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1、第1讲计算综合(一)繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的.找到最长的分数线，将其上视为分子,其下视为分母.2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.5.本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级 第1讲循环小数与分数.24117 1.计算：18 26X27 3L-39 2 8 3 4
2、2.计算：【分析与解】【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19.于是，我们想到改变运算顺 序，如果分子与分母在19后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如9 果不一致，也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.具体过程如下：5 9 19(+3-5.22)ICC2A1r f 三 9IO/993x0.4 1.6、原式二一岩-(-+-)IQ5工27 1995x0.51995 19(O-1-3.22)9 50 9-32”9/993x0.4?-(-+
3、IQ5 1995x0.4 9 1/993+20.4、10.41I=I(-X)=1=1 1995 0.5 0.54 3.计算：1-Lj 1 1-1987 【分析与解】原式二11+1986,1987 39733973 1986【分析与解】【分析与解】原式二 17一128 4=23-8 X 23124 一 3=40.40.5 1995x0.5 4.计算：二1Kx+-4 Q 一,那么X等于多少？11 再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2=2囱;再计算这10个数的百万位数字利为4X4=16,加上十万位的进位的2,为16+2=咽;【分析与解】方法一：【分析与解】方法
4、一：=1 X+一 4 交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.18x+6 8 1l4x l12x+7-11 8x+6 4x+l 方法二：方法二：有1+=1-,所以2+二 2-L8 8+l x l 4 4 5.求4,43,443,.44.43这10个数的和.9 4【分析与解】【分析与解】方法一：=4+(44-1)+(444-1)+.+(44.4-1)10个4 Q2=-=2-;所以x+13=,那么X=L25.42=4+44+444+.+44.4-9=10个4 4-(9+99+999+.+999.9)-9 4-(10-l)+(100-l)+(1000-l)+.+(1000.0-l)-9
5、9 4=-l11.100-9=4938271591.9 方法二：先计算这10个数的个位数字和为3x9+4=3J;再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为36+3=3回;再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为32+3=3固;再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的进位的3,为28+3=3U;再计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,再计算这10个数的千万位数字利为4X3=12,加上百万位的进位的L为12+1=1囱;再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的L为8+1=回;最后计算这10个数
6、的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为国.所以，这10个数的和为4938271591.6.如图1-1,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7.我们规定，符号表示选择两数中较大数的运算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符号 23 155(0.625-)(-Q0.4)表示选择两数中较小数的运算，例如：3.542.9=2.943.5=2.9.请计算：-33票4-+(2.25)104【分析与解】原式 8.规定(3)=2乂3乂4,(4)=34乂5,(5)=4乂5乂6,(
7、10)=9IOX11,.如果一!-=11，(16)(17)(17)-那么方框内应填的数是多少？9.从和式,+L+!+L+-!-+-L中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?24681012【分析与解】因为,+_L=_L,所以L的和为1,因此应去掉,与-I.6124 24612 810 10.如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数局部是一位的循环小数,例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？【分析与解】有整数局部尽可能大，十分位尽可能大，那么有92918较大，于是最大的为 9.291892915.11.请你举一个例子，说明“两个真分
8、数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数.【分析与解】评注：此题实质可以说是寻找季生质数，为什么这么说呢？，1 1c+aWil.1 1c+a1 汪意至U-1-=-,当a+c=b时，有-1-=-=-.abcbabc abcbabcac 当a、b、C两两互质时，显然满足题意.显然当a、b、C为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2+c=b,显然b、C为一对挛生质数.即可得出一般公式：-+!=L,C与c+2均为质数即可.2(c 2)c(c+2)2c【分析与解】【分析与解】=(士(Io)-)=-(17)(17)(17)06)161
9、718 151617 1-6-115+10 15,12.计算:(1-2x2)x(1-).(1-3x3 IOXlO)fs.(2-1)(2+1)(3-l)(3+l)v(107)x(10+1)22 33 1010 l32435465768798109ll 223344.1010 l2334455.9910ll 223344.991010 l210ll11 22101020 C 1166+1267+1368+1469+1570”口.13.a=-XloO.问a的整数局部是多少？1165+1266 1367+1468 1569【分析与解】【分析与解】11(65+1)+12(66+1)+13(67+1)+1
