《逻辑代数及逻辑函数的.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逻辑代数及逻辑函数的.ppt（71页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简,本章作业：,2.1（3）（4）（7）（8）、2.2（3）、2.3（2）2.6（5）（6）（7）（8）、2.8、2.11（2）（4）（5）2.12（1）（2）、2.13（3）（5）、2.14（2）（3）2.16（1）,21 逻辑代数的基本原理,逻辑代数中的变量与普通代数中的变量一样，也是以A、B、C等字母来表示，但这些变量只能取值为0或1，这里的0或1不表示变量的大小，而表示两种对立的关系，如低电平、高电平；无信号、有信号；开关的断、通；灯的熄、亮等。逻辑代数表达的是电路输入与输出间的逻辑关系，而不是数量关系。,Ff(A，B，C),其中：A、B、C.为输入逻辑变
2、量，取值是0或l；F为输出逻辑变量，取值是0或l；F称为A、B、C.的输出逻辑函数。,一、逻辑代数的基本运算,1、“与”运算,真值表,0,0,逻辑函数式,逻辑符号,2、“或”运算,逻辑函数式,逻辑符号,3、“非”运算,逻辑函数式,逻辑符号,A,B,F=AB,F=A+B,二、复合逻辑关系,1、“与非”,“与非”表达式,2、“或非”,“或非”表达式,3、“与或非”,4、“异或”,=AB,5、“同或”,关于门电路符号的说明,先“或”后“非”和先“非”后“与”等价,先“与”后“非”和先“非”后“或”等价,三、逻辑代数的基本公式、规则,1、基本公式,吸收律,1 1,1 1,1 1,0 0,证：由分配律,
3、=A+B,摩根定律的应用,、求反函数,、将“与或”表达式 化为“与非”表达式,包含律,2、三个规则,1）代入规则：,用A=CD代替A,等式仍成立,2)反演规则：,F:,若：“”“+”,“+”“”,“0”“1”,“1”“0”原变量反变量，反变量原变量,【例如】,3)对偶规则：,若：“”“+”,“+”“”,“0”“1”,“1”“0”,F:,则：FF,F与F互为对偶函数,如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。,1A=A,0+A=A,函数对偶式的对偶式为函数本身。,=,3、“异或”性质,AA=0,A0=A,AB=BA,A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)(AC),“异或”门电路的用处,(1
4、)可控的数码原/反码输出器,(2)作数码同比较器,(3)求两数码的算术和,A0=A,22 逻辑函数的化简,一、公式法化简逻辑函数,1、“与或”表达式的化简,最简与或表达式：,1、乘积项的个数最少(用门电路实现，用 的与门数最少)。,2、在满足1的条件下，乘积项中的变量最少(与门的输入端最少)。,省器件：用最少的门，门的输入也最少,【例1】,展开：,合并：,互补律：,互补律：,【例2】,反演律,吸收律,【例3】,包含、吸收律,包含、吸收律,包含律,=CD+B,【例4】,或,可见：最简式不唯一,2、“或与”表达式的化简,最简条件：,(1)、或项个数最少(或门用的最少),(2)、在满足1的条件下，或
5、项中变量数最少,化简方法：,1、利用对偶规则，将“或与”表达式转换为“与或”表达式。,2、实际化简“与或”表达式。,3、利用对偶规则将“与或”最简表达式转换 为“或与”最简表达式。,【例】,对偶规则,=AB+C,则：,F=(A+B)C,二、图解法化简逻辑函数,1、最小项与最大项,最小项,【例】n=3，对A、B、C，有8个最小项,乘积项,包含全部变量,以原变量或反变量的形式只出现一次,最小项的性质,1)最小项为“1”的取值唯一。,2)任意两个最小项之积为“0”。,3)全部最小项之和为“1”。,最小项表达式,全部由最小项构成的“与或”表达式为最小项表达式(标准“与或”表达式)。,【例1】,=m4+
