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1、,6.1 定积分的几何应用6.2 定积分在经济问题中的应用,第6章 定积分的应用,结束,2.以点x处的函数值为高,以x,x+dx为底的矩形面积做为A的近似值,其中f(x)dx 称为面积微元,记为,于是面积为,1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间a,b,在区间上任取一小区间并记为.,此方法称为微元法或积分元素法.,6.1.1 微元法:,6.1 定积分的几何应用,以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形.,设函数 在区间 上连续,求由曲线 及直线 所围成的图形的面积.,1.直角坐标下平面图形的面积,6.1.2 用定积分求平面图形的面积,(2)以 为被积表达式,在区间 作定积分 就是所求图形的面积.
2、,(1)在区间 上任取小区间,设此小区间上的面积为,它近似于高为,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为,分析,在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。,例1 求由曲线 所围成的图形的面积A。,解 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为0,1,面积微元,所求面积为,面积为,则近似于高为dy,底,同理，设函数 在区间 上连续，,为 的小矩形面积,在区间 上任取小区间,设此小区间上的,求由曲线 及直线 所围成的图形的面积.,于是所求面积为,从而得面积微元为,解 由 解得交点A(2,-1),B(8,2),例2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积.,
3、A(2,-1),B(8,2),取y为积分变量,于是,所求面积为:,且 求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积.,(2)极坐标下平面图形的面积,设曲线的极坐标方程 在 上连续,在区间 上任取一小区间,设此小区间上曲边扇形的面积为,则 近似于半径为,中心,角为 的扇形面积,从而可得面积为,从而得到面积微元为,例3 求心形线 所围成的面积.,解 当 从0变到 时,得 的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即,例4 计算阿基米德螺线 上对应于 从0变到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积.,解 面积微元为,于是,所求面积为,6.1.3 用定积分求旋转体的体积,1.平行截面面积已知的立体体积,设有一立体价于过点 且垂直于 轴的两平面之间,求此立体的体积.,如图,介于 与 之间的薄片的体积近似等于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即体积微元为,A(x),即对截面积A(x)从a到b求积分!,于是所求体积为,2.旋转体体积,设,及y=0所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积.,选取 为积分变量,其变化区间为,过点x做垂直于x 轴的平面,截得旋转体截面是半径为 的圆,其截面积为,从而所求旋转体体积为,例4 计算由椭圆 绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.,解,例5,解,6.2 定积分在经济中的应用,例8,解,
