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1、1,第 十八 讲,2,第七章 二阶电路,7-1 LC电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析,3,本章教学要求,1、了解二阶电路的基本概念；2、了解二阶电路的一般分析方法。,重点 RLC串联二阶电路的全响应,难点 微分方程求解,4,第七章 二阶电路,二阶电路：用二阶微分方程描述的电路。,二阶电路的特点：电路中的元件除电阻外，一般含有二个电感或电容或各一个电感和电容。,分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。,5,7.1 LC振荡电路,1、LC振荡回
2、路的电量,根据图中的参考方向，容易得出：,根据正弦函数、余弦函数的求导公式及电路的初始值，不难得出：,LC振荡回路,结论：具有初始储能的无损耗LC电路，将产生按正弦方式变化的等幅振荡。,6,2、LC振荡回路的能量,LC回路的总瞬时储能,结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式在电感和电容之间相互交换，永不消失。,LC振荡回路,LC回路的初始储能,7,7.2 RLC串联电路的零输入响应,7.2.1 RLC串联电路的数学描述,KVL方程,元件VCR,代入后变换得：,8,这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程,其特征方程为,
3、由此解得特征根,9,特征根决定电路的响应特点，其实部决定电路能量衰减的快慢，虚部决定电路振荡的频率。,1 时，s1,s2为不相等的负实根。,2 时，s1,s2 为共轭复数根。,3 时，s1,s2 为相等的负实根。,当电路元件参数R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：,10,1、当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；,3、当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的。,2、当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的；,令，,由于Rd 具有电阻的量纲，是阻尼状态的分界标准，故称为阻尼电阻。,11,7.2.2 RLC串联电路的零输入响应,1、过阻尼响应,条件：,电路的
4、固有频率s1,s2不相同的实数，齐次微分方程的解为：,式中的常数A1，A2由初始条件确定。令上式中的t=0+得,对uC(t)求导，再令t=0+得,12,联立求解，可得:,将A1，A2代入uC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,13,当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时,t 0,14,例1,已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零输入响应。,则有：,解：由R,L,C的值，计算出特征根,15,利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：,解得:K1=6和K2
5、=-4最后得到电路的零输入响应为,16,过阻尼响应曲线（波形图）,17,从波形可看出，在t0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。,物理过程,18,2、临界阻尼响应,条件,固有频率s1,s2相同的实数s1=s2=-。齐次解,式中常数K1,K2由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定。,对uC(t)求
6、导，再令t=0+,得到,联立求解以上两个方程，可以得到,令t=0+得到,19,代入uC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时,20,例2,已知R=1,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求电容电压和电感电流。,利用初始值，得,则有：,解：先求特征根,21,求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2。,电感的电流为：,电容的电压为：,22,临界阻尼响应曲线,物理过程：电感初始储能为0，电容放电，一部分能量变成磁场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，
7、电容、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。,23,3、欠阻尼响应,条件,特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：,其中,24,齐次微分方程的解为：(用欧拉公式),式中,由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，可以得到电容电压的表达式，再利用KCL和VCR方程，可以得到电感电流的表达式。,25,例3,已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。,于是有,利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:,解：先求特征根,26,解得 K1=3和K2=4。,电容电压和电感电流的表达式分别
8、为：,27,(a)=3的电容电压波形(b)=3的电感波形(c)=0.5的电容电压的波形(d)=0.5的电感电流的波形,欠阻尼波形图,28,物理过程：欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。,本例中，当电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。,29,例4,已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。,则：,利用初始条件得：,
9、解：先求特征根：,30,解得：K1=3和K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应,波形图,31,当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。,物理过程,电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。,32,RLC二阶电路的零输入响应一揽,33,1.过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，响应按指数规律衰减。,2.临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，响应按指数规律衰减。,3.欠阻尼情况，s1和s
10、2是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。,4.无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，=0，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。,可以推断，当特征根的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。也就是说，只有当特征根具有负实部时，电路才是稳定的。,34,7.3 RLC串联电路的全响应,1、直流激励的RLC串联电路,对于直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以利用初始条件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0来求
11、解以下非齐次微分方程,从而得到全响应。,电路的微分方程：,35,2、RLC串联电路的全响应,全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成,电路的特征根为,当s1s2时，对应齐次微分方程的通解为,特解为,36,全响应为,利用初始条件，可以得到,联立求解，得到常数K1和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。,37,类似地，当s1=s2时，全响应为,求两个待定系数的方法也类似：,于是，电容电压确定。再根据元件的VCR或KVL，计算其它响应。,38,类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为,求两个待定系数的方法也类似：,类似地，可根据元件的VC
12、R或KVL计算其它响应。,39,7.4 GCL并联电路分析,RLC串联电路的微分方程,GCL并联电路的微分方程,提示：GCL并联电路的分析，可以应用对偶规则，通过与RLC串联电路的对偶关系求得。,40,其特征方程为,解得特征根,对偶地，特征根可能出现以下三种情况：,1、时，s1,s2为不等的负实数。,2、时，s1,s2为相等的负实数。,3、时，s1,s2是实部为负的共轭复数。,41,同样地，当两个特征根为不相等的负实数时，称电路是过阻尼的；,当两个特征根为相等的负实数时，称电路是临界阻尼的；,当两个特征根为实部为负的共轭复数时，称电路是欠阻尼的。,这三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。,42,课外作业,P262 7-2，7-6,END,
