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1、1、拉格朗日方法,x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t),在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：,式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标,a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律,t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布,拉格朗日变量,第三章流体运动学和动力学基础,3.1研究流体运动的方法,当地法,描述方法,随体法,以流体质点为研究对象 追踪法,2、欧拉法,流体质点的三个速度分量、压强、密度、温度可表示为：u=u(x，y，z，t)v=v(x，y，z，t)w=w(x，y，z，t),求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速
2、度和加速度为：,以流场中固定点(或体积)的流体为研究对象,x，y，z不变而改变时间t,固定点的速度随时间的变化,参数t不变，而改变x，y，z,某一时刻，空间各点的速度分布,速度和加速度分别为：,拉格朗日法 欧拉法,分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数,表达式复杂 表达式简单,不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布,不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性,拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法,系统、控制体,3.2流动的分类,1.流动维数：,三维流动:速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v(x,y,z,t),二维流动:速度场简化为二个空
3、间坐标的函数 v=v(x,y,t)或 v=v(r,z,t),一维流动:速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v(x)或 v=v(s),B2 流动分析基础,a.定常流动,b.准定常流动,c.周期性谐波脉动流,d.周期性非谐波脉动流（生理波）,e.非周期性脉动流(衰减波）,f.随机流动（湍流）,不定常流与定常流的转换,3 粘性与非粘性流动,1、定义,拉格朗日法,流体质点的运动轨迹,迹线：,2、迹线的确定（迹线方程）,由拉格朗日方程给出：,x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t),由欧拉方程给出：,直接消去时间即可,积分消去时间,2、流线的确定（流线方程）,由流线定义
4、，任一点速度方向与流线相切,vx dz-vz dx=0vx dy-vy dx=0vz dy-vy dz=0,流线：,欧拉法,切线与速度方向一致的假想曲线,流线的重要性质：,1、对于定常流动，流线与迹线重合；,2、通常情况流线不能转折或相交。,3、流速为0或无穷大点流线可以转折或相交。,【例3-1】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线方程。,解】由于w=0，所以是二维流动，将两个分速度代入流线微分方程，得到,xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。,方向,例不定常流场的迹线与流线,求：（1）质点A的迹线方程；,解：,已
5、知：设速度场为 u=t+1,v=1，t=0时刻流体质点A位于原点。,（2）t=0时刻过原点的流线方程；,t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A迹线方程为,消去参数t 可得,上式表明质点A的迹线是一条以（-1/2，-1）为顶点，且通过原点的抛物线。,在t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得c=0，相应的流线方程为,这是过原点的，一三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。,流管,流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。,流量 有效截面 平均流速,当量直径：按水力半径相等的原则将非圆截面折合成圆形对应的直径。,湿周：流
6、体与固壁接触周长,水力半径R：截面积与湿周之比RA,对于圆形Ad24，R=（d24）（d）d4,d4R,3.4 流管 流束 流量 当量直径,长方形管道,圆环形管道,管束,流动过程物理量的变化：,随流导数 D()/Dt,流体质点所具有的物理量随时间变化率.N表示质点具有的物理量,1、随流导数的表达式,哈密顿算子,3.5 系统 控制体 雷诺输运公式,系统 控制体,2、物理意义,:给定点上N随时间变化率，局部导数或当地导数,:空间分布不均匀性，对流导数或迁移导数,3、流体质点的运动加速度,:速度的随流导数,代入加速度方程,3.5 系统 控制体 雷诺输运公式,一、定理的推导,任取体积v，表面积A为控制
7、体，取t瞬时控制体内流体为体系，N表示与体系有关的随流物理量，表示单位体积流体具有的物理量。,N的时间变化率：,t0时，上式第一项为控制体内物理量的时间变化率,第二项表示N进入区域的数量，等于从控制面流出的量,第三项单位时间流入控制体的流体带进的N的数量,雷诺输运定理,流体系统某物理量时间变化率等于控制体内物理量的时间变化率与经过控制面物理量的净通量之和,3.6 积分形式的连续性方程,上式表明：通过控制面净流出率等于控制体内流体质量 随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数，如密度分布、动量分布、能量分布等。,令，由系统的质量不变可得连续性方程,一、积分形式的连续性方程,几种特殊情况连续方
