线性电阻电路的分析方法和电路定理.pptx

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1、清华大学电路原理教学组,问题的提出,3.1 支路电流法,3.3 回路电流法,第3章 线性电阻电路的分析方法和电路定理,3.2 节点电压法,清华大学电路原理教学组,3.4 叠加定理,3.5 替代定理,3.6 戴维南定理和诺顿定理,3.7 特勒根定理,3.8 互易定理,3.9 对偶原理,清华大学电路原理教学组,求图示电路中支路电流i1i6(各支路电压与电流采用关联参考方向)。,问题的提出,可用2b法求解电路。,问题:,方程数多(12个方程),复杂电路难以手工计算,计算机的存储能力与计算能力要求高,有必要寻找减少列写方程数量的方法。,清华大学电路原理教学组,目的:找出求解线性电路的分析方法。,对象:

2、含独立源、受控源的电阻网络。,应用:主要用于复杂的线性电路的求解。,基础,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.1 支路电流法(Branch Current Method),举例说明,支路数 b=6,节点数 n=4,(1)取支路电流 i1 i6为独立变 量,并在图中标定各支路电流参考方向;支路电压u1 u6的参考方向 与电流的方向一致(图中未标出)。,支路电流法:以各支路电流为未知量列写电路方程 分析电路的方法。,清华大学电路原理教学组,(2)根据KCL列各节点电流方程,节点 1 i1+i2 i6=0,出为正 进为负,节点 2 i2+i3+i4=0,节点 3 i4 i5+i6=0,节点4 i1

3、 i3+i5=0,节点 1 i1+i2 i6=0,节点 2 i2+i3+i4=0,节点 3 i4 i5+i6=0,可以证明:对有n个节点 的电路,独立的KCL方程只 有n-1个。,节点4设为参考节点,清华大学电路原理教学组,(3)选定b-n+1个独立回路,根据KVL列写回路电压方程。,回路1 u1+u2+u3=0,回路3 u1+u5+u6=0,回路2 u3+u4 u5=0,将各支路电压、电流关系代入 方程(2),清华大学电路原理教学组,联立求解,求出各支路电流,进一步求出各支路电压。,图示电路用支路电流法求解所列写的方程:,清华大学电路原理教学组,独立节点:与独立方程对应的节点,有n-1个。,

4、独立回路:与独立方程对应的回路。,平面电路:可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,规 律,KCL:(n 1)个独立方程。,KVL:(b-n 1)个独立方程。,好找!,如何找?,清华大学电路原理教学组,如何选择独立回路,平面电路可选网孔作为独立回路。,一般情况(适合平面和非平面电路)。,每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。,非平面电路:在平面上无论将电路怎样画,总有支路相互交叉。,清华大学电路原理教学组,支路法的一般步骤:,(1)标定各支路电流(电压)的参考方向;,(2)选定(n1)个独立节点,列写KCL方程;,(3)选定b(n1)个独立回路,列写KVL方程;,(4)求解上述方程,得到

5、b个支路电流。,清华大学电路原理教学组,如何减少方程的数量?,支路电流法需要(b-n+1)个KVL方程,(n-1)个KCL方程。,如果能确定(n1)个独立节点的电压,就可以确定电路中所有支路的电压、电流。,以(n1)个独立节点的电压为变量列写方程,方程个数?,方程形式?,n1,KCL,选择参考节点,设所有其它节点的电压为未知变量。,清华大学电路原理教学组,由于电位的单值性,节点电压自动满足KVL方程。,(UA-UB)+UB-UA=0,UA-UB,UA,UB,任意选择参考点,节点电压就是节点与参考点的电压(降),也即是节点电位,方向为(独立)节点指向参考节点。,以节点电压为变量的 KVL自动满足

6、,只需列写以节点电压为变量的KCL方程。,返回目录,清华大学电路原理教学组,节点电压法:以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。,3.2 节点电压法(Node Voltage Method),举例说明,(2)列KCL方程,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1)选定参考节点,标明其余n-1个独立节点 的电压。,(1),清华大学电路原理教学组,将支路电流用节点电压表出,将支路电流表达式代入(1)式,清华大学电路原理教学组,整理,得,(3)求解上述方程得节点电压。,(2),式(2)简记为,G11un1+G12un

