《3.3.2抛物线的几何性质（七大题型）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3.2抛物线的几何性质（七大题型）.docx（50页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、3.32抛物线的几何性质课程标准学习目标能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想.(1)掌握抛物线的几何性质.(2)会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点Ol抛物线的简单几何性质抛物线标准方程/=2px(p0)的几何性质范围：xx0,yyR,抛物线V=2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式xO;当X的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.对称性：关于X轴对称抛物线y2=2px(0)关于X轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.顶点：坐标原点
2、抛物线5=2p(0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是(0,0).离心率：e=.抛物线V=2p(0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表不，e=l.抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径.因为通过抛物线V=2px(p0)的焦点而垂直于X轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为(导p)(，-)，所以抛物线的通径长为2”.这就是抛物线标准方程中2的一种几何意义.另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄.【即学即练1】(多选题)(2023,高二课时练习)对
3、标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线丁=IOx的有()A.焦点在y轴上B.焦点在X轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)【答案】BD【解析】由抛物线y2=IOx的焦点坐标为尸,0),位于X轴上，所以A不满足，B满足；对于C中，设M(l,%)是抛物线V=上一点，尸为焦点，贝q=l+=l+=g6,所以C不满足对于D中，由于抛物线V=10的焦点为广(|,0),若由原点向该直线作乖线，乖足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=Mx-),则欠=-2,此时该直线存在，所以D满足.故选：BD.知识点02抛物线标准方程几何性质的对比图形
4、4标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)X2=2py(p0)X2=2py(p0)顶点ao,o)范围.r0,y?x0,yeRy0,XWRy0恰恰说明定义中的焦点产不在准线/上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值,才易于确定焦点坐标和准线方程.【即学即练2】(多选题)(2023广东佛山高二统考期末)已知抛物线C:V=4的焦点为E过户的直线与C交于4、8两点，且A在X轴上方，过4、8分别作C的准线/的垂线，垂足分别为4、B)则()A.OAA.OBB.若IAFl=5,则A的纵坐标为4C.若AF=2FB,则直线AB的斜率为2D.以/V*为直径
5、的圆与直线A8相切于尸【答案】BCD【解析】由题意可得：抛物线C：丁=叙的焦点尸(1,0),准线/：x=T,设直线为X二吁0),8信必)，则4(T,y),9(Ty?)，JVI)，=：X，消去y可得：y2-4my-4=0.则=16/+160,y1+y2=4m,yy2=-4,ULr(V2、UlM(#、对A：.OA=,08=，I4I47UUTIUB(V,LfOAOB=-+y1y2=-30*162.,.OA.OB不相互垂直，A错误；对B：.AF=1=5,则y=4或=4(舍去)，洛的纵坐标为4,B正确；UIIO(v2UIfv2对C：Ar=l-勺yFB=玄_1,网)且A尸=2所，-Ji=2%1=22X=-