8、程,2、不可压定常流动,1、可压定常流,3、一维定常流,二、微分形式连续方程,单位时间沿x方向净流出量：,单位时间沿y方向净流出量：,单位时间沿z方向净流出量：,单位时间从控制体表面净流出量：,单位时间控制体质量减少量：,质量守恒原理：,化简后：,微分形式连续方程,展开后：,密度的随流导数,速度散度,讨论：,1）不可压流,2）可压定常流,【例3-2】假设为一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：u=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否存在？,3.7 动量方程,一、积分形式动量方程,体系所具有的动量的时间变化率等于作用于该体系的合外力,(1)其中,控制体动量变化,
9、穿过控制面动量变化,分解成三个坐标分量,流体力学中经常求流体对物体的作用力,1、A2双层面，积分相互抵消,2、A1面积分结果为物体 对流体作用力，等于,3、A面积分结果为,对应标量方程：,1、从理想流体得出，但可用于粘性流体,2、质量力一般指重力，气体可忽略,3、应用于定常流,4、控制面封闭，速度压强分布已知,5、控制面外法向方向为正,最常用的基本方程之一,求解关键,1、恰当选择控制体,2、建立坐标系,3、受力分析,例33 某飞行器模型在风洞中进行吹风试验,风洞直径1m，截面1速度均匀，V140m/s，压强1.1105Pa，截面2速度与半径成线性分布压强1.05105Pa，不计风洞阻力，求（1
10、）截面2处最大速度Vm；（2）模型所受阻力？,在一维定常流中，作用于控制体的合力等于从控制面流入流出动量的差,作用在控制体上的外力,1、表面力,P1A1,P2A2,指向作用面,法向与切向合力,2、质量力,一维定常流,例 已知矩形平板闸下出流B=6m,H=5m,hc=1m,Q=30m3/s不计水头损失,求:水流对闸门推力,代入数据,得,水流对闸门的作用力,利用牛顿第三定律,有,方向向右,例:有一水平喷嘴，如图所示，D1=200mm和D2=100mm，喷嘴进口水的绝对压强为345kPa，出口为大气压103.4kPa，出口水速为22m/s。求固定喷嘴法兰螺栓上所受的力为多少？假定为不可压缩定常流动，
11、忽略摩擦损失。,二、微分形式的动量方程,取质量为xyz，由牛顿第二定律：,表面力：,X方向,y方向,z方向,表面力合力为：,质量力：,微团合力为：,代入（1）式即为微分形式动量方程,单位质量流体惯性力与该流体压强力和质量力平衡,直角坐标系分量形式,3.8 欧拉运动微分方程的积分(伯努利方程),定常流沿流线积分,将各式分别乘以dx，dy，dz,由流线方程Vxdy=Vydx，Vzdy=Vydz，Vxdz=Vzdx,dVx,相加,dU,dp,沿流线积分（引用了流线方程）,伯努利常数，沿同一流线相等,3.9 动量矩方程,体系对某轴的动量矩的时间变化率等于作用在该体系上所有外力对同一轴的力矩和,利用输运
12、定理：,作用于控制体内流体所有外力矩之和等于控制体内流体所具有的动量矩的时间变化率加上通过控制面的动量矩通量,1、对于定常流：,2、对于叶轮机械（无限多叶片）,作用于控制体上外力对某轴的力矩总和,等于单位时间从控制面流出与流入的流体对该轴的动量矩之差,单位重量流体能量,在没有外力矩作用下动量矩方程：,流体靠本身惯性运动,气体称压头，液体称扬程,49,求：(1)输入轴矩Ts,例B4.5.1 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程,已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100 mm，b=10 mm,n=4000转/分，=3 m/s。,(2)输入轴功率,设流动是定常的，由连续性方程可得,例B
13、4.5.1 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程,V1=0,由欧拉涡轮机方程,输入功率为,叶轮旋转角速度为,=2n/60=24000/60=418.88(1/s),出口切向速度为,V2=R 2=d 2/2=418.880.1/2=20.94(m/s),已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,=30,Q=1200 ml/s，不计阻力。,求：(1)Ts=0时，旋转角速度(1/s）；,例B4.5.2 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程,(2)n=400转/分的轴矩Ts 和轴功率,对圆心取动量矩，当地变化率为零,不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出口的定常流
14、动处理。,设喷口流体的绝对速度为V，牵连速度为U 及相对速度为Vr,(1)设Ts0,V1=0,由多出口动量矩方程:,例B4.5.2 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程,(2)当n=400转/分时,例B4.5.2 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程,=4002/60=41.89(1/s),=0.15(41.890.15-15cos30)1.2=-1.21(N m),B4.6 能量方程,单位时间外界传给体系的热量，等于体系所贮存的总能量增加率加上体系对外界作功,3.8 能量方程,为外界输入控制体的传热率；,为控制体内流体对外所做功率,体系总能量变化率,一、积分形式能量方程,则,控制体内流体能量
