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1、第1讲计算综合(一)繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1 .繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的.找到最长的分数线，将其上视为分子,其下视为分母.2 .一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3 .某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4 .对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.5 .本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级第1讲循环小数与分数.241171.计算：1826x27民_39834【分析与解】
2、原式二17一1284=23-8X23124 一 3=7 - 822.计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19.于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在19后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如9果不一致，也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.具体过程如下：5919(+35.22)ICC2A1rf三9IO/993x0.41.6、原式二一岩(+)iq5工271995x0.5199519(O1-3.22)9509-3240.40.
3、51995x0.5”9/993x0.4?(+IQ51995x0.491/993+20.4、10.41I=I(X)=1=119950.50.543 .计算：1Lj111987【分析与解】原式二11+1986,19873973397319864 .计算：二1Kx+-4Q一,那么X等于多少？11【分析与解】方法一：=1X+一4交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.18x+681l4xl12x+7-118x+64x+l方法二：有1+=1-,所以2+二2-L88+lxl445.求4,43,443,.44.43这10个数的和.94【分析与解】方法一：=4+(44-1)+(444-1)+.+(
4、44.4-1)10个4Q2=-=2-;所以x+13=,那么X=L25.42=4+44+444+.+44.4-9=10个44-(9+99+999+.+999.9)-94-(10-l)+(100-l)+(1000-l)+.+(1000.0-l)-994=-l11.100-9=4938271591.9方法二：先计算这10个数的个位数字和为3x9+4=3J;再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为36+3=3回;再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为32+3=3固;再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的进位的3,为28+3=3U;再
5、计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2=2囱;再计算这10个数的百万位数字利为4X4=16,加上十万位的进位的2,为16+2=咽;再计算这10个数的千万位数字利为4X3=12,加上百万位的进位的L为12+1=1囱;再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的L为8+1=回;最后计算这10个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为国.所以，这10个数的和为4938271591.6 .如图1-1,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？
6、【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：7 .我们规定，符号表示选择两数中较大数的运算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符号23155(0.625-)(-q0.4)表示选择两数中较小数的运算，例如：3.542.9=2.943.5=2.9.请计算：33票4+(2.25)104【分析与解】原式8 .规定(3)=2乂3乂4,(4)=34乂5,(5)=4乂5乂6,(10)=9IOX11,.如果一!-=11，(16)(17)(17)-那么方框内应填的数是多少？【分析与解】口 = (Io)=(17) (17)(17)06)1617181516179 .从和式,+
7、L+!+L+-!-+-L中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?24681012【分析与解】因为,+_L=_L,所以L的和为1,因此应去掉,与-I.61242461281010 .如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数局部是一位的循环小数,例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？【分析与解】有整数局部尽可能大，十分位尽可能大，那么有92918较大，于是最大的为9.291892915.11 .请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数.1 - 6-115+1015,=【分析与解】评注：
8、此题实质可以说是寻找季生质数，为什么这么说呢？，11c+aWil.11c+a1汪意至U1=,当a+c=b时，有1=.abcbabcabcbabcac当a、b、C两两互质时，显然满足题意.显然当a、b、C为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不妨设a为2,那么有2+c=b,显然b、C为一对挛生质数.即可得出一般公式：-+!=L,C与c+2均为质数即可.2(c2)c(c+2)2c12.计算:(1-2x2)x(1-).(1-3x3IOXlO)【分析与解】fs.(2-1)(2+1)(3-l)(3+l)v(107)x(10+1)22331010l3243546576879
9、8109ll223344.1010l2334455.9910ll223344.991010l210ll1122101020C1166+1267+1368+1469+1570”口.13.a=XloO.问a的整数局部是多少？1165+12661367+14681569【分析与解】11(65+1)+12(66+1)+13(67+1)+14(68+1)+15(691)=1001165+1266+1367+1468+1569=(1+11+12+13+14151165+1266+1367+1468+1569)100-100+11+12+13+14151165+1266+1367+1468+1569100.
