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1、第4章 立体及表面交线,4.1 平面立体,4.2 曲面立体,4.3 平面与立体相交,4.4 两曲面立体相交,下一页,返回目录,基本体,按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。,上一页,下一页,返回目录,4.1 平面立体,4.1.1 棱柱,4.1.2 棱锥,表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。,上一页,下一页,返回目录,4.1.1 棱 柱,由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫棱线，棱线相互平行。,上一页,下一页,返回目录,5,（1）棱柱的投影,上一页,下一页,返回目录,(1)棱柱的投影
2、,上一页,下一页,返回目录,7,a,a,（a）,(2)棱柱表面上取点,(b）,b,b,上一页,下一页,返回目录,4.1.2.棱 锥,由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一点锥顶。,上一页,下一页,返回目录,(1)棱锥的投影,上一页,下一页,返回目录,s,B,a,s,c,s,b,C,A,S,(1)棱锥的投影,上一页,下一页,返回目录,s,s,a,a,c,b,b(c),c,s,b,a,r,(2)棱锥表面上取点,上一页,下一页,返回目录,s,b(c),s,a,a,c,b,c,s,b,a,(2)棱锥表面上取点,上一页,下一页,返回目录,s,s,a,a,c,b,b(c）,c,s,b,a,(2)棱锥
3、表面上取点,上一页,下一页,返回目录,4.2 曲面立体,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。,上一页,下一页,返回目录,4.2.1 圆 柱,圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。,上一页,下一页,返回目录,(1)圆柱的投影,上一页,下一页,返回目录,(2)圆柱表面上取点,(),上一页,下一页,返回目录,4.2.2 圆 锥,圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转
4、而成。,上一页,下一页,返回目录,(1)圆锥的投影,上一页,下一页,返回目录,(2)圆锥表面上取点,上一页,下一页,返回目录,4.2.3 圆 球,圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,上一页,下一页,返回目录,(1)圆球的投影,上一页,下一页,返回目录,(2)圆球表面上取点,上一页,下一页,返回目录,4.2.4 圆环,圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过圆心但在同一平面上的轴线旋转而成。,上一页,下一页,返回目录,(1)圆环的投影,上一页,下一页,返回目录,(2)圆环表面上取点,上一页,下一页,返回目录,4.3 平面与立体相交,4.3.2 平面与平面立体相交,4.3
5、.3 平面与曲面立体相交,4.3.1 截交线的性质,上一页,下一页,返回目录,4.3.1 截交线的性质,平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。,截平面,截交线,上一页,下一页,返回目录,4.3.2 平面与平面立体相交,由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的
6、交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。,上一页,下一页,返回目录,例2 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。,s,a,b,c,a,s,b,c,s,a(c),b,B,A,1,2,3,1,2,3,1,2,3,上一页,下一页,返回目录,例3 求带切口三棱锥的投影。,解题步骤1 分析 截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2 求出截交线上的折点、；3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4 整理轮廓线。,上一页,下一页,返回目录,4.3.3 平面与曲面立体相交,曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。,上一页,下一页,返回目录,1.平面与
7、圆柱相交,上一页,下一页,返回目录,例4 求斜切圆柱的截交线。,解题步骤1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点、；3 求出若干个一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。,上一页,下一页,返回目录,作图步骤：（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。（2）求出截交线上的特殊点。（3）根据需要求出若干个一般点。（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。（5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。,特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限
8、位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。,上一页,下一页,返回目录,例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。,作图步骤1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的点、；3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,上一页,下一页,返回目录,例6 补画被截切圆柱的水平投影。,上一页,下一页,返回目录,上一页,下一页,返回目录,例7 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。,解题步
9、骤1 分析 截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2 求出截交线上的点、；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4 整理轮廓线。,上一页,下一页,返回目录,2.平面与圆锥相交,过锥顶,两相交直线,圆,椭圆,抛物线,双曲线,上一页,下一页,返回目录,解题步骤,例9 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。,1 分析 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；,2 求出截交线上的特殊点；,3 求出一般点；,4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,5 整理轮廓线。,上一页,下一页,返回目录,例10 求正平面与圆锥的截交线。,解题步骤1 分析 截交线的水平投影和侧面投影已知，正面
10、投影为双曲线并反映实形；2 求出截交线上的特殊点、；3 求出一般点；4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。,1,1,1,2(3),4(5),4,5,2,3,2,4,5,3,上一页,下一页,返回目录,3.平面与圆球相交,平面与圆球相交,截交线为 圆,上一页,下一页,返回目录,例12 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。,上一页,下一页,返回目录,例13 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。,上一页,下一页,返回目录,4.4 两曲面立体相交,4.4.1 相贯线的性质,4.4.2 相贯线的作图方法,4.4.3 相贯线的特殊情况,4.4.4 组合相贯线,上一页,
11、下一页,返回目录,4.4.1 相贯线的性质,立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。,上一页,下一页,返回目录,4.4.2 相贯线的作图方法,1.表面取点法,当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯线的方法称为表面取点法。,上一页,下一页,返回目录,例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。,分
12、 析,求特殊点,求一般点,判别可见性,完成相贯线,上一页,下一页,返回目录,首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是要求作的。,分 析,上一页,下一页,返回目录,求特殊点,确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括：相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、最高、最低各点；曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。,上一页
13、,下一页,返回目录,求相贯线的一般步骤,（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性。分析相贯线哪个投影已知的，哪个投影是要求作的。（2）求特殊点 相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。（3）求一般点 根据需要求出若干个一般点。（4）判别可见性 当相贯线上的点同时处于两立体表面的可见部分时这些点才可见，否则不可见。（5）完成相贯线 顺次光滑连接各点，作出相贯线。补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。,上一
14、页,下一页,返回目录,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,上一页,下一页,返回目录,两正交圆柱相贯线的变化趋势（一）,上一页,下一页,返回目录,例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。,a“(b“),a,b,c“,c,a,b,c,d,d,d,e“(f“),e,f,e,f,g,h,g“(h“),g,h,上一页,下一页,返回目录,2.辅助平面法,假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点
15、的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。,上一页,下一页,返回目录,(1)所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的投影应是简单易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作为辅助面。(2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则得不到共有点。,选择辅助平面的原则：,上一页,下一页,返回目录,1,1,1,2,2,2,例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。,上一页,下一页,返回目录,4.4.3 相贯线的特殊情况,相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。,上一页,下一页,返回目录,（1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆,上一页,下一页,返回目录,（2）外切于同一球面的
16、圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,上一页,下一页,返回目录,本章小结,1.掌握立体的投影特性和作图方法及立体表面上取点、取线的方法。2.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法；掌握截交线的性质及求截交线的方法；3.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法;了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。,上一页,返回目录,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,HOME,