7、2=isn1,G21un1+G22un2=isn2,清华大学电路原理教学组,G11=G1+G2+G3+G4 节点1的自电导,等于接在节点1上所 有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导,等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导,等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和,并冠以负号。,令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5,清华大学电路原理教学组,iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,*电流源电流流入节点取正号,流出取负号。,清

8、华大学电路原理教学组,将上述结论 推广到有n-1个独立节点的仅含电阻、电流源的电路,其中,Gii 自电导,等于接在节点i上所有支路的电导之 和,总为正。,*当电路含受控源时,系数矩阵一般不再为对称阵。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和。,Gij=Gji 互电导,等于接在节点i与节点j之间的所支 路的电导之和,并冠以负号。,清华大学电路原理教学组,节点法的一般步骤:,(1)选定参考节点,标定n-1个独立节点;,(2)对n-1个独立节点,以节点电压为未知量,列写其KCL方程;,(3)求解上述方程,得到n-1个节点电压;,(4)求各支路电流。,清华大学电路原理教学组,可 将该支路进行电源

9、等效变换后,再列方程。,记Gk=1/Rk,得,特殊情况1:电路中含 电压源与电阻串联的支 路,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,I1=(120-UA)/20=4.91mA,I2=(UA-UB)/10=4.36mA,I3=(UB+240)/40=5.46mA,I4=UA/40=0.546mA,各支路电流:,解,I5=UB/20=-1.09mA,清华大学电路原理教学组,例 列写图示电路的节点电压方程。,方法1:先假设电压源支路的电流为I,列方程如下:,(G1+G2)U1-G1U2+I=0,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3-I=0,U1

10、-U3=US,再增加一个节点电压与电压源间的关系:,特殊情况2:两个独立节点之间连接有理想电压源,清华大学电路原理教学组,方法2:选择合适的参考点(如图所示),U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,清华大学电路原理教学组,(1)先把受控源当作独立源看待,列方程:,例 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,解,特殊情况3:电路中含有受控电流源,清华大学电路原理教学组,(2)用节点电压表示控制量。,uR2=un1,思考:当电路中含有受控电压源时该如何列 写节点电压方程?,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.3 回路电

11、流法(Loop Current Method),基本思想:,以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方程。若回路电流已求得,则各支路电流可用回路电流线性组合表 示。,回路电流是在独立回路中闭合的,对每个相关节点均流 进一次,流出一次,所以KCL自动满足。若以回路电流为未 知量列方程来求解电路,只需对独立回路列写KVL方程。,选图示的两个独立回路,设回路电流分别为il1、il2。,支路电流可由回路电流表出 i1=il1 i2=il2-il1 i3=il2,清华大学电路原理教学组,回路1 R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2 R2(il2-il1)+R3 il2-uS2

12、=0,整理得,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,回路法的一般步骤:,(1)选定l=b-n+1个独立回 路,标明各回路电流及方向。,(2)对l个独立回路,以 回路电流为未知量,列写KVL 方程;,(3)解上述方程,求出各回路电流,进一步求各支路电压、电流。,清华大学电路原理教学组,自电阻 总为正,令R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,令R12=R21=R2 回路1、2间互电阻。是回路1、回路2之间公共支路的电阻。,当两个回路电流流过公共支路方向

13、 相同时,互电阻取正号;否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和。,ul2=uS2 回路2中所有电压源电压升的代数和。,当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时,取正号;反之取负号。,清华大学电路原理教学组,推广到有 l 个回路仅含电阻、独立电压源的电路,其中,Rjk:第j个回路和 第k个回路的 互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,R11il1+R12il2+R1l ill=uSl1,R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2,Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSll,Rkk:第k个回路

14、的自电阻(为正),k=1,2,l,uSlk:第k个回路中所有电压源电压升的代数和。,清华大学电路原理教学组,回路法的一般步骤:,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路,标明回路电流及方向;,(2)对l个独立回路,以回路电流为未知量,列写 其KVL方程;,(3)求解上述方程,得到l个回路电流;,(4)求各支路电流(用回路电流表示);,对平面电路(planar circuit),若以网孔为独立回 路,此时回路电流也称为网孔电流,对应的分析方法称 为网孔电流法。,网孔电流法(mesh current method),清华大学电路原理教学组,例,用回路法求各支路电流。,解,(1)设独立回路电流(顺时针

