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1、3.3对数函数y=logax的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如y=Iog0且。声D的函数叫对数函数.2.对数函数y=logx（a0且。1）的图像和性质。y=Ioga4ala图像L0,)性质（1）定义域：（0,F8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,-8）上是增函数（1）定义域：（0,+8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,+）上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在X轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0,1）过定点（0,1）0a0时,0y
2、l;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当xl图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；al自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x0时,yl;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y(),。工1.已知函数F=log,(x+加的图象如图所示，求。与人的值.【分析】由图象可知，函数图象过点(-2,0),(0,2),将点的坐标代入函数中，可得关于。力的方程组，从而可求出。，力的值【详解】由图象可知,函数y=iog0时，根据函数的极值可以排除C、D,当xO时，/(x)=x-,在X=I处取得最小值，排除C、D,X当XVo时，/(X)=L-X为减函数
3、，X故选:A.3(多选).在同一坐标系中，函数)，=(尸与y=logilM0,且。01)的图象可能是()【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当l时，丁=定义域为R,且在R上单调递减，y=bg,d定义域为(0,+),且在(0,+8)上单调递增，D符合；当00且l,。，人为常数)的图象如图，则下列结论正C. OVaV1, b0, -1 Z?0D.0aO,即b-l又因为函数图象与丁轴有交点，所以b0,所以TbaC. cabC的大小关系是()D.acb【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.【详解】y=OgaV的图象在(0,+o)上是上升的，所以底
4、数l,函数y=logZ?x,y=Iogcx的图象在(0,+)上都是下降的，因此Zbc(0,1),又易知c，故cZ?.故选：D.3 .已知函数Ar)=Ina+)的图象不经过第四象限，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.(0,1D.1,+8)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得.【详解】/U)的图象是由Y=Inx的图象向左平移。个单位所得.y=lnx的图象过(LO)点，函数为增函数，因此l.故选：D.二、多选题4 .已知函数g(x)=log(x+A)(0且QHl)的图象如下所示.函数，(力=(Z-I)一一片的图象上有两个不同的点A(y),(x2,y2),则()B
5、. f(x)在R上是奇函数C. /(X)在R上是单调递增函数D.当x0时，2(x)(2x)【答案】BCD【分析】对于A结合对数型函数图像相关知识求解;对于B运用定义法判断是否在R上是奇函数；对于C运用定义法判断函数单调性；对于D通过作差法并对式子变形即可判断.【详解】对于A,由图像可知，函数g(x)=log,G+A)(0且4)在(-2,+00)上单调递增，所以al,因为g(x)经过(TO),所以g(T)=log(T+*)=0,所以=7+0k=2,故A错误.对于B,f(x)=ax-axf定义域R关于原点对称，f(-力=。一-/=-(x),所以f(力在R上是奇函数，故B正确.对于C,对于fa)=。
6、，由题意不妨令小cRgcR，贝U6小)十一巾TMm+等,因为x1x2,x1,x2/?,at所以再+町+10,优曰20,外-优20,即/(%)/(电)，所以力在R上是单调递增函数，故C正确.对于D,2/(刈_/(2力=2(/_才(储力=2(/_)_(/_武)”+)=(优_/)(2_优_)J=丫2a-aJ=YaJ)ST2=卡+DST)3,因为,壮0,所以I)ax)crxa2tx+lO,(-l)3O,O,所以Y+WT)o,当且仅当X=O时等号成立，即当a2xx0时，2(x)(2x)成立，故D正确.故选：BCD题型四：对数函数图像过定点问题1 .函数/(X)=logrtXAa。且1)的图象所过定点的坐