6、20-X=2%，则，yl+y2=4mt解得,.y2=-近或，M=应(舍去),JM=-42m=42m=4故直线AB的斜率A=L=2四，C正确:m对D：V=4mA,B,=(y1+y2)2-4y1+y2=4+l,A1B1的中点M(T2)到直线AB的距离d =-1 -2w-ljm2 +1= 2+I=iA,B,又VMF=4+W=2m2+1=A,B,故以AE为直径的圆与直线43相切JFfD正确;故选：BCD.知识点03焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为(%),焦点、为F.1、抛物线y2=2px(p0),P尸I=AJ+5=不+5.2、抛物线V=-2PX(P0),PF=x0-=-x0+-3、抛物线2=2py0
7、),仍尸J=%+与=先+与.4、抛物线d=_2p)，(p0),PF=y0-=-y0+-.【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【即学即练3】(2023云南昭通高二校考期中)设第四象限的点P(m,)为抛物线丁=上一点，尸为焦点，若IP尸|=6,则=()A.4B.-42C.-22D.32【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点坐标为(2,0),由抛物线的性质可得IPFI=m+2=6,所以加=4,将尸的坐标代入抛物线的方程：=8x4,所以=4母，又因为P在第四象限，所以=TL故选：B.知识点04直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置
8、关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点).2、以抛物线y2=2px(p0)与直线的位置关系为例：(1)直线的斜率不存在，设直线方程为X=。，若。0,直线与抛物线有两个交点；若。=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若。0),直线与抛物线的交点的个数等于方程组的解的个数，y=2px即二次方程+2(幼一P)X+/=0(或&2y2-2py+27=0)解的个数.若A0,则当()时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当A=O时，直线与抛物线相切，有个公共点；当A0)相交，有一个公共点.【即学即练4(2023全国高二课堂例题)(1)求过定点P
9、(T,1),且与抛物线J=2x只有一个公共点的直线/的方程.(2)若直线/：y=(+l)xT与曲线Cy2=r(a0)恰好有一个公共点，试求实数的取值集合.【解析】(1)由题意知，直线的斜率存在.设直线斜率为A,则切线方程为y-l=x+l),由Py+1)+1消去X,得处2_2y+2A+2=0.y=2x当2=0时，此时直线y=,与抛物线只有一个公共点g,l)；当A0时，所以A=4-4M2L+2)=0,解得&=昔叵，即过M点的切线有两条.所求直线/的方程为(6-1卜-2丁+6+1=0或(1+6卜+2产6-1=0.综上所述，所求直线/的方程为y=l,(3-l)x-2y+3+l=0,或(1+6卜+2“百
10、-1=0.(2)因为直线/与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组T只有一组实数解，y=ax消去了，得(+l)x-l=OV,即(4+l)22(3+2)x+l=0(D.当4+1=0,即=T时,直线为严-1,直线与曲线恰一个公共点(T,-D；当+lw,即OH-I时，由A=(3+2)2-4(+l)2=a(54+4)=0,解得a=0(舍去)或=-.4当=-M时，由方程化为+5)2=0,解得=_5,代入直线方程为y=gx-l,解得产-2,即此时直线与曲线恰个公共点(-5,-2).综上，实数的取值集合是-l,-1知识点05直线与抛物线相交弦长问题1、弦长设Ae为抛物线V=2px(p0)的弦，AUpj1),B(
11、x2,y2)f弦AB的中点为%).(1)弦长公式：ab=i+Fx1-2=+p-y1-y2(A为直线ab的斜率，且后工0).(2)心=，y0(3)直线AB的方程为y-%=(%-%).%【即学即练5(2023四川绵阳高二盐亭中学校考期中)己知抛物线的方程为y2=4xf过其焦点尸的直线交抛物线于AB两点，若4F=3F8,A却=()1.16A.J2B.3C.D.2【答案】C【解析】如下图所示：易知产(1,0),不妨设A(Xl,*),8(再,)；设直线的方程为x=my+l,与V=4x联立消去X得，y2-Atny-4=0.由韦达定理可知X+%=4m,y%=-4:由=3所可得Y=-3%；联立解得必=一26十