15、),(2)列 KVL 方程,(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2,-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic=US2,-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4,对称阵,且 互电阻为负,(3)求解回路电流方程,得 Ia,Ib,Ic,(4)求各支路电流:I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic,清华大学电路原理教学组,方法1:,(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui,-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2,-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui,IS=I1-I3,例 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,*引入电流源的端电压变量Ui列

16、回路的KVL方程,*增加回路电流和电流源电流的关系方程,特殊情况1:电路中含有独立电流源支路,清华大学电路原理教学组,方法2:选取独立回路时,使理想电流源支路仅仅 属于一个回路,则该回路电流即为 IS。,I1=IS,-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2,R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1,(1)将VCVS看作独立源建立方程;,(2)找出控制量和回路电流关系。,4Ia-3Ib=2,-3Ia+6Ib-Ic=-3U2,-Ib+3Ic=3U2,设回路电流Ia、Ib和 IC,参考方向如图所示。,特殊情况2:电路中含有受控电压源,清华大学电路原理教学组,将代入,得,各

17、支路电流为:,I1=Ia=1.19A,*由于含受控源,方程的系数矩阵一般不对称。,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=-0.52A,思考:当电路中含有受控电流源时该如何列 写回路电流方程?,清华大学电路原理教学组,支路法、回路法、节点法的比较,(2)对于非平面电路,选独立回路不容易,选独立节点较容易。,(3)回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网络,集成电路设计等)采用节点法较多。,(1)方程数的比较,返回目录,清华大学电路原理教学组,叠加定理:,在线性电路中,任一支路电流(或电压)都是电路 中各个独立电源单独作用时,在该

18、支路产生的电流(或 电压)的代数和。,3.4 叠加定理(Superposition Theorem),单独作用:一个电源作用,其余电源不作用,清华大学电路原理教学组,举例证明定理,uS1单独作用,uS2单独作用,uS3单独作用,清华大学电路原理教学组,R11ia+R12ib=uS11R21ia+R22ib=uS22,由回路法,R11ia1+R12ib1=uS1R21ia1+R22ib1=0,R11ia2+R12ib2=-uS2R21ia2+R22ib2=uS2,R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-uS3,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,推广到有 l 个回

19、路的电路,第 j 个回路的回路电流,清华大学电路原理教学组,同样可以证明:线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源(电压源、电流源)在此支路产生的电压的代数和。,把 uSi 的系数合并为Gji,支路电流是回路电流的线性组合,支路电流满足叠加定理。,清华大学电路原理教学组,例1 用叠加定理求图中电压u。,解,(1)10V电压源单独作用,4A电流源开路,u=4V,(2)4A电流源单独作用,10V电压源短路,u=-42.4=-9.6V,共同作用:u=u+u=4+(-9.6)=-5.6V,清华大学电路原理教学组,(1)10V电压源单独作用:,(2)4A电流源单独作用:,解,US=-10 I1+U1,US

20、=-10I1+U1,清华大学电路原理教学组,US=-10 I1+U1=-10 I1+4I1=-101+41=-6V,US=-10I1+U1=-10(-1.6)+9.6=25.6V,共同作用:,US=US+US=-6+25.6=19.6V,清华大学电路原理教学组,1.叠加定理只适用于线性电路求电压和电流;不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。不适用于非线性电路。,2.应用时电路的结构参数必须前后一致。,应用叠加定理时注意以下几点:,5.叠加时注意参考方向下求代数和。,3.不作用的电压源短路;不作用的电流源开路。,4.含受控源(线性)电路亦可用叠加,受控源应始终保留。,清华大学电路原理教学