10、因为11+12+1314+15H651266+1367+1468+1569所以aV100+&=101生.6565同时11+12+13+14+1511+12+13+14+15100100100+他=Iol里.69693135综上有101a(11+12+1314+15)69696510010人135799,2468【分析与解】方法一：令Xxxx.x=A,X-.2468I(X)3579357992468100有AB=-.XX-.100101=B,1003579101101WA4B(=-)那么AV-1011001010101010135799即3X2XLXX工1与,相比，1更大.24681001010
11、而B中分数对应的都比A中的分数大，那么它们的乘积也是BA,135797方法二：设A=-X-XXX.X那么A12=-X-2224689810033559999X-XXX.XX1001001335577.9797999912244668.969898100100显然生、火、空22446697XQQQQ1、都是小于1的，所以有人2，于是AV989810015.下面是两个1989位整数相乘：二IXUl二JJ.问：乘积的各位数字之和是多少？1989个I1989个1【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,那么结果不变.因为LIL.11能被9整除，所以将一个UL.U1989个11989个I乘以9,另一个除以9
12、,使原算式变成：=(10-1)x1234567900123456791989个O共1988位数=1234567900123456790-123456790.012345679-l.l三f.i71四个。=123456790012345679123456789876543209.987654320987654321共1砺激,兵1荡位数-得到的结果中有19809=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”,所以各位数之和为：+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901评注：111111111
13、9=12345679;”义999.2的数字和为9乂1.(其中MW999.9).可以利用上面性质较快的获得结果.k个9k个9第2讲计算综合(二)本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算.1 .n(n+l)=n(n+l)X(n+2)-(n-l)n(n+l)3;2 .从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3 .平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).1.试比拟a、b的大小.分析与解】其中A=99,B=99+-L.因为A98+,100AB2+：2+：,所以有ab.98+-98+-AB的和？2005【分析与解】记X =,那么题目所要求的等式可写为:所以原式的和
14、为1.评注：上面补充的两例中表达了递推和整体思想.2 .试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一:利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数2=(l+100)X1002=5050.方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+97+98+99+100100+99+98+97+96+4+3+2+1,上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为IOlXlO0,那么原式的和为101X1002=5050.方法三：整数裂项(重点)，原式=(12+22+3X2+42+1002)2=l2+2(3-l)+3(4-2)+4(5-3)+-+100(101-99)2=+-+100101-W-)
15、2=1001012=5050.3 .试求IX2+2X3+3X4+4X5+5X6+99X100.【分析与解】方法一，整数裂项原式=(1X2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+99X100X3)3=l23+23(4-l)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3(4*3+*-4*3+-*+45-*4+6*46+.+99X100Xlol-给9440S)3=991001013=331O11OO=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式l23242-n2=hh+1)(2h+1)原式：l2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+99
16、2+99=12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+999910019999x100=328350+4950=333300.5.计算以下式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.40.6+9.7X9.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算IX3+2X4+3X5+4X6+97X99+98X100。再除以100.方法一：再看每个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.O.l0.3+0.20.4+0.30.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.810.0=(1X3
17、+2X4+3X5+4X6+97X99+98X100)100=(l2+l)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(97X98+97)+(9899+98)100=(l2+23+34+4X5+97X98+9899)+(1+2+3+4+-+97+98)100=(-9899100+-9899)10032=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.30.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8X10.0=(l3+24+35+46+-+97X99+98X100)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)1
18、00=(+22+32+42+52+992-99)100=(-99100199-99)1006=16.5X199-0.99=16.5X200-16.5-0.99=3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.l2+23+3X4+(n-l)n=-123+233+343+(n-l)n33=-Xl23+23(4-l)+34(5-2)+(nT)nn+l-(n-2)31Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+一=X3-(w-1)n(-2)+(-1)n(n+1)=；X(-1)XX(+1)6.计算以下式子的值：【分析与解