12、=(BPm2=1；根据焦点弦公式可得IAM=N+x2+2=町+1+四，2+1+2=m(乂+%)+4；代入计算可得IAM=4/+4=y.故选：C【方法技巧与总结】1、点尸(小,为)与抛物线y2=2p(p0)的关系(1)尸在抛物线内(含焦点)Uyjv2pxu(2)尸在抛物线上0n；=2pm.(3) P在抛物线外=y2px0.2、焦半径抛物线上的点P(XO,%)与焦点户的距离称为焦半径，若y2=2px(p0),则焦半径IP尸|=%+5，IpfI=R.IImax23、p(pO)的几何意义P为焦点/到准线/的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.4、焦点弦若AB为抛物线=2px(p0)的焦点弦，A(xp
13、l),Bx2,y2),则有以下结论:(1)XX2=.m4yMT.(3)焦点弦长公式1：AB=xl+x2+pt.+再2yXX2=P,当N=X2时，焦点弦取最小值2p,即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：,=(为直线”“与对称轴的夹角).(4) AO8的面积公式：SMoB=-(为直线AB与对称轴的夹角).2sina5、抛物线的弦若AB为抛物线V=2px(p0)的任意一条弦，(x1,y1),y2),弦的中点为M(Xo,%)(打工0),则(1)弦长公式:ab = i + a2Wrl = JI+|y-y2 = ）(3)直线A8的方程为y-%=上x-Xo)为(4)线段的垂直平分线方程为y
14、-%=-&(X-An)P6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(4法)4(1) V=Ar(AO)焦点为(A。，准线为=一444(2) f=Ay(A0)焦点为(0,4),准线为了=一24-4如y=4f,即/=2,焦点为(O,),准线方程为y=-L416167、参数方程丁2=2小(0)的参数方程为尸2-(参数“R)y=2小8、切线方程和切点弦方程抛物线/=2px(p0)的切线方程为y0y=p(+0),(,y0)为切点切点弦方程为y0y=P*+/),点(,y0)在抛物线外与中点弦平行的直线为NOy=MX+/),此直线与抛物线相离，点(%,%)(含焦点)是弦AB的中点,中点弦AB的斜率与这条直线的
15、斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果.9、抛物线的通径对于抛物线y2=2pxp0),由，P),过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.B(g-p),可得48=2p,故抛物线的通径长为2p.10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：y。=Rk11、焦点弦的常考性质已知Aaj)、8(%,必)是过抛物线)3=2PX(P0)焦点F的弦，M是Ae的中点，/是抛物线的准线，MNU,N为垂足.(1)以AB为直径的圆必与准线/相切，以A尸(或8尸)为直径的圆与y轴相切；(3) FNLAB,FCLFD(4) 12=；y1y2=-p2(4)设BoJ。为垂足，则A、。、。三点在一条直线上题型一：抛物线的
16、几何性质例L(多选题)(2023山东聊城高二校考期末)已知抛物线Uy2=8x的焦点坐标为F,斜率为2的直线/与抛物线交于AB两点，则()A.抛物线的准线方程为尤=2B.若I经过点F,则线段AB的长为10.C.线段A4的中点在直线)=2上D.以线段4尸为直径的圆一定与y轴相交【答案】BC【解析】对A：由抛物线Uy2=8x,可得其焦点坐标为尸(2,0),准线为x=-2,A错次；对B：若/经过点F,则Ly=2(x-2),设A(X,),8(孙)，?)，联立方程)，消去y得：X2-6x+4=0则办+=6,故IAM=玉+x2+4=10,B正确：对C二直线/的斜率为2,gt.y2x+btA(j,y3),(x