10、4(68+1)+15(69 1)=-100 1165+1266+1367+1468+1569=(1+11+12+13+14 15 1165+1266+1367+1468+1569)100-100+11+12+13+14 15 1165+1266+1367+1468+1569 100.因为 11+12+13 14+15 H65 1266+1367+1468+1569所以aV100+&=101生.65 65 同时 11+12+13+14+15 11+12+13+14+15 100 100100+他=Iol里.69 69 31 35 综上有101a-(11+12+1314+15)69 69 65 1
11、0010 人1357 99,2468【分析与解】方法【分析与解】方法一一：令Xxxx.x-=A,X-.2468I(X)3579 357 992468 100 有AB=-.-XX-.100 101=B,1003579 101101 WA4B(=-)那么AV-101 1001010 1010 10 1357 99 即3X2XLXX工1 与,相比，1更大.2468 100 10 10 而B中分数对应的都比A中的分数大，那么它们的乘积也是BA,1357 97 方法二：设A=-X-XXX.X 那么A12=-X-22 2468 98100 3355 9999 X-XXX.X X-100100 133557
12、7.979799991 2244668.969898100100 显然生、火、空224466 97XQQQQ 1 -、都是小于1的，所以有人2，于是AV 9898100 15.下面是两个1989位整数相乘：二IXUl二JJ.问：乘积的各位数字之和是多少？1989个I 1989个1【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,那么结果不变.因为LIL.11能被9整除，所以将一个UL.U 1989个1 1989个I 乘以9,另一个除以9,使原算式变成：=(10-1)x123456790012345679 1989个O 共1988位数=1234567900123456790-123456790.012345
13、679-l.l 三 f.i7 1四个。=123456790012345679123456789876543209.987654320987654321 共1砺激,兵1荡位数-得到的结果中有1980 9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为：+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901 评注：111111111 9=12345679;”义999.2的数字和为9乂1.(其中MW999.9).可以利用上面性质较快的获得结果.k个9 k个9 第2讲计算综合(二)本讲主要
14、是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算.1.n(n+l)=n(n+l)X(n+2)-(n-l)n(n+l)3;2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).试比拟a、b的大小.分析与解】其中A=99,B=99+-L.因为A98+,100 AB 2+-：-2+-：-,所以有ab.98+-98+-A B 的和？20051.所以原式的和为1.评注：上面补充的两例中表达了递推和整体思想.2.试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一:利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数 2=(l+100)X100 2=50
15、50.方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+97+98+99+100 100+99+98+97+96+4+3+2+1,上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为IOlXlO0,那么原式的和为 101X100 2=5050.方法三：整数裂项(重点)，原式=(12+22+3X2+42+1002)2=l2+2(3-l)+3(4-2)+4(5-3)+-+100(101-99)2=+-+100101-W-)2=100101 2=5050.3.试求IX2+2X3+3X4+4X5+5X6+99X100.【分析与解】方法一，整数裂项 原式=(1X2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5
16、X6X3+99X100X3)3=l23+23(4-l)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3(4*3+*-4*3+-*+45-*4+6*46+.+99X100Xlol-给9440S)3=99100101 3=331O11OO=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式l2 32 42-n2=H H+1)(2H+1)原式：l2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 9910019999x100=328350+4950=333300.5.计算以下式子的值：0.1X
17、0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.40.6+9.7X9.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算IX3+2X4+3X5+4X6+97X99+98X100。再除以100.【分析与解】记X=,那么题目所要求的等式可写为:方法一：再看每个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.O.l0.3+0.20.4+0.30.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.810.0=(1X3+2X4+3X5+4X6+97X99+98X100)100=(l2+l)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(97
