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1、HPM视角下的函数单调性教学案例研究函数这个词则是由李善兰翻译而来，李善兰在翻译代数学（1859年）一时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量X,则该式子叫做X的函数。函数即是变化，研究函数因变量随着自变量的变化而变化就很有必要。（一）问题情境下图是常州市1月份某天24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图：问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或逐渐下降的？设计意图：借助生活中的气温变化图来感受温
2、度的上升和下降，培养学生图形语言与代数语言相互转化的能力，学会用数学的眼光来观察世界，用数学语言来表达世界。（二）学生活动问题2：4点到14点，图象呈上升趋势，气温在逐步升高，如何用数学语言刻画呢？教学预设：大多数同学能够回答出温度随着t的增大而增大。问题3:更为一般地，函数y=f（x）的图象在区间I上逐渐上升如何描述呢？问题4：增大这个词，在数学中涉及到数量的不等关系，能不能从数学语言上再深度刻画一下呢？教师预设：取两个数玉、x2,W玉时/*2）/（百）问题5:反过来成立吗？问题6：取3个数呢？问题7：那你觉得需要多少个？教师预设：学生经过思考，可能会得出无数和任意个。由此得出三个方案方案一
3、：当王X2，则/（西）/（42）方案二：当再V/工3工4，则/（再）/（工2）/（工3）/（工4）”.方案三：任意的MV/，则/（%）/（电）经讨论，最终确定方案三。设计意图：初中阶段学生对上升的描述即为增大，通过教师与学生的交流，将文字语言逐步转化为更为抽象的数学语言，在对话中提升文字语言转化为符号语言的能力，发展数学抽象核心素养。(=)建构数学问题8：一般地，如何描述增函数的概念？教学预设：通过上述的抽象过程，学生能基本描述出函数的单调性的概念，但容易忽略研究区间，需要老师进一步提醒。问题9：类比增函数与增区间，如何定义减函数与减区间？问题10：概念辨析若定义在R上的函数/(X)满足/(2
4、)/(1),则函数f(x)是R上的增函数；若定义在R上的函数/(X)满足/(2)/(1),则函数/(X)在R上不是减函数.设计意图：在建构完概念后，反思辨析对进一步理解和同化函数单调性概念很有帮助。(四)数学应用例1画出下列函数图象，并写出单调区间：(1)y=-x2+1(2)y=(x0).X问题11：你能找出气温变化图中的单调区间吗？设计意图：例1(1)是利用学生熟悉的函数图象判断函数的单调性，写出单调区间。(2)函数帮助学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质。同时设置问题11帮助学生将所学的理论知识再应用到生活情境，由生活情境提炼出数学知识，再将数学知识应用
5、到生活实际，体现数学的实用价值。例2证明：函数八工)在隼间(一小,国减函数.设计意图：借助例2指出函数单调性证明的关键步骤。作差比较大小是常用方法，他的基本步歌是“取值一作差一变形一定号一结论”，其中取值是起点，变形是过程。问题12：记必一必=4，工2一玉二A那么函数的单调性与电的符号有什么关系？x设计意图：为后续函数的单调性与导数的关系作铺垫，同时引导一些思维水平较高的学生自主探究，获得相应的发展。(五)回顾反思问题13：我们是如何研究函数的单调性的？设计意图：引导学生回顾整节课的研究历程，经历图形语言、文字语言、数学语言的相互转化，积累了基本的活动经验，为后续学习函数的其它性质提供认知准备与思维范式，体现大单元的教学理念。参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)M.北京：人民教育出版社，2020：8