17、4,y4),联立方程y = 2x+b y2=Sx消去y得：4+(*8)x+6=0,则A。,/+5=2-6,故见+M=2(刍+/)+=4,故线段AA的中点的纵坐标为卫产=2,即线段48的中点在直线y=2上，C正确；对D：不妨设点A在第象限，如图，过点A作准线工=-2的垂线，垂足为E,交y轴于点D,则线段AF的中点M到y轴的距离IMNI=B（IOFl+AD）=1（DE+IADl）=TlA|=AF,故以线段诙为直径的圆一定与5轴相切，D错误.故选：BC.例2.（多选题）（2023高二校考课时练习）下列关于抛物线V=IOx的说法正确的是（）A.焦点在X轴上B.焦点到准线的距离等于10C,抛物线上横坐标
18、为1的点到焦点的距离等于D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为（2J）【答案】ACD【解析】抛物线V=IOx的焦点在X轴上，p=5,A正确，B错误；设M（l,%）是y?=上的一点，贝“M-=I+5=g=g,所以C正确；由于抛物线V=IOx的焦点为go）,过该焦点的直线方程为二中一号，若由原点向该直线作垂缘垂足为（2,1）时，则氏二-2,此时存在符合题意的垂线，所以D止确.故选：ACD.例3.（多选题）（2023全国高二专题练习）（多选）已知平面内到定点产（0,1）比它到定直线/：y=-2的距离小1的动点的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是（）A.曲线。的方程为V=4yB.曲线C关于轴对
19、称C.当点P（Ky）在曲线C上时，y2D.当点P在曲线C上时，点尸到直线/的距离dl【答案】AB【解析】由题意可知：动点到定点F（0,1）与它到定直线/：y=的距离相等，由抛物线定义，知曲线C是以尸为焦点，直线V=T为准线的抛物线，其方程为f=4y,所以A,B正确；由=4y知y0,点尸到直线/的距离d2,所以C,D错误.故选：AB.变式L（多选题）（2023甘肃兰州高二校考期末）关于抛物线V=-2x,下列说法正确的是（）A.开口向左B.焦点坐标为（-Lo）C.准线为X=ID.对称轴为X轴【答案】AD【解析】对选项A,y2=-2xf开口向左，故A正确；对选项B,y2-2xf焦点为（-则，故B错误
20、；对选项C,=-2x,准线方程为X=；,故C错误；对选项D,y2=-2xt对称轴为X轴，故D正确.故选：AD变式2.（多选题）（2023国高二专题练习）（多选）平面内到定点/（U）和到定直线/：丁=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.则（）A,曲线。的方程为f=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P（X,y）在曲线C上时，y2D.当点尸在曲线C上时，点尸到直线/的距离d2【答案】AB【解析】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线/为准线的抛物线，其方程为r=4y,故A正确；若点fy）在曲线C上，则点（-二丁）也在曲线C上，故曲线C关于轴对称，故B正确；由Y=4y知yO,故C错误；点P到直线，的距
21、离dl,所以D错误故选：AB变式3.（多选题）（2023高二课时练习）已知抛物线C：V=4x的焦点为产，点物（,人）在抛物线C上,若IM户|=4,则（）A.=3B.%=2C.IOMI=D.尸的坐标为（0,1）【答案】AC【解析】由题可知FaO）,由“户=为+1=4,=4x0,所以Xo=3,N）=23.故选：AC.题型二，直线与抛物线的位置关系例4.（2023.全国福二随堂练习）过点M（0,4）作直线/与抛物线V=8”只有一个公共点，这样的直线有几条？【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为X=O，此时与抛物线V=标只有个公共点（0,0）,符合题意.当百线的斜率存在时，设百线的方程为y=履+4,
22、y=履+4-、9，得22/+8伏-i)+i6=0,y=8当A=O时，符合题意；当左Ho时，由A=64(A-l)2-64/=0,可得左=；,即当A=；时，符合题意.综上，满足条件的直线有3条.例5.(2023全国高二课堂例题)已知点4。,2)和抛物线。：)，2=6工，求过点A且与抛物线C相切的直线/的方程.【解析】当直线/的斜率不存在时，由直线/过点A(0,2)可知，直线/就是y轴，其方程为X=0.由:消去未知数X得v=这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以宜线X=O与抛物线。y=6x相切.如果直线/的斜率存在，则设直线/的方程为V=去+2.由方程组EU+ZIy=6消去X,整理得02-6y