6、m5+m7,=m3(4，5，7),三人表决电路,【例2】,=m3+m5+m6+m7,=m3(3，5，6，7),最大项,或项,包含全部变量,以原变量或反变量的形式只出现一次,【例】n=3，对A、B、C，有8个最大项,最大项表达式,=M0M1M2M4,=M3(0，1，2，4),最大项的性质,1)最大项为“0”的取值唯一。,2)任意两个最大项之和为“1”。,3)全部最大项之积为“0”。,最小项和最大项的关系,1、相同i的最小项和最大项互补。,2、mi和Mi互为对偶式。,F=m3(3，5，6，7),F=M3(0，1，2，4),2、卡诺图,卡诺图的构成,(1)、由矩形或正方形组成的图形,(2)、将矩形分
7、成若干小方块，每个小方块对应一 个最小项,2变量卡诺图,一个整体可由代表4个最小项的四个小方格组成：,AB,3变量卡诺图,一个整体分成8个小方格,m1,m0,m3,m2,m5,m4,m7,m6,注意：,上表头编码按00011110 循环码顺序排列，而不是00011011,4变量卡诺图,m1,m0,m3,m2,m5,m4,m7,m6,m13,m12,m15,m14,m9,m8,m11,m10,5变量卡诺图,3、逻辑函数的卡诺图表示,F(A,B,C,D)=m4(0,2,6,8,11,13,14,15),1,1,1,1,1,1,1,1,【例1】,【例2】,1,1,1,1,【例3】,1,1,1,1,1
8、,1,1,1,1,1,4、卡诺图化简,+,两个相邻的最小项可以合并消去一个变量。,卡诺图化简,AB,F=B+,四个相邻的最小项可以合并消去两个变量。,八个相邻的最小项可以合并消去三个变量。,不是最简式,【例1】,F=DC,【例2】,化简逻辑函数,F=BC,+AC,+AD,【例3】,Y=(A,B,C,D)=m4(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),试用卡诺图化简逻辑函数,F=D,【例4】,试用卡诺图化简逻辑函数,Y=(A,B,C,D,E)=m5(1,5,9,13,16,18,20,22,27,31),+ABDE,用卡诺图化简遵循的原则：,（1）每个圈应包含尽可能多的
9、最小项；,（2）每个圈至少有一个最小项未被其它圈圈过；,F=AC,+BCD,（3）圈的数目应尽可能少；,（4）所有等于1的单元都必须被圈过；,（5）最简“与或”表达式不唯一。,三、单输出逻辑函数的表格法化简(QM法),计算机辅助逻辑设计的方法,1、卡诺图法化简直观方便，过程简单明了，但只 适合于变量数 4的函数。,2、Q-M(Quine-McCluskey)法和卡诺图法的化简思 路是一致的。,3、Q-M法是用分组表格法，把两相邻与项合成为一 新的与项，从而消去一变量。它适合于变量数 4的函数，化简过程规律性强，适用于计算机 算法实现。,Q-M方法的基本思想,什么情况下会出现“相邻两个最小项中有
10、一个变量互补”？从最小项的编号上看有什么规律？,以4变量卡诺图为例：,m1同m0，m3，m5，m9相邻,下标编号为：0001与0000,0011,0101,1001,m1同m4，m8，m10，m13等不相邻,下标编号为：0001与0100,1000,1010,1101,结论：最小项编号中“1”的个数差0，肯定不相邻 最小项编号中“1”的个数差2，肯定不相邻 最小项编号中“1”的个数差1，可能相邻！,按照最小项 mi 下标编号中二进制数“1”的个数进行分组比较，可以化简。,名词解释：,1、质蕴涵项,m(5,7,13,15),m(1,5),m(12,8),m(12,13),m(2,10),m(8,
11、10),2、实质最小项,如：,如：m1,m2,m7,m15,3、必要(基本)质蕴涵项,如：m(1,5)，m(2,10)，m(5,7,13,15),QM法化简步骤：,【例】化简F(A,B,C,D)=m4(2,4,6,8,9,10,12,13,15),1、根据最小项二进制码中“1”的个数，对函数的全 部最小项进行分组排队。,2、在组与组之间逐一搜索相邻项，合并成消去一个 变量的积项。,8,9,12,13,2,6,0 1 0,2,10,0 1 0,1 0,PI1,质蕴涵项,PI2,PI3,PI4,PI5,PI6,PI7,QM法化简步骤：(续）,在表中，未打“”的，标以PI1PI7，为质蕴涵项。全部质