18、X98+97)+(9899+98)100=(l2+23+34+4X5+97X98+9899)+(1+2+3+4+-+97+98)100=(-9899100+-9899)100 3 2=3234+48.51=3282.51 方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.30.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8X10.0=(l3+24+35+46+-+97X99+98X100)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(+22+32+42+52+992-99)100=(-99100199-99)100 6=16.5X199-0
19、.99=16.5X200-16.5-0.99=3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.l2+23+3X4+(n-l)n=-123+233+343+(n-l)n3 3=-Xl23+23(4-l)+34(5-2)+(nT)nn+l-(n-2)3 1Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+一=X 3-(w-1)n(-2)+(-1)n(n+1)=；X(-1)XX(+1)6.计算以下式子的值：【分析与解】虽然很容易看出=_1一_1可是再仔细一看，并没有什么效果，23234545 因为这不像分数裂项那样能消去
20、很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 l2+22+32+n2=-n(n+l)(2n+l),于是我们又有6 减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个呢？/1 11/111=24X(-1-F-)-6(-1-FH-)2x3 4x5 2021 123 235 10ll12/1 11、/111-24(-1-F-)24X(-1-1*-)23 45 2021 243 465 202221 )+(-)+(243-45465I2+22+32+t2 H(H+1)(2-1)二 24 X 20 x22x21)20 x21 60 二-11 7.计算以下
21、式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=198012X2=396024.习题 计算17X18+18X19+19X20+29X30的值.提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16X17X6=7358.第3讲多位数的运算 多位数的运算，涉及利用9999=IOk-I,提出公因数，递推等方法求解问题.Jl个9 一、9999=1OkT的运用 1个9 在多位数运算中，我们往往运用9999=1Ok-I来转化问题；1-9 如：333359049 2004个3 我们把理3转化为
22、9999 3,2004个3 2004个9 于是原式为333359049=(99993)59049999959049=(100O0-1)X 2004个3 2004yH)2004收 2004yN)19683=19683100O0-19683 2004个0 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；2004个9 1968299999999-1 2004个9 1968299999999+1 如：”968个9-,于是为968299980317.1999 1968299980316+1 1999个9 1968299980317 简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数.原式=3333233333.3 2
23、004个3 2008个3二 24x(-+-+一，于是为199997999800002.1999.979998600il 丽2 03 199997999800002 2003个9 2003个0 2.计算IU1-2222=AXA,求A.20(M个I 1002个2【分析与解】此题的显著特征是式子都含有Ill1,从而找出突破口.r?Vl 1111-2222=mIOoo0-11J1 2004个I 1002个2 1002个11002个0 1002个1=l111 1002个I=11lIX 1002个I=IllIX 1002个I 所以，A=3333.1002个3 3.计算66666666X25的乘积数字和是多
24、少？20淞6 2003个6【分析与解】我们还是利用9999-10000-1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成 9999,于是我们就创造条件使用：2(999 9 -(999 9)+125 1002个 0(999 9)1002 个 9(111 133)=A2 IClOJ、1 2 666 6 X 666 67 25=2004 个 6 2003个 6 2004 个 9 2004 个 9.r2-I 入 3(1000 0-1)2(MM 个 0 2 xx(1000 0)+125 2004 个 0=ll21000 0-2 X 2 X J J 2004 个0(1000 0)+125 2004 个 0 2
25、5 4 1000 0-2 1000.0-2 2004 个 0 =100lll_1-50X1111 4008个1 2004个1=Illl-55550(求差过程详见评注)4008个 2004个5=m1055550 2004个1 2004个5 所以原式的乘积为Ill1055550 2004个I 2004个5 那么原式乘积的数字和为IX2004+5X2004=12024.评注：对于Ul-55550的计算，我们再详细的说一说.4008个1 20(M个5 00-5555Q 2005个12005个0 2003个1 2004个5-Hl109999+1+111100-5555Q 20(M个12005个9 200
26、3个1 2004个5=QJ3Q44449+小IJOl 200个I 2004个4 2XAz-l=Hl_J05555 2(XM个2OO44k5 4.计算些22222的积？1998个2 1998个2【分析与解】我们先还是同上例来凑成9999；*r/=-99992222 Q-1J.31 71998个9 1998个2=-fl0000-l1x2222 Q-7I1998个0 1998个2 10000-1X444-4 I1998个0)1998个4 444 40000-4444 19984,4 19984k0 I994)=/4443送三6（求差过程详见评注）y 1997个4 1997个5 我们知道4444能被9
