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1、2018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试卷（课程代码02198）本试卷共4页，满分100分，考试时间150分钟。考生答题注意事项：1.2.3.4.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0.5亳米黑色字迹签字笔作答。.合理安排答题空间，超出答题区域无效。说明：在本卷中，Zr表示矩阵力的转置矩阵，/表示矩阵Z的伴随矩阵，E是单位矩阵，I胃表示方阵/1的行列式，r（表示矩阵力的秩.第一部分选择题一、单项选择题I本大题共
2、5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。1.行列式-35210-2中元素4的代数余子式等于A. -40B. -10C.10D.40A. 一3B. 2C.D.3.下列矩阵中不是初等矩阵的是A.B.0 0 Oj00 bC.10100、 0LD.(0(60、 0Ijr12-104.设分块矩阵力=3.丹)，其中(i=l,2,3)是3维列向量，3=-I102、2I3-1则力8的第3列是A.al-a2+2a3B.2a1+a2+a3D. Ia2 - a3C.-a1+3a35 .设向量组%,%，%线性无关，4线性相关，则下列结论中塔旗的是A. %,a2线性无
3、关B.可由线性表出C. a1,a2,a3,a4 线性相关D.线性无关第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。01I6 .行列式101=.1107 .若行列式知&中元素的代数余子式为&CJ=I,2),则%&+%&=_a2a228 .矩阵(4E)经初等行变换化为(E,8),贝J3=.f1、9 .已知矩阵Z=,则2-2Z+E=UOj，10 .设向量q=(l,l,l)T,a2=(l,l,0),03=(1,0,0),A=(1,2,3)1则仅由向量组4，%,%线性表出的表示式为11 .设/1是5x6矩阵，r(4)=3,则齐次线性方程组力X=O的基础解系中包含解向量的个数为.11
4、2.已知线性方程组0 *1、2a + ly/ 、再2(1、3无解, Z则数O=13 .设=(l,l,-2)T是3阶矩阵N属于特征值;1=2的特征向量，贝j4=14 .设4=-2是阶矩阵4的一个特征值，则矩阵3E-/1必有一个特征值是.15 .若实二次型/(xl,x2,x3)=x12+4xj+4xj+2xix2正定，则数的取值范围为三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。a2abb216 .计算行列式2aa+b2b的值.111O17.已知矩阵力=O,若矩阵X满足等式X4=25+X,1求X.18.设向量=(l,-l,2)T,P=(1,3,2)T,S,A=a,求/和/.19.求向量组a =
5、 4、2,-】、q= 1的一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大线性无关组线性表出.20 .设4为3x4矩阵，r(4)=2,且已知非齐次线性方程组4x=b的3个解为7=(1,-LO,2)T,72=(2,1,-1,4)t,=(4,5,-3,11)t,求(1)齐次线性方程组ZX=O的通解；(2)非齐次线性方程组4r=b的通解.133、21 .求矩阵4=021的全部特征值与特征向量，并指出4能否对角化.&-4-3,22 .求正交变.换X=4，将二次型/&外)=3片+3*+4护2化为标准形，并写出相应的标准形.四、证明题：本题7分。23 .设向量组,4,a3线性无关，且6=占4+&。2+勺证明：若K
6、0,则向量组绝密启用前2018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题答案及评分参考（课程代码02198）一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。1. B2. B3. A4. C5. D二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。6.27.0(2-28.A19.-22)10.=3ai-a2-ay11.312.-113.(2,2,-4)14.515.-22三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。16.解a2 ab2a a + b1 1b22ba ab-a2a b-a10b2-a22b-2a0ab-a2b-ab2-a22b-2a= (6-)2 = (a-
7、b)317.解将等式X4=25+X整理为XG4-)=25由于1-E3 2 J1 0 可逆，且(X-E)T= 00 OJ得到 X = 2B(A - E)-1 = 2 2、30 00 11 -2-201-21-210 0、22、 0 Oj 918.解 A = a =1132 44,0=(aArX)(r) =a(a)9 =(a)9a(1、乂夕Ta=(1,3,2)-I=2、2,r132、从而H=29/4=2。132、264,2分01-2-1、19.解/1=(a1,2,3,a4)=4141、203Iy01-2-10000所以向量组的一个极大无关组为名,见，且3。3=5/一2%，4=-,-29分(极大无关
8、组不惟一)20.解(1)由题设知名=小-7=(1,2,-1,2)T,4=q-7=(3,6,-3,9)丁是4r=0两个线性无关的解，4分又AX=O的基础解系由-r(l)=4-2=2个解向量构成，因此/Ix=O的通解可表示为a=kiak2a2,左为任意常数7分-3-321.解E-A=O-2-1=(2-l)2(2+2)O4+3故/1的特征值为4=%=1，入3=-24分对于4=乙=1，求解齐次线性方程组(E-)x=0,得到基础解系a1=(l,O,O),2=(0,-l,l)从而/1的属于特征值4=石=1的全部特征向量为Kal其中占，质是不全为零的任意常数对于A=-2,求解齐次线性方程组(-2E-)x=0
9、,得到基础解系,=(3,l,-4)从而力的属于特征值乙=-2的全部特征向量为七%，其中L是不为零的任意常数7分因为3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以Z可以对角化9分22.解二次型的矩阵为432|出止=U-5X-1)-2A-J故4的特征值为4=5,4=14分f对于4=5,方程组(5E-z4)X=O的基础解系。=,单位化得I1,Pl =1/行 J/A对于4=1时，方程组(E-4)x=O的基础解系$=，单位化得Pl=由此得到正交矩阵P=W一咬，则所求正交变换为X=Ml212J相应的标准形为f=5yf+yl9分四、证明题：本题7分。23.证设存在常数山山，使得3+，2%+，3%=。2分将A=KaI+k2a2+k3ay代入上式，得到1(Kal+k2a2+kia3)+t2a2+t3ai=O整理得1,a1+(r12+t2)a2+(tlk3+t3)a3=O4分由于%,4,%线性无关，则必有z=/2+q=0冉+G=0乂已知占0,故依次推出乙=0,G=O,4=0，从而夕。2，%也线性无关7分
