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1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题,第7课时 正弦定理、余弦定理,1对解斜三角形的考查在高考试题中时常出现，主要考查正弦定理、余弦定理、运用三角公式进行恒等变形及运算能力以化简、求值或判断三角形的形状为主来考查有关的定理的应用、三角恒等变形、运算能力及转化思想2题目类型有判断三角形形状的填空题，求三角形边角关系的解答题，三角形中有关三角变换的解答题，但都以较容易的题目出现,【命题预测】,1利用正弦定理可将边的关系转化为角的关系，应注意互补角的正弦值相等这一特殊关系的应用在ABC中，ABab sin Asin B，但要注意命题成立的前提必须是在三角形中，脱离了三角形这个前提条件，
2、命题是不成立的2判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以，可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系利用正弦定理判定三角形的形状常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式，和差公式)得出角的大小或等量关系3已知三角形三边或三边之比，可用余弦定理求出这个三角形的三个角使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60可知三角形无解,【应试对策】,ABC中的常用结论(1)tan Atan Btan Ctan Atan
3、Btan C；A、B、C成等差数列的充要条件是B60；ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列；abABsin Asin B；,【知识拓展】,在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosAcosB0.简证如下：C有解(AB)有解0cos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判断C是否有解，只需考虑cos Acos B的符号即可,(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin.(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)等边对等角，等
4、角对等边，大边对大角，大角对大边,1正弦定理、余弦定理及相关知识,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下,1(苏州市高三教学调研考试)在ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2(bc)2bc，则A的大小等于_ 解析：根据余弦定理得cos A，A 答案：2(2010东台中学高三诊断)若ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，则C等于_ 答案：60,3在ABC中，如果A60，c4，
5、a2，则此三角形有_个解 解析：A60，c4，a2，由正弦定理得：，即 sin C1.又0C180，C90，B30.因此三角形只有一个解 答案：一,在ABC中，已知acos Abcos B，则ABC的形状为_解析：由已知acos Abcos B得，又由正弦定理，得 所以，整理得：sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.因为A、B为三角形内角，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB，即ABC为等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形,4,5(江苏省高考命题研究专家原创卷)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sin A，s
6、in B，sin C成等比数列，则该三角形的形状是_ 解析：由a，b，c成等差数列得2bac，由sin A，sin B，sin C成等比数列得sin2Bsin Asin C，所以由正弦定理得b2ac.ac，所以abc，所以三角形是等边三角形 答案：等边三角形,这类题型主要是已知三角形中的某些边或角，去求另外的边或角一般地，如果已知两角和一边，求其他两边和一角或者已知两边或其中一边的对角，求另一边的对角问题则考虑用正弦定理；如果已知三边求三角或者已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角问题则考虑用余弦定理考试中这类题型在填空及解答题中均可能出现，试题难度以低、中档题为主,【例1】已知ABC中，
7、sin Asin Bsin C，求最大角思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大，然后运用余弦定理求解解：由正弦定理，知 2R，abc 不妨设a 1，b 1，c，由在三角形中大边对大角知，C最大由余弦定理，知cos C，C120.,变式1：已知ABC中，abc2 1)，求ABC中的各角的大小解：设a2k，b k，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cos AA45.同理可得cos B，B60.C180(AB)75.,这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断【例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Bl
8、g，且B为锐角，试判断此三角形的形状思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可,解：由lg alg clg sin Blg，得sin B，又B为锐角，B45.同时，.sin C2sin A2sin(135C)，即sin Csin Ccos C，cos C0，所以C90.故此三角形为等腰直角三角形,变式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形状是_解析：由sin C2sin(BC)cos B，得sin C2sin Acos B.再结合正、余弦定理得：整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B，可得sin(AB)2sin Aco
9、s B，sin(AB)0，从而AB.答案：等腰三角形,1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化2三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题,【例3】在ABC中，证明：思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边证明：左边 右边故原命题得证,【例4】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长已知a、b、c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值思路点拨：把已知条件a
10、2c2acbc变形，构造余弦定理结构求出A的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值,解：(1)a、b、c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cos A，A60.(2)在ABC中，由正弦定理sin B，b2ac，A60，,变式3：(2010北京海淀区高考模拟题)在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB，求证：ABC是直角三角形,证明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2si
11、n Acos B.由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B.又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb，2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即sin 2Asin 2B.AB，2A2B，AB.ABC是直角三角形,变式4：在ABC中，A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tan B的值解：b2c2bca2，b2c2a2bc.由余弦定理得cosA又A为三角形一内角，A.在ABC中，C(AB)B B.,由已知条件及正弦定理得 tan B.,【规律方法总结】,1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化
12、边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换2用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用,【高考真题】,【例5】(2009天津卷)在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin 的值分析：根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出A的余弦，根据倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式求sin 的值,规范解答：(1)在ABC中，根据正弦定理，于是AB BC2BC
13、2.(2)在ABC中，根据余弦定理，得cos A于是sin A 从而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2Asin2A.所以,本题没有按照常规出题方式给出三角形中角的大小，而是给出了两个角的正弦之间的关系，根据正弦定理的特点就可以通过约分的方式将其约掉，达到解决问题的目的，试题设计颇有新意,【命题探究】,【全解密】,三角恒等变换中经常用到的角度变换，如：()()，2()()()()，等，通过这些角的变换实现利用已知条件达到整体求解的目的,【知识链接】,一般地，已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，可以根据正弦定理的变式abcsin Asin Bsin C，在知道
14、了两个角的正弦比值时也可以使用正弦定理求解三角形，本题就是这种情况；当已知三角形三边时可以根据余弦定理求出任意一个角的余弦值,【方法探究】,正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理时不一定要知道其中的三个量才能求第四个量，只要知道了其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题中要注意这个技巧的使用，不要一味地寻找使用正弦定理的具体条件.,【技巧点拨】,1在ABC中，a，b，B45，解此三角形 分析：根据已知条件，此题是已知两边和一边的对角的题目，要根据条件先求出A，然后根据A的值讨论解的情况,解：由，得sin Aab，AB45，A为锐角或钝角，A60或A120.当A60时，C1806
15、04575，c当A120时，C1801204515，c,2已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断ABC的形状 分析：要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断 解：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系，得x1x2bcos A，x1x2acos B，由题意，得bcos Aacos B，由正弦定理，得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，即sin Bcos Asin Acos B0，即sin(AB)0，在ABC中，A，B为其内角，AB，AB0，ABC为等腰三角形,
