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1、第四节 实对称矩阵的相似矩阵,实对称矩阵的相关结论,用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角形矩阵的方法,实对称矩阵的特征根是实数。,一、实对称矩阵的相关结论,定理6.4,定理的意义 由于实对称矩阵A的特征值 是实数,所以实系数齐次线性方程组 必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.,证明,于是有,两式相减，得,定理6.5,证明,于是,设A是n阶实对称矩阵，,从而对应特征根,恰有r个线性无关的特征向量。,定理6.6,为对角元素的对角矩阵。,设A是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,定理6.7,证明:设A的互不相等的特征根为,它们的重数依次为,这样的特征向量共可得n个。,按定理6.5
2、知对应于不同特征根的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交。,则对应特征根,线性无关的实,于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,其中对角矩阵,的对角元素,特征向量，把它们正交化并单位化,即得 个单位正交的特征向量.,1)求A 的特征值.,其中,设,二 正交矩阵P化对称阵A为对角阵,3)对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交,化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化,得标准正交基.,则P是一个n 阶正交阵,且,解 由,于是得正交阵,的基础解系为,标准正交化得：,可以验知仍有,例 已知三阶矩阵A的特征值,求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵。,解 因为三阶矩阵A有三个不
3、同的特征值，所以,由定理3,所以B的特征值为-4，-6，-12,从而所求与B相似的对角矩阵为：,1.对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化,小 结,练习,对实对称矩阵，求出正交矩阵 使 为对角阵.,解,第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,如何把一个实对称矩阵标准正交化？,
