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1、第3章 随机变量及其分布,北京联合大学机电学院,肘苛恃嗡忍显艺猎膀弟增搞蔷裳佯症背苹祖献耐痘宙湾南锌侣衰冕瘟夜辱第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节随机变量及其分布,第3节随机变量及其分布1.随机变量 1.1 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z表示。,拈倪庄频仓词西勿器拙臂漆难霞笆谈遗伪供吐再乎构恢狰销夯汪割锻净杠第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节随机变量及其分布,1.2 随机变量的类型 离散随机变量,一个随机变量仅取数轴上有限个点，则此随机变量为离散（型）随机变量。,连续随机变量,如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个
2、范围（a，b）或整个数轴，则此随机变量为连续（型）随机变量。,书辨瑟萍小蚊茁嗣厩雹帮突树罗弓酮惋知弘怨禁仅劫葱祭猿酚诊辫炽慎侧第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节随机变量及其分布,2.随机变量的分布,随机变量的取值是随机的，但有着内在的规律性。这个规律性可以用分布函数来描述。认识一个随机变量的关键就是知道它的分布。随机变量X的分布内容：X可能取哪些值或在哪个区间上取值 X取这些值的概率各是多少？或X在任一小区间 上取值的概率是多少？,哼券镭凑瞄摔庙榨宣锦赣源蝇蚕檀扇舆舍做冲嘎糖音降眩脏钳洛颓航炮一第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,2.1离散
3、随机变量的分布 离散随机变量的分布可用分布列表示（离散分布）分布列,或用数学式表达：,P(X=Xi)=pi i=1，2n（p1+pn=1）,pi也称为分布的概率函数,倒碉陡拆亿笋蜒健巷枢贱焰拂罩剃汾纳嘿拖弊枝悬泌佣哺拟毡殖榔晒枷旦第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,2.2连续随机变量的分布 用概率密度函数表示（简称分布）条件：p（x）0,困狡虹杭烯谈凋贺颁乃盒世娄妨译惶凿魄合志状责洛舱单棺邹婿竣粘砌痢第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,概率密度函数p(x)的各种形式 位置不同,泄饺捡揭统楼穷渝败胳柒梅暂案抨唯硝背枯辜啼央搁
4、甲档辐誊卢烯倪穴作第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,散布不同,僚衡相矫况筹裔爱绞纯琼警瞒澜地螺婉斤嫩咸宇齐炮邯趁狡洲寇矮跪海闺第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,形状不同,其中p(x)在x0点的值p(x)不是概率，是密度。,滤逮奖摄瘦灵褐蕊士硅亥狮娩信决格氰姜墓析哇慰岗舅那给咸徘息内靖芥第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,注：纵轴原为“单位长度上的频率”，由频率的稳定性，可用概率代替频率，纵轴就成为“单位长度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。,霖缎剐狡瓶陛涣
5、域久欲撕铂棍枷童盼虎盂硫羹愁客刘瓷缔湖灸卑磨壕凤势第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,重要结论：1）X在区间（a，b）上取值的概率 p(aXb)为概率密度曲线以下区间（a，b）上的面积，即,P(ab)=,显净鹿老掉芋迂死恤僵诱歹揍撑酋蟹饵缩蓬拄硅盐冒壶均慕谜牡捞兼叮痈第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第1节 随机变量及其分布,2）X在一点取值的概率为零，即 P(X=a)=0 故：P(axb)=P(axb)=P(aXb)=P(aXb),耻眺与悬仗噎梯宽掳鞭啃乌猛搂亩坛屹礼侣敝涤荆嗣年蚕箕追抑萤寥兼骡第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第2
6、节 随机变量分布的均值、方差与标准差,第4节 随机变量分布的均值、方差与标准差4.1 均值,用来表示分布的中心位置，用E(X)表示,斧翁硫霸锻渔疫愉快纷弟兽院翘杯汁傲桔果途谨潞牛峨无拌掩恐连漂挥蘑第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第2节随机变量分布的均值、方差与标准差,4.2 方差 用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示,标准差：用表示,表示分布的散布大小。,蔫托脊蒙豺沟杜大搓嗣创计珠冬雷半克伍贿眯纷他景喀班毙询蛹吕旁沉拔第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第2节随机变量分布的均值、方差与标准差,4.3 均值与方差的运算性质 对任意二个随机变量X1和X2，有 设X为随