27、整除，商为：049382716.9个4 又知1997个4,9个数一组，共221组，还剩下8个4,那么这样数字和为8X4:32,加上后面的3,那么数字和为35,于是再加上2个5,数字和为45,可以被9整除.=999 9-999 9 4008yH)7 2004个=_ 9 4443355能被9整除，商为04938271595；我们知道5555能被9整除，商为：061728395；杯5 这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.55556能被9整除，商为0617284.6不5 于是，最终的商为：评注：对于44440000-4444计算，我
28、们再详细的说一说.1998个41998个0 1998个4 444400-4444 1998个41998个O 1998个4=444439999-4444 1997个4 1998个9 1998个4=444435555+1 1997个4 1998个5=4444355556.1997个4 199745 二、提出公因式 有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等.-199819981998)199919991999)1999 I1MSzIWS 199S个川【分析与解】199819981998=1998100110011001 1998个1998 1998
29、个IOol 原式=1998(l+10001+100010001+10011001.1001)1999(l+10001+10001000l+1998ybl00l-100110011001)1999=1998 19991999=1998.1998个100l 6.试求1993X123X999999乘积的数字和为多少？【分析与解】我们可以先求出1993X123的乘积，再计算与(IOoOoo0D的乘积，但是1993X123还是有点繁琐.设1993X123=M,那么(IOooXI23=)123000QK(2000X123=)246000,所以M为6位数，并且末位不是0；令M=abcdef 那么MX9999
30、99=MX(1000000-1)=1OOOOOOM-M=abcdefabcdef=HC呵(71)999999+1-abcdef=0ZcJ(-l)(9-a)(9-)(9-c)(9-J)(9-e)(9-)+l=0cdf(-l)(9-a)(9-Z)(9-c)(9-d)(9-e)(9-+l)那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+l)=96=54.所以原式的计算结果的数字和为54.评注：MX2999的数字和为9Xk.(其中M的位数为X,且xk).k个9 7.试求9X99X9999X99999999XX999999999999乘积的数
31、字和为多少？256个9 512个9 1024个9【分析与解】通过上题的计算，由|题评注I：设9X99X9999X99999999XX999999999999=M,256个9 512个9 1024个9 于是MX999?类似)题旌I的情况,于是，确定好M的位数即可；1021个9 注意到9X99X9999X99999999X义99999999=M,256个9 512个9 那么XKloXlOOXIOoOI3X1000000OOXXlOOOOXlooO0=10000 256个O 512个0 JkT 其中k=l+2+4+8+16+512=1024-1=1023；即M10000,即M最多为1023位数，所以
32、满足出题的的使用条件，那么M与9999乘积的数字 1023个0 1024个9 和为1024X9=102401024=9216.原式的乘积数字和为9216.三、递推法的运用 有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法.8.我们定义完全平方数A2:AXA,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数;：【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121=112;12321=Ill2;1234321=11112.于是，我们归纳为1234n4321=(Hl1)2 2272=77777772.所以，题中原式乘积为77777
33、77的平方.评注：以上归纳的公式1234n4321=(1H1)2,只有在n10时成立.n个1 9.444488889求A为多少？2(XM个4 2疝不T 求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【分析与解】方法一：问题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有诟488889可以看成石488889,其中n=2004;2004个4200378 寻找规律：当n=l时，有49=7?；当n=2时，有4489:67?；当n=3时，有444889=667；于是，类推有444488889=666672 2004个42003个8 K)36 方法二：下面给出严
34、格计算：4444888丽二4444000.0+蹩齿+1；2004个42003个8 2004个42004个0 2004个8 那么44440000+8888+1=1111(4X10000+8)+1 2004个1=(66667)2003个6 由知丽488889=666672,于是数字和为(4n+8n8+9)=12n+l=2005;n-l个6 于是，n=167,所以444488889二666672,所以存在，并且为444488889.10.计算6666X9X333.3的乘积是多少？【分析与解】采用递推的方法6X9X3=162；66X9X33=19602；666X9X333=1996002；于是，猜测6
35、66693333=19999600002 nyb6 113 T 个9 nT个0 666693333=19999600002 2008个6 2008个3 2007个9 2007个0 评注：我们与题1比照，发现题1为6666933333使用递推的方法就有障20,6 2疝彳、3 碍，9999=1Ok-I这种方法适用面要广泛一点.k 9 练习1.设N=666697777,那么N的各位数字之和为多少？2000付 2007个7 练习2.乘积99999999的积是多少？各位数字之和又是多少？1999个9 199处9 练习3.试求IUJXU_1的各位数字之和是多少？2008个1 2008个I 第4讲比例和百分
36、数 本钱、利润、价格等根本经济术语，以及它们之间的关系.各种数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰中选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算.1.迎春农机厂方案生产一批插秧机，现已完成方案的56%,如果再生产5040台，总产量就超过方案产2004个 4 IibJX：（）1 2004 个 0 4 2004 个 8 2004 个 1 2004 个 0(999 9+1)+8+1 2004 个 9 1 1 1 1 1。1人：4(999 9)+12+1 2004 个 9=(HbJ)2004 个 1 236+12lll 1+1 2004 个 1=(111 1)2004 个 1 26(6111
