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1、,几何与代数,主讲:王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,关于作业,习题三(B)40 务必掌握！,习题四(B)20(1),xyz,=,2y-3zyz,=,210,-301,y,+z,基向量:(2 1 0),(-3,0,1),习题四(B)20(2),2 3 6 92 4 5,2 00 0 10 0 0,基向量,行变换,2 3 6 92 4 5,0 03 0 02 0-1,是基向量(参见引理4.1和例4.15),列变换,不是基向量,习题四(B)23,1T 2T,1T 2T,=,C,1=c111+c212,2=c121+c222.,C=,c11 c12 c21 c22,因为此时1,2,1,
2、2是行向量，所以,12,12,=,CT,或者等价地，,第5章 特征值与特征向量,第1节矩阵的特征值与特征向量,量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值.特征植也可以是动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力.在图像的压缩处理中，用到的奇异值分解与矩阵的特征值紧密相连.此外，特征值在求解ODE，分析一个系统的稳定性方面起着重要的作用.,5.1 方阵的特征值和特征向量,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,平面上的二次曲线 ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的度量性质可以用矩阵 的特征向量来刻画。,
3、A=,a bb c,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,计算 An,如果存在可逆矩阵P使得 A=PDP-1，D是对角阵，,则 An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1.PDP-1=PDnP-1,相似对角化,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,P=(p1,p2,pn),D=diag(d1,d2,dn),A=PDP-1,AP=PD,A(p1,p2,pn)=(p1,p2,pn),=(d1p1,d2p2,dnpn),Api=di pi,i=1,2,n.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,一.特征值,特征向量的概念,注：对于一个特征值，其对应的特征向量 有
4、无穷多个.(k),第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,A=,n阶方阵,非零向量,特征值,特征向量,给定一个 A，就有一个线性变换,x,Ax，,f,即 f(x)=Ax.,f 是Rn到Rn上的线性变换，如果满足 f(x+y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x),kR,求特征值的目的：线性变换f()=数乘变换0.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,2.几何意义,(=A=k),第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,只有一些特殊的向量才能使得A 与平行:一类是x轴上的向量；另一类是y轴上的向量。,这些向量构
5、成了A的所有特征向量.,O,x,y,只有一些特殊的角才能使得A与平行，所以只有一些特殊的角才能使得A有实的特征值和实的特征向量.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例1 假设n阶方阵 A=kE.问A有没有特征值和特征向量？,Rn,A=(kE)=k.,k是A的特征值，所有非零Rn 是A的对应于特征值k的特征向量.,解：,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,第五章 特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,A=,(EA)=0,|EA|=0,特征方程,特征多项式,特征值,特征向量,求特征值和特征向量的一般步骤：,求解特征方程|EA|=0的根0,求解(0 EA)x
6、=的非零解(此时方程组一定有无穷多解，只需求出它的一个基础解系1,2,s),k11+k22+kss 即为A对应于特征值0的特征向量(k1k2ks 0),第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例2.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2,(2EA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,例2.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4,(4EA)x=0
7、 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,解:|EA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2EA)x=0 的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(EA)x=0 的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).,例3.求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,解:|EA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(EA)x=0的基础解系:p1
8、=(1,0,1)T.对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).(2EA)x=0的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).,例4.求,的特征值和特征向量.,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,计算特征值和特征向量需要注意：(1)一个特征值至少对应一个特征向量；（2）一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不会超过特征值的重数；（3）线性组合的系数不能全为零.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例5.求,的特征值.,不难分析出一个上(下)三角矩阵的特征值就是其主对角元素。
9、特别地，一个对角矩阵的特征值就是其主对角元素。,第四章 矩阵的特征值和特征向量,4.2 特征值与特征向量,问1：下面这个矩阵的特征值是什么？,问2：设 A 是 n 阶方阵.如果存在数 k使得 kE-A不可逆,则能得到什么结论？,事实上,k是A的一个特征值|kE-A|=0 kE-A不可逆,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,第五章 特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,二.特征值的性质,(a11)(a22)(ann),f(0)=|A|=(1)n|A|.,A的迹,记为tr(A),f()=|E A|=,=n(a11+a22+ann)n1+,定理5.1.,第5章 特征值与特征
10、向量,5.1特征值与特征向量,推论5.1.若|E Ann|=(1)(2)(n),则1+2+n=tr(A),12n=|A|.,例 6 设A是2 阶方阵，E A 和 3E+2A 不可逆.试求 A 的迹和行列式.,推论5.2.Ann可逆 A的特征值均不为零.,作 业,习题五（B）1(1,2),2,上交时间：12月6日（周二）思考：设是n维非零列向量，计算：r(T);T的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,A=,特征值,特征向量,A2=A(A),=,=A(),=A,=2,An=n,(anAn+a1A+a0E),=anAn+a1A+a0,=ann+a1+a0,=(ann+
11、a1+a0),(A)=,=(),第五章 特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,A=,特征值,特征向量,An=n,(A)=(),()=O=,()=0,(A)=O,=A1,A1=1,A可逆,An=n,第五章 特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,A=,特征值,特征向量,An=n,(A)=(),(A)=O()=0,A可逆 An=n,(2)设0是方阵A的一个特征值,f 是一个多项式,则f(0)是方阵f(A)的一个特征值.,(3)若A是一个方阵,f是多项式使 f(A)=O,(这时称f为A的一个化零多项式),则 A 的任一特征值 0必满足f(0)=0.,性质(1)设0是可逆矩阵A的