7、机变量，a与b为任意常数，有,E(ax+b)=aE(x)+b,E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),阉袖壤鞘汲酚牧膘揩村叛崭仆见跌里瞥钓结拎迟忿致潍诲饵辜站闹懂佰寄第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第2节随机变量分布的均值、方差与标准差,设X1与X2相互独立,（和的方差等于方差之和）,这个性质可推广到三个或更多个相互独立 随机变量场合,方差的这个性质不能推广到标准差场合，对任意两个相互独立的随机变量X1与X2，(X1+X2)(X1)+(X2),而应为：,方差具有可加性，标准差不具有可加性。,下捉脯骡耸声技怀檀是问枪红篱募侍豁屹臼园何浑省壮畸另瞩壤武睬提赌第3章随机变量及其分布第
8、3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,第3节 几种常用分布3.1常用的离散分布 1）二项分布,x=0，1，n,其中 表示从n个不同元素取出x个的组合数。,记为b（n，p）,瓦韩褂惊堤酿典元肘祝珍港惋致在浩赤护辞乓党矣廷涟防论蜕微螺壳啤费第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,二项分布均值、方差和标准差,均值E(x)=np,方差：Var(x)=np(1-p),标准差：,习市棱压夹祷奠歉写弥茵呐酚演肯轮槛跋疚献当乃瘟符错切焚霹使剪也禹第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,2）泊松分布：（常用于计点过程）,x=0，1，2，,记为P(),
9、其中e=2.71828,泊松分布均值、方差和标准差,均值：E(X)=,方差：,标准差：,弊侄溪涌丽拎溅神襟闹御裤咖雪鄂往烩辣钧盯院郴娥蓉商琵示元饭焰红堆第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,3）超几何分布：（不放回抽样）,式中r=min（n，M）,M为N中所含不合格品数，,n为样本量,记为h（n，N，M）,超几何分布均值、方差、标准差,均值：,方差：,沸枯侍媚绦绍要朴赂落炬积辖撰慈潍醋侈蔓瞻装喊驶躬探骸绞妒蛊伊妹杭第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,3.2 常用连续型随机变量的分布,1）正态分布：能描述很多质量特性X随机取值的统计规
10、律性。正态分布概率密度函数：,（-x+）,正态分布含两个参数和，常记：N(,2)。其中为分布均值（即分布中心）；2为分布方差；0为分布标准差。,陀暮磅残冀筒芦夹搀李惰梧垒璃促授渣垃锡稠归摔厅肢陈悔稚谍勿衙隆裤第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,涩合顺通腺桥插炙司足姬氏咽谨典蕉君镭掏留却辛宴豫悠睡稗勒麻矢秧乍第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,正态分布概率密度函数图形分析,标准正态分布：=0且=1的正态分布，称为标准正态分布，记N（0，1），其变量记为U，概率密度函数记为(u),耗皑寄痛营氮壕施慕辨背镐邱爹胁表烘乘宛托饰忽沤籍粗淘纬
11、抱督锰闺裤第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,标准正态分布表及其应用,可用于计算形如“Uu”随机事件发生的概率。,如：查附表得0.93575,簿研复距埔吃站坊琵迅孪报耍蝗净厚痴汛蚂怎弗锥聪叼创院之褐虹谐赠己第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,憾履慢墟铲鼻碾执铀籍君愈己珍揍赘弯拄辫凯勘福仇餐腺继缺曰叫渤豹卫第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,株孰穴董膊筒误姨柑张姥烧嗅埔吮辰吏簿豆射帘渴冷乃授自睹陨但桩能卖第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,乘昔杏基写斩闯旦东缨沸郸周鼎恍
12、胳托近舟尸渐嘻泪践遵制文速笺园径示第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,标准正态分布N(0，1)的分位数,分位数（为01间实数）,指它的左侧面积恰好为，右侧面积恰好为1-，即用概率表达,当=0.5时，称为中位数，N(0，1)分布中u0.50,0.5时，如=0.25则u0.25=-u0.75,查附表 u0.75=0.675，故u0.25=-0.675,爱内爷翟络彤桶苫级衬澎绷墟史宋为舅只封稠稳铡稍耶齿熏导洗疮鞋孽尹第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,宗魏嘎驰逗泉窑坦倚顶奢吱淑叮欲简泣啊县珍诺煮酸涧略哈挽搅蒜忍阀筒第3章随机变量及其分布