23、+12=O为了使得这个方程是元：次方程且只有个实数解，必须有人工0且(-6)2-412=0,3 因此可解得=.4止匕时直线/的方程为y=gx+2,即3x-4y+8=0.综上可知，直线/的方程为X=O或3x4y+8=0.例6.(2023河北邯郸高二校考阶段练习)己知曲线Cy=2x+3,直线/：个4=0,在曲线。上求一点P,使点P到直线/的距离最短，并求出最短距离.【解析】点P到直线/的距离最短，故点P是在曲线。上平行于直线/的切线的切点.设P(即%)，y=f()=-2x+3f由切线平行于直线/得：339Y/且|冶39所求最短距离d=片丁ZH=地28.变式4.(2023甘肃嘉峪关高二统考期末)在平
24、面直角坐标系Xoy中，点M到点户(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为&的直线/过定点P求直线/与轨迹C恰好有一个公共点时火的相应取值范围.【解析】(1)设May)是轨迹C上的任意一点，因为点M到点F(l,0)的距离比它到y的距离多1,可得IMq=N+1,即J(X-I)2+y2=W+,整理得y2=2+2x,4r00,x0(2)在点轨迹C中，iSC=4x(x0),Cj=0(x0),因为斜率攵的直线/过定点P(-2,l),不妨设直线/的方程为y-l=-x+2),y-i=k(x+2).联立方程组2(，整理得如24y+4(2k+l)=0,当A=O时
25、，y=l,此时X=；,可得直线/：y=l与轨迹C恰好有个公共点，)；当A0时，可得A=-16(2%2+1),不妨设直线/与X轴的交点为(Xo,0),令y=。，解得天)二号，=-16(22+A-1)0若直线/与轨迹C恰好有一个公共点，则满足2+1，XO=一g,综上，当女(-8,-I)LJw,+)-0时，直线/与轨迹C恰好有一个公共点.变式5.(2023高二课时练习)已知抛物线的方程为V=4y,直线/过定点,斜率为上当女为何值时，直线/与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【解析】由题意，可设直线/的方程为y+2=A(x+l),即y=+A-2,y=kx+k-2联立方程组二4,整理得2-4
26、H-4A8=0,X=4y则A=(-4幻2_4(8一42)=16(&2+&-2),当=()时，即女2+2=0,解得左二一2或2=1,此时方程只有一个实数解,即直线与抛物线只有一个公共点；当()时，即公+020,解得左1,此时方程两个不等的实数解，即直线与抛物线两个公共点；当AcO时，即X+2v0,解得-2%1,直线与抛物线两个公共点；当-2左0)的焦点，M(4,%)是抛物线C上一点，且IMQ=4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线/与抛物线C交于AB两点，且线段A8的中点坐标为(8,12),求直线/的斜率.16=2PyO(【解析】(1)由题可知，p,解得”，故抛物线C的方程为=8y.%+5=4
27、p=4(2)设A(XPy),8(孙必)，则F!1:1，两式相减得dT=8(yf),X2=X2即二为=笠工因为线段A3的中点坐标为(8,12),所以为+x2=16,则上二左二2,故直线，的斜率为2.例8.(2023陕西商洛高二校考期末)直线/：y=2x-与抛物线M：/=2px(p0)A,B两点，且IABI=5(1)求抛物线M的方程；(2)若直线r与M交于C,。两点，且弦CD的中点的纵坐标为-3,求/的斜率.【解析】(I)因为M的焦点为(5,0),且直线/：丁=2%-。经过点(,0),所以/经过M的焦点.联立卜2P,得4x2-6px+p2=0.y=2x-p设Aa,y),8(电,%),则用+电=?，
28、则IABl=M+a+P=5,解得p=2.所以M的方程为y2=4x.(2)设。(%)，。(七，”)，则及=钠=4七两式相减,得(%-%)(%+%)=4(七一元J因为为+M=2x(-3)=-6,Y,-V4442所以的斜率为=7=-.当一七+以一63例9.(2023全国高二专题练习)己知直线/与抛物线Uy2=8x相交于A、8两点.若直线/过点Q(4,l),且倾斜角为45,求IAM的值；若直线/过点。(4,1),且弦48恰被Q平分，求AB所在直线的方程.【解析】(1)因直线/的倾斜角为45,所以直线/的斜率k=tan45=1，又因直线/过点。(4,1),所以直线/的方程为：AI=X-4,即y=x-3,
