系数，
16、对各次谐波进行改变的情况（物理意义）。,102,二、频响特性的几何确定,103,几点说明,104,例8-22,求下图所示一阶离散系统的频率响应。,差分方程,系统函数,解：,105,频率响应,幅度响应,相位响应,单位样值响应,106,例8-23,求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。,该系统的差分方程为,系统函数写作,解：,107,得到:,108,其中,109,系统的频率响应为,110,小结,1.系统的频响特性：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比：相频特性，输出对输入序列的相移,3.因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响 特性 为周期为 的周期函数。,4.是关于 的偶函数，是关于 的奇函数。
17、,2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，因 而变化，影响输出的幅度与相位。,111,滤波器介绍,滤波器的作用：1）去除信号中不需要的部分(信号分离)，如随机噪声；2）提取信号中的有用部分(信号恢复)，如提取某一频率段内的成分。,112,模拟滤波器和数字滤波器,从系统角度看，滤波器分为两大类：模拟滤波器(analog filter,AF)和数字滤波器(digital filter,DF)。它们都是可实现的线性时不变系统。数字滤波器：利用离散时间系统对数字信号做滤波处理模拟滤波器：利用模拟电路直接对模拟信号做滤波处理两类滤波器在物理组成和工作方式上有很大不同。,113,模拟滤波器只能用硬
18、件实现，其元件是R,L,C及运算放大器或开关电容等。数字滤波器既可以用硬件实现(数字信号处理器)，也可以用软件(PC机)来实现。与AF相比，DF在体积、重量、精度、稳定性、可靠性、存储功能、灵活性以及性能价格比等方面有明显的优点。,114,则LTI系统的输出为：,数字滤波器的工作原理,115,滤波原理,116,按功能分:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)，全通。,经典滤波器,加法性噪声,若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将 有效去除.,经典滤波器和现代滤波器,每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.,117,模拟滤波器的理想幅
19、频特性,LPAFHPAFBPAFBSAF,118,数字滤波器的理想幅频特性,LPDFHPDFBPDFBSDF,.,.,.,.,119,种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器,乘法性噪声,卷积性噪声,信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。,现代滤波器,维纳滤波器是典型代表,120,对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,转移函数分别为:,FIR DF:,IIR DF:,121,习题,8-1(3)(5);8-2;8-5(3);8-10(2);8-12 8-8;8-13;8-15;8-21(4);8-23(3);8-25;8-298-37,122,实验,做实验讲义上的实验十按要求写出实验报告。,