12、一个特征值,则 0 0，且0-1 是A-1的特征值.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例5.若A33的特征值为1,1,2,则|A|=2.,A*的特征值为,注:A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,例如f(x)=x21,A*A=A*,0,|A|E=,|A|=,A*=1|A|,2,2,1.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,分析,例 7 设A是3 阶方阵，E A,E+A,2E-A不可逆.A*是A的伴随矩阵.f(x)=x2+x+3.试求 f(A*)的迹和行列式.,第一步 求出A*的特征值；第二步 求出f(A*)的特征值.(与课本例5.5步骤稍有不同),第5章 特征
13、值与特征向量,5.1特征值与特征向量,解：,注：事实上，可以证明设1,2,n是方阵A的所有特征值,f 是一个多项式,则f(1),f(2),f(n)是方阵f(A)所有的一个特征值.,第5章 特征值与特征向量,第2节相似矩阵,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一.相似矩阵的定义和性质,设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 B=P 1AP,则称矩阵A相似于B.记为AB.P称为相似变换矩阵.,易见,矩阵间的相似关系满足 反身性:AA;对称性:AB BA;传递性:AB,BC AC.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.,第5章 特征值与特征向量,1.AB A与B等价.但反之未必.,注,2.AB,并且
14、 A可逆 A-1 B-1.,3.AB,f是一个多项式 f(A)f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,命题:设AB,f是一个多项式,则f(A)f(B).,证明:设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则,P 1f(A)P,=anP 1AnP+a1p 1AP+a0 P 1EP,=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,=P 1(anAn+a1A+a0E)P,=anBn+a1B+a0E,=f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例1.若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换，再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明:A与B相似.,A,P(i,j)A,P(i,
15、j)A P(i,j)=B,注意：P(i,j)-1=P(i,j),5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.),事实上,设P 1AP=B,则|EA|=|P1|P|EA|=|P1|EA|P|=|P1(EA)P|=|EB|.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,注:特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP=B,则A=PBP 1=E.,矛盾!,上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.,5.2 相似矩阵,
16、第5章 特征值与特征向量,问题1 若A和B都相似于同一个对角阵,AB,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,问题2 若A相似于对角阵diag(1-1 1),则 A2=,E.,问题3 若A相似于对角阵diag(1 1 1),则 A=,E.,计算 An.,如果存在可逆矩阵P使得 A=PDP-1，D是对角阵，,则 An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1.PDP-1=PDnP-1,本章的任务,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,P=(p1,p2,pn),D=diag(d1,d2,dn),A=PDP-1,AP=PD,A(p1,p2,pn)=(p1,p
17、2,pn),=(d1p1,d2p2,dnpn),Api=di pi,i=1,2,n.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,从定理5.3的证明中可看出，如果A相似于对角矩阵,那么任意调整的主对角元素(即A 的特征值)，所得新的对角矩阵与A也是相似的.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的第一个充要条件，但是不方便使用.,定理5.4.假设1,2,s是n阶方阵A的属于不同特
18、征值 1,2,s 的特征向量,则 1,2,s 线性无关.,推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.,注：推论5.4的逆命题不成立！,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.4.假设1,2,s是n阶方阵A的属于不同特征值 1,2,s 的特征向量,则 1,2,s 线性无关.,推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的充分条件,定理5.5.假设值 1,2,s(s n)是n阶方阵A的互不相同的特征值,i1,i2,i 是A相应于特征值 i的线性无关的特征向量,则 11,12,1,21
19、,22,2,s1,s2,s 线性无关.,ti,ts,t2,t1,对应 1,对应 2,对应 s,注：特征值i 对应的线性无关特征向量的最大个数是ti=nr(A-iE).称之为i的几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似 A的每个ki重特征值i有ki个线性无 关的特征向量,i=1,2,s.,特征值的重数k称为的代数重数,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似 A的每个特征值的代数重数等于几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的第二个充要条件,提醒：一个n阶方阵相似于对角阵它有n个特征向量,构成了Rn 的一组基.,5.2 相
20、似矩阵,第5章 特征值与特征向量,三.方阵的相似对角化,对于n阶方阵A,求可逆矩阵P,使P 1AP为 对角矩阵的这件事称为矩阵A的相似对角化.,步骤如下：,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,求|EA|=0的根,A可以相似对角化,r(iEA)=ni的重数?,A不能相似对角化,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例2.A=,1 0 0,2 4 3,分析：A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变换矩阵.,4-3 4,.求A100.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,=P 1 A P,A=P P 1,A100=P 100P 1,例3.A=,-1
21、2 3,0 2 2,问：x,y 取何值时A与B相似？,0 x 1,B=,0 0 0,0 0 y,0 3 0,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,分析：,A与B相似,tr(A)=tr(B),|A|=|B|,x,y的取值,验证A与B确实相似,例4.假设2是矩阵A=,1 x-3,1 y5,-1 4-3,的二重特征值,若A相似于对角矩阵，求 x,y 及可逆矩阵P，使得P-1 AP是对角矩阵.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,分析：,A相似于对角矩阵,2是二重特征值,r(A-2E)=3-1=2,求 x,y,特征值之和等于迹,另一个特征值,例5.A=,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值=3,i中有两个是虚数,所以A不与实对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,(3EA)x=的基础解系:p1=5,3,1T,(iEA)x=的基础解系:p2=0,i,1T,(iEA)x=的基础解系:p3=0,i,1T,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,作 业,习题五（B）4,5,7,8,10,13,14,15(1,3,5),16,18,19(矩阵P不必求),21,23 上交时间：12月6日（周二）思考：习题五（B）22,注：每周四晚上6:008:30教八400的公共答疑照常进行.,