29、联立y2=8x得f-4x+9=0,设4(5，匕J，B电心，所以4+4=14,XMf=9,所以IAM=(以公)(乙+4)2_4XEj=2(142-49)=85(2)因A、8在抛物线Uy2=8上，所以=84，次=8勺，两式相减得：-*=84-8/，得AZA=_=_L=B=4%+%2”2故直线/的斜率为4,所以直线/的方程为：y-l=4(x-4),即4x-y-15=0变式6.(2023高二单元测试)已知抛物线Uf=-2p),(p0)的焦点为EA(%-9)是抛物线C上的点，且HFI=I5.(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线/交抛物线。于M,N两点，且MN的中点为(6,T),求直线/的方程.【解析】
30、（1）因为IAH=9+=15,所以:12,故抛物线。的方程为V=-24y.(2)易知直线/的斜率存在，设直线/的斜率为长,y),N(w,%),片=-24%X=-24%,两式相减得片-W=-24(y-%),整理得2L二巨=-甘殳.A1X2/,y-y,121因为MN的中点为(6,-4),所以A=21T=-五=-5，所以直线，的方程为y+4=-；(x-6),Jx+2y+2=0.变式7.(2023高二课时练习)已知直线/与抛物线V=8x交于A,8两点，且线段AB恰好被点尸已2)平分.(1)求直线/的方程；(2)抛物线上是否存在点C和。，使得C。关于直线/对称?若存在，求出直线C。的方程；若不存在，请说
31、明理由.【解析】(1)依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设直线/的方程为x-2=m(y-2),即X=四，-2帆+2,x=ny-Im+2,),2_8X消去X得：y-8y+16w-16=0,=(Sm)2-4(16m-16)=64(m2-m+l)0,设A(Xpy),B(x2yy2),则有y+y2=8m,由4m=2,得m=g,于是直线/的方程x-2=；(y-2),即2x-y-2=0,所以直线/的方程为2x-y-2=().(2)假设抛物线上存在点C,。满足条件，由(1)设直线8的方程为y=-gx+%1y-X+Ehr2消去X得：/+I6-161=O,有=256+640,解得-4,=8x设C(,%)，以%
32、)，则为+y4=T6,于是线段CE)的中点坐标为(2+16,-8),19显然点(2+16,-8)在直线/:217-2=0上，即2(2+16)+8-2=0,解得ZI=一万0)的焦点为尸，过点F的直线/交抛物线于A,B两点，当/J_x轴时，IABI=I2.(1)求抛物线C的方程；(2)当线段48的中点的纵坐标为3时，求直线/的方程.【解析】(1)由题意得尸(为0),当/J_X轴时，A,B两点的横坐标为X=g,当x=时，y2=p2,解得y=p,.=2p=12,解得p:6,故抛物线C的方程为y2=i2x；(2)由(1)得尸(3,0),且直线/的斜率存在，设A(,yJ,B(x2,y2)9且工尸超，则y=
33、121,y1=2x1,.代一=12再一12占，即(,-)(*)=12,XIf线段A3的中点的纵坐标为3,C*=3,即y+%=6,2L二&二2,即直线/的斜率A=2,Xr2直线/的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0.变式9.(2023全国高二专题练习)在平面直角坐标系Xo)，中，尸是抛物线。：2=2氏(0)的焦点,V(XO,几)是抛物线。上一点，IMFI=5,KtanZOFA/=-.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线/与抛物线C交于A,B两点,且线段AB的中点坐标为(6,8),求直线/的方程.【解析】(1)因为V(XO,几)是抛物线C上一点，IMEI=5,HtanZOFA/=-,y：=
34、2p/所以0)的焦点为尸，点Pg,，在抛物线C上，且阳V(I)求抛物线C的方程；(2)过点。(4,2)的直线/与抛物线交于A8两点，且点。是线段AB的中点，求直线/的方程.【解析】由定义知阳=g+=g,解得P=4.所以抛物线C的方程为丁=8工(2)设Aa,yj,B(x2,y2),显然点。(4,2)在抛物线C内，且是线段AB的中点，所以Y+%=4,因为AB两点在抛物线C上，所以P二:噜，由-得(必-%)(%+,)=8(工2-5),2-3毛四故所求直线/的方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.题型四：焦半径问题例10.(2023全国高二期中)已知抛物线C：V=8x的焦点为产，点M在C上.