7、标为.【答案】(LO)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得/=0,X)的图象过定点(1，。)，故答案为：(1,0)2 .函数y=kg,+l)+l(l)必过定点.【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令X=O即可确定定点.【详解】由对数的性质知：当=0时y=logj+i=i,所以函数必过定点(0,1).故答案为：(0,1)3 .己知()且l,若函数/(另=45+与江力=108,(4-1)+4的图象经过同一个定点,jlJn+n=.【答案】1【分析】由Iog“1=0可得出函数g(x)所过定点，再由=l可得出血的值，得出答案.【详解】函数江=1吗,(工-1)+4的图象经过定点(2,4
8、)所以/(力=+”+的图象也过定点(2,4),即2)=诡+=4则用=-2,=3,所以6+=1故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1 .己知函数/(力=1陶,(工+3的图象如图，则彷=.【答案】8【分析】由图像可得：/(x)过点(TO)和(0,2),代入解得纵b.【详解】由图像可得：/(x)=(x+b)过点(TO)和(0,2),则有：Py,I),解得f二：ogwZ=2a=2cb=S.故答案为：8.2 .lglogiw(0ml,0n).32【答案】iog；，则需，.故答案为：g2X的图像先向平移个单位，再向上移动2个单位.【答案】左1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得
9、到答案；【详解】Vog2xlog2(x+l),图象向左平移1个单位，log2(+l)log2(+l)+2,图象向上平移2个单位,故答案为：左，1题型六：对数函数单调性1 .下列函数中，在区间(0,y)上单调递减的是()A.y=Iog2XB.y=2rC.y=y+1D.y=x3【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数y=iog2”的定义域为(0,+g),且在(o,y)上单调递增，A选项错误;B选项：函数y=2=g)的定义域为R,且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数y=77T的定义域为T,go),且在卜1,转)上单调递增，C选项错误;D选项：函数y=的定义域为R,且
10、在R上单调递增，D选项错误；故选：B.2 .已知1%(/+1)叫.(2)，则实数0的取值范围是.【答案】(0,1)【分析】对。进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得。的取值范围.【详解】当O2,6-2+1=(-i)20恒成立当I时，y=IogaX在(0,+8)上递增,a2+log,则底数。的取值范围为.【答案】(l,*o)【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断的范围.【详解】若OVaV1,则log,210乳1,符合题意；综上，al.故答案为：(l,0).题型七：对数型复合函数单调性1 .己知函数/(x)=log2(-Y-4x+5),则函数/()的单调递增区间为()A.(o,-2)
11、B.(-5,-2)C.(-2,1)D.(-2,+)【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数/(幻=1。区(-/-44+5)有意义，贝j-f-4x+50,解得5VXV1,即函数/3的定义域为(-5,1),函数=_/_4x+5在(-5,-2)上单调递增，在(一2,1)上单调递减，而函数y=log2在(0，+8)上单调递增，因此函数/(x)在(-5,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，所以函数/U)的单调递增区间为(-5,-2).故选：B2 .若力=晚2任-依+6)在区间-2,2)上是减函数，则实数。的取值范围为()A.4,5B.(4,5C.4,5)
12、D.5,+)【答案】A【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性，结合二次函数性质，列不等式组即可得解.【详解】Sg(x)=X2-ax+6f由题意得：ger)=-v+60在1-2,2)上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数8(工)=必一+6在-2,2)上单调递减，-2则有，2,解得：4a5.g0故选：A3.函数/(x)=ln(x2+4x-21)的单调递减区间是.【答案】SL7)【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使/(x)=In(X2+4x-21)有意义，则炉+4,解得X3,/(x)=ln(+4x-21)(-,-7)u(3,+),z=x2+4x-21,x(jo,-7)