37、.1)+1 l所以k=.5 于是，开始有男工数为一L-X1100=500人，女工600人.+k 8.有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准.假设在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少？【分析与解】标准的时钟每隔65A分钟重合一次.假设经历了X分钟.于是，甲钟每隔659x24x60分钟重合一次,甲钟重合了24x605XX次;112460-5 同理，乙钟重合了24x60+5XX次;于是，需要乙钟比甲钟多重合24x60 246
38、0+5 2460-5 10 -Xx-Xx=-Xx=IO;S 2460 x65 5 所以要经历24X60X65?分钟，那么为-U-=65 11 2460 11 于是为65天。X24=)10(三)小时(60=)54-分钟.9.一队和二队两个施工队的人数之比为3：4,每人工作效率之比为5：4,两队同时分别接受两项工作 2 1 量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天.后来，由一队工人一与二队工人-组成新一队,3 3 其余的工人组成新二队.两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新 一队早完工6天.试求前后两次工程的工作量之比？【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：
39、(3X5)：(44)=15:16.一队干前一个工程需9-=144天.16 24x60 2460 24x60 所以，x=2460;24x60 新一队与新二队的工作效率之比为：新一队干后一个工程需6=282天.47 一队与新一队的工作效率之比为 46 所以一队干后一个工程需282X一天.45 46 前后两次工程的工作量之比是144：(282-)=(14445):(282X46)=540：1081.45 第6讲工程问题 多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题.解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化.1.甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务.如果甲单独加工，便需要12小时完成.现
40、在2 甲、乙两人共同生产了2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务.问5 乙一共加工零件多少个？【分析与解】乙单独加工，每小时加工J-L=-L.81224 甲调出后，剩下工作乙需做(8-2-)(-)=(小时),所以乙每小时加工零件420=25个,5 824 5 5 2 2 那么2小时加工2X25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420=480(个).5 5 2.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作，需48天完 成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天？【分析与解】由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工
41、作20天，也 就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天.所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63 3X4=84天，即乙单独工 作84+28=112天即可完成这项工程.现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42 3X4=56天，即乙E完成 这项工程.3.有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天.现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完.当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？【分析与解】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为J-+J-+-L=L,那么它们6天完成的工程量为 IO12154-6=-,而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的
42、工程量为L 4 2 所以3-1=2_是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需L-L=5(天)才能完成L的工程量，所以甲2 2 210 2 队在6天内撤出了5天.所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成.4.一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半.现在甲、乙两队合做假设干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，那么共用了多少天？【分析与解】甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天.2 2 即甲的工作效率是乙的一，从而乙单独做12X=8（天）完成，所以两段所用时间相等，每段时间3 3 应是：2 8+（1+1+）
43、=3（天），因此共用3X2=6（天）.3 5.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每 天工作效率和的,.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？5【分析与解】甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1,又甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因8 甲 乙 63天 28天 可完成 48天 48天 可完成 15天 20天 相当 此甲两天抄写书稿的工，即甲每天抄写书稿的-!-；8 16 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的L,即丙每天抄写书稿的于是8 48 可知乙每天抄写书稿的,-=.8164824 所以乙一人单独抄