35、若M到直线4-1的距离为3,则IMrI=()A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】如下图所示：根据题意可得抛物线的准线方程为X=-2,若M到直线X=T的距离为必%=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM=4,利用抛物线定义可知MF=MM产4.故选：A例IL（2023高二课时练习）直线/经过抛物线X=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若IAFI=3忸耳,则|阴=（）9QA.4B.-C.8D.-24【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为（,o）准线方程为=-,设Aa,y）,B（x2,y2）,Ji2=6x1,y22=6x2,因为网=3阳，所以+=3卜+|）得X=3%+3,因为IA户|=3
36、忸F,所以IM=3|%|,即X=%,91由方程可得=5，X2=-,33所以IA3=x+5+/+5=%+/+3=8.故选：C例12.（2023广东珠海高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线UV=4x的焦点为尸，过尸的直线交抛物线于A、8两点，若AF=48尸|,则48的中点到准线的距高为（）a17n2125n29A.B.C.D.8888【答案】C【解析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可.己知抛物线C：V=4的焦点为F,过尸的直线交抛物线于A、B两点,设抛物线的准线交X轴于点N,A8的中点为P,过A8,P作准线的垂线使得AC_L8,BD工CD,PQ工CD,8E_LAeBE_LX轴于“，设W1
37、1=f,又IAFI=4BF,则IBDI=E,AFl=IAq=金,1 .BFMF,l3t则IAEl=3,，又才=鬲，则网与，QfS又lMN=f,则,M=M=P=2,KPr=-,则心叫回苧条故选：C.变式U.（2023福建福州高二校考期末汜知抛物线C:）,2=8X的焦点为尸，点M在C上,若M到直线x=-3的距离为6,则阳=()A.7B.6C.5D.4【答案】C【解析】设点(X。，几)，抛物线C的准线方程为x=-2,因为M到直线x=-3的距离为6,则0+3=6,可得x0=3,所以，IMFI=%+2=5.故选：C.变式12.(2023全国高二专题练习)已知抛物线TY=4y,尸为抛物线的焦点，尸为抛物线
38、上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为。若IPFl=IQ尸I,则尸。的面积为()A.4B.23C.D.83【答案】C【解析】抛物线的准线方程为=-1,焦点为尸(0,1),设点尸的坐标为(n)，则点Q的坐标为(见-1),IPQ=+1,由抛物线的定义知归目=IPa=+1，因为IP目=IQFl=w2+4，所以尸。为等边三角形，所以+1=G,又=；，所以帆=士2退，=3,所以点P的坐标为t233),所以IPFI=4,所以S尔邛42=45.故选：C.变式13.(2023全国高二专题练习)已知F为抛物线CV=2px(p0)的焦点，过F且斜率为1的直线交。于A,8两点，若IEfI冏=8,则=()A.
39、1B.2C.3D.4【答案】B【解析】抛物线C的方程为UV=2px(p0),则其焦点/设直线AB的方程为y=x-yx-P，2由2,可得：x2-3px+J-=0,y2=2px4=9p2-p20,xl+x2=3p,xlx2=根据抛物线定义，IEAI=M+,I产8=w+5，因为冏=8,所以+?12+=8,2所以NX2(,+x2)+-=872即工+K3p+工=2/=8,解得：P=2.424故选：B.变式14.(2023江西景德镇高二景德镇一中校考期中)己知直线/：X-1=O与抛物线Uy2=4X相交于A,8两点，且点尸坐标为(1,0),则IAFl+16IBFl的取值范围为()A.21,+oo)B.25,
40、+oo)C.29,+oo)D.33,+oo)【答案】B【解析】由题可知ZW0,所以有y=4(x1),带入丁=4彳得Ia-I)2=4x,整理得/一(4/+2)彳+1=0,判别式(4/+2)2-4=16/+16-0恒成立，设4(%,凶),8。2，、2)，则M+W=42+20,x1x,=1易知，点F(LO)为抛物线的焦点，x10,x20所以IAq+16忸q=+l+16(X2+l)=M+16w+1727i+17=25当且仅当=4,X2=B时，等号成立，所以IA尸1+16IBFl的取值范围为25,y).故选：B变式15.(2023商二课时练习)过抛物线V=4x的焦点F作直线交抛物线于A,4两点(点A在第
41、一象限).若网=3,则揣=()A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】设抛物线的准线为/,过点A作ACjJ于点C,过点5作8。_L/点O,过点A作AG_L比)丁一点U交X轴于点E,如图所示，由V=4,得2p=4,解得p=2,所以Lx=T,|。月=5=1.设IW1=，因为AF=3,所以IAq=3,叫=,Ml=i,又aAE尸4AG8,二一故选：A.变式16.(2023四川宜宾高二宜宾市叙州区第一中学校校考期中)已知抛物线E：V=4x的焦点为广，过点尸的直线/交E于AB两点，当/与圆。:(1-3)2+(丫-1)2=1相切时，AB的中点M到E的准线的距离为【答案】D【解析】由题意知F(1,0),设直线/的方程为x=ay+l,A(ry),3(2,%).因为直线/与圆C：(x-3+(y1)2=1相切,所以圆心C(3,