21、组,齐性原理(homogeneity property),当电路中只有一个激励(独立源)时,则响应(电压或电流)与激励成正比。,清华大学电路原理教学组,解,设 IL=1A,法二:分压、分流。,法三:电源变换。,法四:用齐性原理(单位电流法),U,K=US/U,UL=K RL,IL=K A,法一:节点法、回路法。,可加性(additivity property),线性电路中,所有激励都增大(或减小)同样的倍数,则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。,线性,例4,例5,例6,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.5 替代定理(Substitution Theorem),任意一个线性电路,其中第k

22、条支路的电压已知为uk(电流为ik),那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源(电流等于ik的独立电流源)来替代该支路,替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。,替代定理,清华大学电路原理教学组,证明:,AC等电位,清华大学电路原理教学组,例 已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流I的1/6,求此电阻值。,方法一:,RL=9,清华大学电路原理教学组,替代,方法二:,叠加,+,清华大学电路原理教学组,注意:,3.未被替代支路的相互连接及参数不能改变。,1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。,2)被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。,1)原电路和替代后的电路必须有唯一解

23、。,2.替代定理的应用必须满足的条件:,返回目录,清华大学电路原理教学组,1.几个名词,(1)端口(port),端口指电路引出的一对端钮,其中 从一个端钮(如a)流入的电流一定等 于从另一端钮(如b)流出的电流。,(2)一端口网络(network),网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。,3.6 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),清华大学电路原理教学组,2.戴维南定理,任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口,对外电路来说,可以用一个电压源(Uoc)和电阻Ri的串联组合来等效替代;此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压,而电阻等于

24、一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。,证明:,(对a),利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时u、i值不变。计算 u 值。(用叠加定理),=,+,根据叠加定理,可得,电流源i为零,网络A中独立源全部置零,u=Uoc(外电路开路时a、b间开路电压),u=-Ri i,则,u=u+u=Uoc-Ri i,此关系式恰与图(b)电路相同。,清华大学电路原理教学组,小结:,(1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时 的开路电压Uoc,电压源方向与所求开路电压方向相同。,(2)串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零(电压 源短路,电流源开路)后,所得一端口网络的等效电阻。,等效电阻的计算方法

25、:,a.当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算;,b.端口加电压求电流法或加电流求电压法(内部独立电 源置零)。,c.等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比(内部 独立电源保留)。,(3)当一端口内部含有受控源时,控制支路与受控源 支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。,清华大学电路原理教学组,解,保留Rx支路,将其余一端口化为戴维南等效电路:,清华大学电路原理教学组,(1)求开路电压,Uoc=U1+U2=-104/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V,(2)求等效电阻Ri,Ri=4/6+6/4=4.8,(3)Rx=1.2时,,I=Uoc/(Ri+Rx)=0.3

26、33A,Rx=5.2时,,I=Uoc/(Ri+Rx)=0.2A,Rx=Ri=4.8时,其上获最大功率。,清华大学电路原理教学组,含受控源电路戴维南定理的应用,电路如图所示,求电压UR。,例2,解,(1)求开路电压Uoc。,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,清华大学电路原理教学组,(2)求等效电阻Ri,方法1 端口加压求流(内部独立电压源短路),U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0=9(2/3)I0=6I0,Ri=U0/I0=6,方法2 开路电压、短路电流,(Uoc=9V),6 I1+3I=9,I=-6I/3=-2I,I=0,Isc=I1=9/6

27、=1.5A,Ri=Uoc/Isc=9/1.5=6,清华大学电路原理教学组,(3)等效电路,下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。,控制量呢?,清华大学电路原理教学组,任何一个含独立电源,线性电阻和线性受控源的一端 口,对外电路来说,可以用一个电流源和电阻(电导)的并联组合来等效置换;电流源的电流等于该一端口的 短路电流,而电阻(电导)等于把该一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻(电导)。,3.诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出,诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。,清华大学电路原理教学组,例,电路如图所示,求电流I。,(1)求端口的短路电流I

28、sc。,I1=12/2=6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A,解,清华大学电路原理教学组,(2)求Ri:电压源短路,用电阻串并联。,Ri=102/(10+2)=1.67,(3)诺顿等效电路:,I=-Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83A,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.7 特勒根定理(Tellegens Theorem),1.具有相同拓扑结构的电路,两个电路,支路数和节点数都相同,而且对应支路 与节点的联接关系也相同。,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,解,清华大学电路原理教学组,2.特勒