15、的时间变化率与经过控制面的能量净通量之和等于作用于控制体内流体上的质量力和表面力所作功率及外界换热率之和,积分形式能量方程,1）、重力作用下绝能管流方程：,单位体积流体质量力做功：gz,表面力做功：只有管路进出口,定常管流,气体一维定常管流,求：(1)有用功的增量w；,解：能量方程适用于整个风道,例B4.6.2 轴流式风扇的效率,(2)能头损失。,已知:图为一轴流式风扇,d2=1m,V2=10m/s；为大气压强，0.65 kw，空气密度=1.23 kg/m3,(3)风扇效率。,由于z1=z2,p1=p2=patm,V1=0,质流量,能头损失为,例B4.6.2 轴流式风扇的效率,风扇效率为,3-
16、9 伯努利方程及应用,将微分形式动量方程沿流管积分,一、不可压流的伯努利方程,一维定常绝能流动能量方程 伯努力方程,1、物理意义,第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；,第二项p/(g)表示单位重量流体压强势能；,第三项V2/(2g)为单位重量流体具有的动能。,机械能,2、几何意义,第一项z表示单位重量流体的位置水头,第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头,第三项V2/(2g)速度水头,总水头,流动在同一水平面：,静压,动压,总压,二、可压流的伯努利方程,对于气体，重力可忽略,对于等熵过程,完全气体,三、推广的伯努利方程,Ws：流体做功，对外界作功为正，对流体 作功为负Wf：摩檫功,四、
17、伯努利方程的应用,理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算。,一、皮托管,皮托管测速原理,由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速,流速修正系数，一般由实验确定，=0.97,如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上,考虑到实际情况,在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管,二、文特里(Venturi)流量计,文特里流量计用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成,以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面，列截面1
18、-1，2-2的伯努利方程,由一维流动连续性方程:,若液，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度：,考虑到实际情况,Cd为流量系数，通过实验测定,例1 已知无穷远 V=1.2m/s,p=0 求:驻点处的压强ps,解:,故 ps=0.073 m水柱,【例2】有一贮水装置如所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。,3、水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6104Pa，管中流量
19、qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，转角=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小,沿x轴方向：,沿y轴方向:,管壁对水的反作用力：,【例4】水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。,【解】首先计算1-1断面管路中心的压强,列1-1和2-2断面的伯努利方程,由连续性方程：,管中流量,例5 p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不计水头损失求:水流作用于弯管上的力,列X方向动量方程,列Y方向
20、动量方程,代入有关数据得 Rx=-2.328(kN)Ry=1.303(kN)利用牛顿第三定律,可得到水流对管壁的作用力,并可求得合力及合力与X方向的夹角,例6:有一水平喷嘴，如图所示，D1=200mm和D2=100mm，喷嘴进口出口水速为22m/s。求固定喷嘴法兰螺栓上所受的力为多少？假定为不可压缩定常流动，忽略摩擦损失。,例7：已知:V0 A0 求：叶片对流体的作用力,例8 一轴流风机，已知V1=50m/s，R=30cm。求作用在整台风机上的力；作用在叶轮上的力。,解（1）以进出口为控制面12,（2）以包围叶轮为控制面3-4,1-3面伯努利方程,2-4面伯努利方程,例9 已知:设固定的收缩管
21、的前半部向下弯曲,偏转角,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，,求：(1)水流对喷管的作用力F 的表达式,(2)若=30,求水流对喷管的作用力,4.由伯努利方程,因p3=0,p0=395332.85pa,5.由一维定常流动动量方程,设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力F 和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x轴正向；出口截面压强为零：,(1)F的表达式为,(2)设=30,F在x,y 方向的分量式为,1、p1=98kpa，V1=4m/s，d1=200mm，d2=100mm，a=450 不计水头损失。求:水流作用于弯管上的力。,2、有一水平喷嘴，如图所示，D1=200mm和D2=100mm，喷嘴进口出口水速为22m/s。求固定喷嘴法兰螺栓上所受的力为多少？假定为不可压缩定常流动，忽略摩擦损失。,
