小学奥数第55讲对称变换.docx

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1、小学奥数第55讲 对称变换55、对称变换 据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题:从A地出发到河边饮马,再到B地,走什么样的路最近?如何确定饮马的地点? 海伦的方法是这样的:如图4.33,设L为河,作AOL交L于O点,延长AO至A,使AO=AO。连结AB,交L于C,则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC,则路程为最短的路程。 为什么呢?因为A是A点关于L的对称点,AC与AC是相等的。而AB是一条线段,所以AB是连结A、B这两点间的所有线中,最短的一条,所以AC+CB=AC+CB=AB也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换,找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法,可以巧妙地解

2、决许多几何问题。 通过中心对称图形的对称中心,任意画一条直线,都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质,可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如 把图形的面积,用一条直线分成相等的两个部分。 解题时,只要把这个图形看成是由两个矩形组成的组合图形,而矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形, 所以只要找出两个对称中心,利用中心对称图形的上述性质,通过两个对称中心作一条直线,就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行。 如图4.36,长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆,请画一条直线,同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。 大家知道,长方形和圆都既是轴对称图形,又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是它的圆心。 根据中心对称图形的上述性质,先找出这两个对称中心O点和P点,再过O、P作直线L,此直线L即是所画的那根直线。

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