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1、1.6 三角函数模型的简单应用,1.知识目标：通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型2.能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力,3.情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.,在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就
2、是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.,正弦型函数,1、物理情景简谐运动星体的环绕运动2、地理情景 气温变化规律月圆与月缺3、心理、生理现象 情绪的波动智力变化状况体力变化状况4、日常生活现象 涨潮与退潮股票变化,根据图象建立三角函数关系：,例1 如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数:,思考1：这一天614时的最大温差是多少？,思考2：函数式中A、b的值分别是多少？,30-10=20,A=10,b=20.,思考3：如何确定函数式中 和 的值?,思考4：这段曲线对应的函数是什么？,思考5：这一天12时的温度
3、大概是多少（）？,27.07.,一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.,方法小结：,练习1：,函数的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.,A,根据解析式模型建立图象模型,例2 画出函数y|sinx|的图象并观察其周期.,解：函数图象如图所示,从图中可以看出，函数 是以为周期的波浪形曲线.,由于,所以，函数 是以为周期的函数.,我们也可以这样进行验证：,利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.,作业,课本P65 A组1.（1）（2）（3）2
4、.（1）（2）（4）,例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90|.当地夏半年取正值，冬半年取负值.,将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型,如图，设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为，此时太阳直射纬度为，那么这三个量之间的关系是。当地夏半年取正值，冬半年取负值。,太阳光,地心,北半球,南半球,太阳高度角的定义,太阳光,地心,太阳光直射南半球,分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知,如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的
5、太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？,解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-2326，依题意两楼的间距应不小于MC.,根据太阳高度角的定义，有C=90-|40-(-2326)|=2634,所以，,即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.,将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:,例4 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后
6、，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：,（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？,根据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：,解：（1）以时间为横坐标，水深
7、为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.,A=2.5,h=5,T=12,=0;,由，得,所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：,由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：,（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5（米），所以当y5.5时就可以进港.令化简得,由计算器计算可得,解得,因为，所以由函数周期性易得,因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.,（3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6
8、7时之间两个函数图象有一个交点.,通过计算可得，在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.,1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.,2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.,不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人。吴玉章,