19、】虽然很容易看出=_1一_1可是再仔细一看，并没有什么效果，23234545因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式I2 +22 +32 +t2 h(h + 1)(2-1)l2+22+32+n2=-n(n+l)(2n+l),于是我们又有6减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个呢？/111/111=24X(1F-)-6(1FH)2x34x5202112323510ll12/111、/111-24(1f)24X(11*-)二 24 X2345202124346520222120x22x21)+()+(24
20、34546520x21二 24x(+一，于是为199997999800002.1999.979998600il丽(999 9 - (999 9) +125031999979998000022003个92003个02 .计算IU1-2222=AXA,求A.20(M个I1002个2【分析与解】此题的显著特征是式子都含有Ill1,从而找出突破口.r?Vl1111-2222=mIOoo0-11J12004个I1002个21002个11002个01002个1=l1111002个I=11lIX1002个I=IllIX1002个I所以，A=3333.1002个33 .计算66666666X25的乘积数字和是
21、多少？20淞62003个6【分析与解】我们还是利用9999-10000-1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999,于是我们就创造条件使用：=999 9-999 94008yH)72004个9=100lll_1-50X11114008个12004个1=Illl-55550(求差过程详见评注)4008个2004个5=m10555502004个12004个5所以原式的乘积为Ill10555502004个I2004个5那么原式乘积的数字和为IX2004+5X2004=12024.评注：对于Ul-55550的计算，我们再详细的说一说.4008个120(M个500-5555Q2005个1200
22、5个02003个12004个5-Hl109999+1+111100-5555Q20(M个12005个92003个12004个5=QJ3Q44449+小IJOl200个I2004个42xaz-l=Hl_J055552(XM个2OO44k54 .计算些22222的积？1998个21998个2【分析与解】我们先还是同上例来凑成9999；*r/=-99992222Q1J3171998个91998个2=-fl0000-l1x2222Q7I1998个01998个210000-1X444-4=_9I1998个0)1998个444440000-444419984,419984k0I994)=/4443送三6（
23、求差过程详见评注）y1997个41997个5我们知道4444能被9整除，商为：049382716.9个4又知1997个4,9个数一组，共221组，还剩下8个4,那么这样数字和为8X4:32,加上后面的3,那么数字和为35,于是再加上2个5,数字和为45,可以被9整除.4443355能被9整除，商为04938271595；我们知道5555能被9整除，商为：061728395；杯5这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除.55556能被9整除，商为0617284.6不5于是，最终的商为：评注：对于44440000-4444计算，我们再
24、详细的说一说.1998个41998个01998个4444400-44441998个41998个O1998个4=444439999-44441997个41998个91998个4=444435555+11997个41998个5=4444355556.1997个4199745二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等.-199819981998)199919991999)1999I1MSzIWS199S个川【分析与解】199819981998=19981001100110011998个19981998个IOol原式=1998(l+100
25、01+100010001+10011001.1001)1999(l+10001+10001000l+1998ybl00l-100110011001)1999=199819991999=1998.1998个100l6.试求1993X123X999999乘积的数字和为多少？【分析与解】我们可以先求出1993X123的乘积，再计算与(IOoOoo0D的乘积，但是1993X123还是有点繁琐.设1993X123=M,那么(IOooXI23=)123000QK(2000X123=)246000,所以M为6位数，并且末位不是0；令M=abcdef那么MX999999=MX(1000000-1)=1OOOO
26、OOM-M=abcdefabcdef=HC呵(71)999999+1-abcdef=0ZcJ(-l)(9-a)(9-)(9-c)(9-J)(9-e)(9-)+l=0cdf(-l)(9-a)(9-Z)(9-c)(9-d)(9-e)(9-+l)那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+l)=96=54.所以原式的计算结果的数字和为54.评注：MX2999的数字和为9Xk.(其中M的位数为X,且xk).k个97.试求9X99X9999X99999999XX999999999999乘积的数字和为多少？256个9512个91024个9【
27、分析与解】通过上题的计算，由|题评注I：设9X99X9999X99999999XX999999999999=M,256个9512个91024个9于是MX999?类似)题旌I的情况,于是，确定好M的位数即可；1021个9注意到9X99X9999X99999999X义99999999=M,256个9512个9那么XKloXlOOXIOoOI3X1000000OOXXlOOOOXlooO0=10000256个O512个0JkT其中k=l+2+4+8+16+512=1024-1=1023；即M10000,即M最多为1023位数，所以满足出题的的使用条件，那么M与9999乘积的数字1023个01024个
28、9和为1024X9=102401024=9216.原式的乘积数字和为9216.三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法.8 .我们定义完全平方数A2:AXA,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数;：【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121=112;12321=Ill2;1234321=11112于是，我们归纳为1234n4321=(Hl1)22272=77777772.所以，题中原式乘积为7777777的平方.评注：以上归纳的公式1234n4321=(1H1)2,只有在n10时