12、蕴涵项，覆盖了F的全部最小项。,用卡诺图画出F的全部质蕴涵项,F(A,B,C,D)=m4(2,4,6,8,9,10,12,13,15),PI1(8,9,12,13),PI2(2,6),PI2,PI3(2,10),PI3,PI4(4,6),PI4,PI5(4,12),PI1,PI5,PI6(8,10),PI6,PI7,PI7(13,15),可见，P1 P7中有不必要的质蕴涵项：为此，下一步骤就要从全部质蕴涵项中选出必要的质蕴涵项。,3、列质蕴涵项表，寻找必要的质蕴涵项,实质最小项,PI1,PI7,PI1、PI7中包含了实质最小项，为必要质蕴涵项，化简时必须保留。PI1、PI7中已经包含的最小项在
13、后面化简时不必再考虑。,4、列简化的质蕴涵项表,简化规则：,1、被别的行所覆盖的 行可从表中消去。,2、覆盖了其它列的列可从表中消去。,F=PI1+PI7+PI3+PI4,用卡诺图化简,循环PI表的化简,不含必要质蕴涵项,PI1,F=PI1+PI4+PI5,循环PI表的化简(续),简化PI表,F=PI2+PI3+PI6,四、多输出逻辑函数的表格法化简,多输出逻辑函数：同一组输入变量，有两个以上的输出。,F1 f1(A,B,C)F2 f2(A,B,C),化简时，在“与或”表达式中要尽量寻找公共的“与”项，使公共项为多个函数共享，这时从单个输出看可能不是最简，但总体是最简。,【例1】,共需要七个“
14、与非”门,只需要五个“与非”门,【例2】,多输出逻辑函数的表格法化简,特点：,1、每个被列出的最小项后边必须标明它是出现在哪个函数中的最小项。,2、两项仅当它们都具有至少一个相同的标志时才能合并。,3、仅当某项所具有的全部标志都出现在合并后的项时，才能将它打上“”号。,【例】,0,1,0 0,F,1,3,0 1,F,4,5,1 0,H,4,6,1 0,H,3,7,1 1,GH,5,7,1 1,GH,6,7,1 1,H,4,5,6,7,1,H,PI1,PI2,PI3,PI4,PI5,PI6,质蕴涵项表,简化PI表,可以看出：每一个输出不是最简，但总体是最简。,五、包含任意项的逻辑函数的化简,任意
15、项(约束项、无关项、不管项),包含任意项的逻辑函数：函数F的取值只和一部分最小项有关，另一部分最小项既可以取“0”，也可以取“1”，这些最小项称“不管项”或“任意项”。,“任意项”的两种情况：,1.有些输入变量的取值组合根本不会出现。,2.所有的输入组合虽能出现，但在某些约束条 件下，这些组合的输出不存在。,【例1】,求：8421码中出现 奇数的逻辑函数。,有效状态,无效状态,或：,F=m4(1,3,5,7,9),4(10,11,12,13,14,15)=0,或：,F=m(1,3,5,7,9)+(10,11,12,13,14,15),约束方程：,用卡诺图化简包含任意项的逻辑函数,F=A,(10
16、,11,12,13,14,15)=0,【例2】,三个人，只有一枝笔，都会写字。列出有人写字与三个人之间的逻辑关系。,0,1,1,1,F=A+B+C,AB+BC+AC=0,用表格法化简包含任意项的逻辑函数,特点：,1、求质蕴涵项时，将无关最小项与有效最小 项的组合同样处理。,2、列质蕴涵项表求最小覆盖时，在质蕴涵项 表的列方向上无需列出无关最小项。,【例】,化简 F(A,B,C,D)=m(3,4,5,10,11,12,)+d(1,2,13),(1,2,13)=0,六、不同形式逻辑函数的变换,由最小项和函数式表达的逻辑函数要用逻辑电路来实现。实现时要考虑的问题包括可用集成电路的种类、逻辑函数的形式、集成电路的级数等。,常用“门电路”结构,与非与非实现,与或非实现,或非或非实现,上面三种，”与非与非”结构最常用。,门电路符号,门电路符号,【例】,异或,与或,与非与非,与或非,或非或非,不同形式逻辑函数的变换,与或式,与非与非式,与或非式,或非或非式,