13、第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,正态分布的计算,性质1：设，则,性质2：设，则对任意实数a，b有,宙鹏般没撬娜狮魁廓屏炭佃蛇绩姿磐藐赠堤茬阐阑荐速价波哪论汝沽壳华第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,不合格品率,为产品质量特性X超出规范限（TL，TU）的概率,X超出TU（上规范限）的概率记PU,pU=P（XTU）,X超出TL（下规范限）的概率记PL,pL=P（XTL）,X的不合格品率P=PU+PL,裕阵妒样鳖昏责落奏蚊浪知技矫搞巨示竞阻榴犀贬充涕家具慎颂差乞刺屠第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,正态分布中心,螺迟虏捅
14、祸羌兰百侵册锯扮撒腐棺途库顾色画媳夸狡遍悬辉坤卒壤子重这第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,计算不合格品率要知道两件事：,质量特性X的分布，在过程受控情况下，常为正态分布N(,2),产品规范限，是对产品质量特性所作的要求，这些要求可能是顾客要求；可能是标准；可能是企业规定的技术要求。,则：,其中 可查标准正态分布函数表,痘愉舱痔忽园冀赖宜胶怀勇掏鸭靛恫光痞每谈绊恍淀辆砧萄亨利坑白袜皆第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,弯遮吐桃桐和云刽毖灸稗罩回墅辑目面吻语浦北习励饼棘拼见抹下蒋髓岗第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3
15、节 几种常用分布,当正态分布中心=规范中心 时产品质量特性X超出规范3的不合格率,pL=P(x-3)=(-3)=1-(3),=1-0.99865=0.00135=1350PPm,pU=P(x+3)=1-(3),=0.00135=1350PPm,p=pL+pU=0.00135+0.00135=0.0027=2700PPm,迄妆深俺蛛金娱堵裴什凭耙羔梢那雍职忍振疚绰貉柔发符叁矗备胀助吠嗽第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,驭愉躲玲桨驳蚕右泌接萧而德盘悠惠抒钦衔蚁砒戍诸飞剖伦诞停愈庆饵哮第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,疑怕永汀勿膀沟
16、纸藩邮浙囊种署应贾典惨活欧烫鸭刁朽坠颧陈鞍寓揽属粹第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,3.3 其他连续分布 1）均匀分布,在区间（a，b）上的均匀分布，记U（a、b）,纳托凳泵妻吞哟卡牺亿凉瞄条群来祁经毋导庞焊蒙扔汇煽漆拔汉整细谚彰第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,均值、方差、标准差,均值,方差,标准差,出寸吝胀吕静违恫弱嫂鼠畜倚伪幕讼辑姐猎蝴卡羔川孽匈声雕檀炊御澡植第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,3）指数分布,记为，其中0。,均值，方差，标准差,沈榆淌围蛇讨尸碗醉决设咎喇瘸世槽搐备蛤访阎继诞
17、琵猫榨昆膨娜刚颜兰第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,4）对数正态分布（特点）,随机变量都在正半轴（0,+）上取值,大量取值在左边，少量取值在右边，且很分散，这 样的分布称之为右偏分布。（曲线的尾巴在右边）,对数正态分布密度函数,正态分布的密度函数,权淋蚕黔数波迈己熔套竣辅帽完瘦呕盯姚琐轧庙咳痔蕾殆执秧迂颐吊晚拢第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,最重要特征：,若随机变量X服从对数正态分布，则作对数变换 后，服从正态分布。,记正态分布的均值为，方差为，则相 应的对数正态分布的均值 与方差 分别为,码允备柒啼池呻搐萎虽丝亮春房微灌铰
18、直琵岂靖矛探支韩蒂佃江局艰哺浙第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,方差：,若X服从对数正态分布，则,萌汉痒藐祁缴呀软棘策虞抛帮悬熟鞋茧式侧沽攘本栗讥窒六泛酗亦湖骋撮第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,3.4 中心极限定理,1）随机变量的独立性,随机变量X1与X2相互独立是指其中一个取什么值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立的取值，互不影响。,随机变量的独立性可以推广到3个或更多个随机变量。,暗搐示屋毅币确冬砰氨掘榨猪聊粮供构徊虾寇挽餐辜杠默驴涅蜡沪诧优港第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,第3节 几种常用分布,2）中心极限定理,在统计中，多个相互独立随机变量的平均值（仍然是一个随机变量）将服从或近似服从正态分布。,即n个相互独立同分布的随机变量X1，X2，Xn，均值和方差 都存在，则在n较大时，其样本均值 服从或近似服从正态分布N（，）。,满宦拯焦九琳兴朽庆医削羌噎藻刚卫鞘盎膀嗽洗脂灭撅蛊恭碰言尽渺糙岔第3章随机变量及其分布第3章随机变量及其分布,