29、成立.n个19 .444488889求A为多少？2(XM个42疝不T求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【分析与解】方法一：问题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有诟488889可以看成石488889,其中n=2004;2004个4200378寻找规律：当n=l时，有49=7?；当n=2时，有4489:67?；当n=3时，有444889=667；于是，类推有444488889=6666722004个42003个8K)36方法二：下面给出严格计算：4444888丽二4444000.0+蹩齿+1；2004个42003个82004个4
30、2004个02004个8那么44440000+8888+1=1111(4X10000+8)+12004个 4IibJX：（） 1 八：2004 个 042004 个 82004 个 12004 个 0(999 9+1) +8 +12004 个 91 1 1 1 1。1人：4(999 9) +12 +12004 个 9=(HbJ)2004 个 1236+12lll 1+12004 个 1=(111 1)2004 个 126 (6111 .1) +1lzr-l1 m个S166 个 6167 个 4166 个 82004个1=(66667)2003个6由知丽488889=666672,于是数字和为(
31、4n+8n8+9)=12n+l=2005;n-l个6于是，n=167,所以444488889二666672,所以存在，并且为444488889.10 .计算6666X9X333.3的乘积是多少？2008 个 62008 个 3【分析与解】采用递推的方法6X9X3=162；66X9X33=19602；666X9X333=1996002；于是，猜测666693333=19999600002nyb6113T个9nT个0666693333=199996000022008个62008个32007个92007个0评注：我们与题1比照，发现题1为6666933333使用递推的方法就有障20,62疝彳、3碍，
32、9999=1Ok-I这种方法适用面要广泛一点.k9练习1.设N=666697777,那么N的各位数字之和为多少？2000付2007个7练习2.乘积99999999的积是多少？各位数字之和又是多少？1999个9199处9练习3.试求IUJXU_1的各位数字之和是多少？2008个12008个I第4讲比例和百分数本钱、利润、价格等根本经济术语，以及它们之间的关系.各种数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰中选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算.1 .迎春农机厂方案生产一批插秧机，现已完成方案的56%,如果再生产5040台，总产量就超过方案产量的16%.那么，原方案生产插秧机多少台？
33、【分析与解】：5040(l+16%-56%)=8400(台).2 .圆珠笔和铅笔的价格比是4：3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问圆珠笔的单价是每支多少元？【分析与解】：设圆珠笔的价格为明那么铅笔的价格为3,那么20支圆珠笔和21支铅笔的价格为204+213=143,那么单位“1”的价格为X.5143:0.5元.所以圆珠笔的单价是0.5X4=2(元).3.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.东院养鸡40只：现在把西院养鸡总数的！卖给商店,4卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%.原3来东、西两院一共养鸡多少只？【分析与解】：方法一：设
34、原来东西两院一共养鸡X只，那么西院养鸡(工-40)只.依题意：.(-40)H-!1 + 40 = x,解出 x = 280. 3J 2即原来东、西两院一共养鸡280只.方法二：50%即东、西两院剩下的鸡等于东院的！加上西院的L,即20+L西院原养鸡数.2222有东院剩下40只鸡，西院剩下原1一*的鸡.4312所以有西院原养鸡(4020)(L-9卜240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只.(212；4 .用一批纸装订一种练习本.如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185本，那么还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张？【分析与解】方法一：装订120本，剩下40%
35、的纸，即用了60%的纸.那么装订185本，需用185X(60%120)=92.5%的纸，即剩下1-92.5%=7.5%的纸，为1350张.所以这批纸共有13507.5%;18000张.方法二:120本对应(l-40%=)60%的总量，那么总量为12060%=200本.当装订了185本时，还剩下200T85：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：135015=90张，那么200本需200X90=18000张.即这批纸共有18000张.5 .有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%,总人数增加16人.那么现有男同学多少人？【分析与解】男生增加25人，女生减少5%,而总人数增
36、加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有95%=180人，那么男生有325-180=145人.增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人.6 .有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么，这堆糖果中有奶糖多少块？459251【分析与解】方法一：原来奶糖占=,后来占因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也1002010049比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(4x1)=20块.209其中奶糖有20X=9块.20方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45%：(l-45%)=9:11,设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份.
37、现在奶糖与其他糖之比是25%：(1-25%)=1:3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，1份即1块.奶糖占9份，就是9块奶糖.7.甲乙两包糖的重量比是4：1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7：5.那么两包糖重量的总和是多少克？【分析与解】两包糖数量的总数是107、7 + 5；132= 10-= 466013克.8.有假设干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中自子都占28%.小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32%.那么，共有棋子多少堆？【分析与解】方法一：设有X堆棋子，每堆有棋