29、根定理,注意(1)对应支路取相同的参考方向。(2)各支路电压、电流均取关联的参考方向。,清华大学电路原理教学组,证明:,其中:,若节点接有另一支路m,同理可得:,对节点可得:,对其它节点,有同样的 结果,故:,同理可证:,清华大学电路原理教学组,3.功率守衡定理,在任一瞬间,任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零,即,此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。,将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。,清华大学电路原理教学组,解 由特勒根定理,清华大学电路原理教学组,方框内为同一网络,清华大学电路原理教学组,清华大学电路原理教学组,解,根据特勒根定理,由(1)得:

30、U1=4V,I1=2A,U2=2V,U2/R2=1A,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.8 互易定理(Reciprocity Theorem),第一种形式:,激励(excitation)为电压源,响应(response)为电流。,给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图),设支路 j中有电压源uj,其在支路k中产生的电流为ikj(图a);若支路k中有电压源uk,其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。,清华大学电路原理教学组,当 uk=uj 时,ikj=ijk。,则两个支路中电压电流有如下关系:,清华大学电路原理教学组,设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支路为3b。图(a)与图(

31、b)有相同拓扑特征,(a)中用uk、ik表示支路电 压和电流,(b)中用 支路电压和电流(支路电压/电流均取为关联 方向)。,证明:,由特勒根定理:,清华大学电路原理教学组,即,两式相减,得,清华大学电路原理教学组,将图(a)与图(b)中支路1,2的条件代入,即,即:,当 uk=uj 时,ikj=ijk。,清华大学电路原理教学组,第二种形式:,激励是电流源,响应是电压。,在任一线性电阻网络的一对节点 j 和 j间接入电流源 ij,它在另一对节点 k 和 k产生电压ukj(见图(a);若改在节点 k 和 k 间接入电流源 ik,它在节点 j 和 j 间产生电压 ujk(图(b),则上述电压、电流

32、有如下关系:,当 ik=jj 时,ukj=ujk。,由读者自己证明。,清华大学电路原理教学组,解,利用互易定理,可得下图,I1=I 2/(4+2)=2/3A,I2=I 2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-0.667A,清华大学电路原理教学组,(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下,电源支路和另一支路间电压、电流的关系。,(2)激励为电压源时,响应为电流。激励为电流源时,响应为电压。,(3)电压源激励,互易时原电压源处短路,电压源串 入另一支路;电流源激励,互易时原电流源处开路,电流源并入另 一支路的两个节点间。,(4)互易要注意电压源(电流源)与电流(电压)的方向。,(5)含有受

33、控源的网络,互易定理一般不成立。,应用互易定理时应注意:,返回目录,清华大学电路原理教学组,3.9 对偶原理(Dual Principle),一、对偶电路(dual circuit),网孔电流方程,(R1+R2)il=uS,节点电压方程,(G1+G2)un=iS,若R1=G1,R2=G2,uS=iS,则两方程完全相同,解答 il,un 数值也相同。,清华大学电路原理教学组,例2,网孔方程,节点方程,上述每例中的两个电路称为对偶电路。,将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。,若R1=G1,R2=G2,R3=G3,uS1=iS1,rm=gm,则两 个方程组相同,其解答也相同,即un1

34、=il1,un2=il2。,清华大学电路原理教学组,二、对偶元素(见书),三、对偶原理,只有平面电路才有对偶电路。,四、如何求一个电路的对偶电路,打点法:网孔对应节点(外网孔对应参考节点)。,注意:,两个对偶电路N,如果对电路N有命题(或陈述)S 成 立,则将S中所有元素,分别以其对应的对偶元素替换,所得 命题(或陈述)对电路 成立。,清华大学电路原理教学组,例1,例2,清华大学电路原理教学组,(2)各对偶元素进行替换。数值相同,量纲不同。,注意:,(1)每一网孔对应一节点,外网孔对应参考节点。参考方向:按惯例网孔电流取顺时针方向,节点电压方向由独 立节点指向参考节点。,清华大学电路原理教学组,(3)电源方向(在按惯例选取网孔电流和节点电压 方向的前提下),清华大学电路原理教学组,End,返回目录,

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