44、写需要1=24天才能完成.24 6.游泳池有甲、乙、丙三个注水管.如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8 小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池.那么，单开丙管需要多少小时注满水池？11 3【分析与解】乙管每小时注满水池的L-二，82040 1 3 11 丙管每小时注满水池的-.640120 因此，单开丙管需要11=图=10（小时）.12011 11 7.一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成.那么甲、丁两人合作多少天可以完成？【分析与解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、J、.对于工作效率有（甲，乙）+
45、（丙，丁）一（乙，丙）:（甲，丁）.即_L=所以甲、丁合作的工作效率为 812624 24 所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程.8.一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成.那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？【分析与解】方法一：对于工作效率有：（甲，乙）+（乙，丙）一（丙，甲）二2乙，即,+,一=U为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率891872 1 13 1 而对于工作效率有，（乙，丙）一乙二丙，那么丙的工作效率为一=一914448 那么丙一个人来做，完成这项工作需1 L=48天.48 I 1 1 21 21 方法二：2（甲，乙，丙）
46、=（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙）=一+一+=一，所以（甲，乙，丙）二8 9 1872 72 21 21 2=-,即甲、乙、丙3人合作的工作效率为2.144 144 21 1 1 那么丙单独工作的工作效率为一一-=,那么丙一个人来做，完成这项工作需48天.1448 48 9.某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成.那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【分析与解】由条件可得，对于工作效率有：（1、2、3）+（1、3、5）+2（2、4、5
47、）+（1、3、4）=3（12、3、4、5）.所以5个小队一起合作时的工作效率为：所以5个小队合作需要6天完成这项工程.评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.10.一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水.假设只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；假设只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满.又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.那么该水箱最多可容纳多少吨水？【分析与解】设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍,那么乙管注入18吨的水所需时间为“0.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27 18X0.5=0.75
48、.以下采用两种方法：方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：因此18+ttVf=27+“0.75”，那么“0.25”=9吨，所以tiIff=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水.所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水.3 方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的一 4 3 再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙二一（2+丙）；所4 以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水.IL某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管
49、.甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时.水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完.问水池中原有水多少立方米？【分析与解】甲每小时注水100 10:10（立方米），20 乙每小时注水100 15二一（立方米），3设排水管每小时排水量为“排，那么（“排-10-）3=（S-10）,整理得3“排-3X排-10,2排:40,3 3 那么排”:20.所以水池中原有水（2010）X2=20（立方米）.12.一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有假设干个同样粗细的进水管.当翻开4个进水管时，需要5小
50、时才能注满水池；当翻开2个进水管时，需要15小时才能注满水池.现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要翻开多少个进水管？【分析与解】记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进，排水管的工作效率为“排，那么有：(1 21.1 12 7 8 42)3=-6 4”进一排二L2”进一排”二-k5 15 所以有，2“进”=（J-L）=Z,那么“进”那么“排=J-.51515 15 15 题中需同时翻开X个进水管2小时才能注满，有：X“进一排二L即_乂一_=_1,解得=8.52 15 152 所以至少需翻开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.13.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管.要灌