13、j(3,+),则y=ln，因为y=ln在定义域上单调递增；4=W+4x-2Lx4-,-7)53,)的增区间为(3,+),减区间为(-,-7),所以根据复合函数的单调性可得/(x)=ln(Y+4x-21)的递减区间为(-,-7)故答案为：(-,-7)题型八：对数函数单调性应用1 .BlO=21ne=lni,c=10lge,则O,bfC的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.bc11),.ab,.C=IOlsc=e,.cab.故选：C.2 .已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e-e,实数也满足不等式/例-2M+/(2-)0,则下列结论正确的是()A.eff,2ewB.若一1,贝J2w
14、+1mC.ln(w-H)0D.,w20222022【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到+利用不等式的性质即可一一判断.【详解】力的定义域为R,/(-x)=ev-e-jf=-(x),所以“X)是奇函数.因为y=e=,y=-e，在R上都单调递减，所以f(x)在R上是减函数.又/(3-2m)+(2-)0,则/(3-26)一/(2-)，gp(3-2m)y(n-2),所以3n-2z/7+1.因为y=e在R上是增函数，所以ee+2e,故A正确；因为T,所以+lnm(n+)-n(m+)tn-n所以-7=Z=-T_八，故B正确；m+lmmym+)n(n+l)因为y=lnx在(0,+e)上是增
15、函数，所以ln(L)lnl,即ln(m-)0,故C正确；取m=1,=一3,满足相+1,但m202222不成立，故D错误.故选:ABC.3 .已知/(X)=八二+2&：(a。,。)是R上的减函数，则。的取值范围是.logdx,xl1n【答案】【分析】根据一次函数和对数函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式,求解即可.【详解】根据题意可得：5-l0,0ao且=(14,解得=4.故答案为：42 .设函数/W=og在区间。，2上的最大值与最小值之差为g,则=.【答案】4【分析】由题意可得og(2)TogM=从而可求出。的值【详解】因为l,所以/(X)=IOgar在m2上递增，所以IOg
16、a(2a)IOgaa=3,即IOga2=；,所以=4.答案：42a-ax43 .已知函数x)=一，若/力存在最小值，则实数。的取值范围是.log2x,x4【答案】(y),-2【分析】根据分段函数的解析式讨论X的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当xl和0时，函数y=log.X单调递增,3 3x-ymin=1gw3-Iogu2=Iogu-=1,解得。=5，符合题意；当0val)的反函数，且八外在区间。,2句上的最大值与最小值之差为L则。的值为.【答案】2【分析】由题意知：/(乃二1。8”且在5,2上单调递增，由此即可列出等式，解出答案.【详解】因为f(x)为函数,，=优
17、的反函数，所以/()=iog,又al,所以/(幻=Iog“x在42可上单调递增，所以当X出,羽时/(x)min=f(a)=Iogrt=1,f(x)ma=f(2a)=Iogrr伽)，由题意，log(2a)-l=l,所以logl,所以g)0,因为函数g(x)的图象与直线产无交点O；题型十一：对数函数最值与不等式综合应用1 .设X,y是实数，则Ovxvl,且OVyVI是logzX+log?”。”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先判断“Ovxvl,且0yl能否推出log2x+log2J0;再判断log2X+log2y0能否推出“
18、0VXV1,且OVyV1，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若Ovxvl,且0yvl,贝JOW1,Iog2x+Iog2y=Iog2xyIog21=0,所以Ovxvl,且0yl是1%工+1。82丁。充分条件；log2x+log2y0,则log2x+log2、=IogzDVlogzl=O,可得个1,但得不出“Ovxvl,且0yl,如X=77，y=2可得log2X+log2yO,所以log2X+log2y0得不出Ovxvl,且OVyV1”,所以Ovxvl,且0yl是Iog2r+log2y0且。工1)在(,g上恒成立，贝心的取值范围为【答案】；，1)【分析】依题意，令MX)=Iog-歹+2,则g(x)卷,0,对。分情况讨论，结合单调性即可求解.【详解】解：不等式97ogW2,在XW(OT时恒成立=log-9+20,令MX)=Iog/-9A+2,1e(0,gMX)L之0,当l时，=logfl-3+20,不满足题意;当OVaV1,此时（X）在（,g内单调递减，W(x)L=入0=log；4+2O,.logfl-2=l,.441,2故答案为:
