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1、专题14一次函数与几何综合应用力聚焦考点考点次函数与三角形全等问题考点三一次函数与三角形存在问题考点五一次函数中平移问题考点七一次函数分段函数考点二一次函数与三角形的面积问题考点四一次函数中折叠问题考点六绝对值的一次函数考点八新定义一次函数：典型例题：考点次函数与三角形全等问题4例题：（2022山东威海七年级期末）如图，直线y=-1x+4与X轴和），轴分别交于A、8两点，把射线A8绕点A顺时针旋转90。得射线AC,点尸是射线AC上一个动点，点。是.I轴上一个动点.若APQA与AAOB【分析】根据与AAOB全等分两种情况分类讨论即可附答.4【详解】解：在直线y=-六+4中，当户0时，y=0+4=
2、4,即3(0,4),4当产0时，O=-x+4,313X=3,即A(3,0);回ZPQ4IjAAOB全等，回分两种情况：当尸QJ.AQ时，VFQAgVAOB,如图所示,则OB=AQ,回点。的横坐标为：QA+AQ=3+4=7,当PQ_LAC时，VpQA丝VOA8,如图所示,则AB=A。,0B=32+42=5*团点。的横坐标为：OA+AQ=3+5=8;综上所述：点。的横坐标为7或8.【点睹】本题主要考查三角形全等的应用，次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.【变式训练】41.（2021江苏镇江八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数了=-X+4的图象分别与X轴、y轴交于点A、B
3、,点C在线段OB上，将0AO8沿AC翻折，点8恰好落在X轴上的点。处，直线。交AB于点E.（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线OC上，点。是y轴上一点（不与点8重合），当ISCP。和团CBE全等时，直接写出点尸的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）.【答案】(DC(O,-)：(2)(-2,0)或(2,3)或(一)255【分析】(1)首先求出A(3,O),B(0,4),得出48=5,设OC=X,则8C=4x,在R愈。CD中，由勾股定理得：2+22=(4-x)2,解方程即可；53(2)首先可证团8EC=I3COO=90。，分当点。与P聿合，当Co=BC=万时，当PC=BE=2,CQ=CE=INC
4、EB=NCQ尸=90。时，再分别根据图形性质求出点尸的坐标即可.4【详解】解：y=-x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=3,.A(3,O),B(0,4),团OA=3,08=4,酗408=90,由勾股定理得，AB=Jol+ob?=5,团将SAOB沿AC翻折，点8恰好落在X轴上的点。处，AD=AB=5,回OO=2,设OC=X,则BC=DC=4-x,在K/QOC。中，由勾股定理得：+22=(4-X)2,解得X=，30C(0,-)；2(2)设8为y=Ax+h,-2k+b=0L3b=-2k=-解得：;b=-233所以直线CD的解析式为y=-x+-,回将(Mo8沿AC翻折，点8恰好落在X轴上的点。
5、处，00BCf=0DCO,0BEC=0COD=9Oo,435当点O与P重合时，OP=2,OC=-,BC=4-=,CP=I,而NBCE=PCQ,EBC=NCDQ,则回CPQg团CBE此时Q,O重合，30P(-2,0)；BE=PQ=OD=2,CE=CQ=Co=Q,3:.CE=CP=5,PQ=BE=2/CPQ=/BEC=90,解得：XP=当PQ=BE=2,CQ=CE=NCEB=NCQP=90。时，如图,aCPQACBE、33:.xp=2,yp=-2+-=3,点、P（2,3）,综上，点尸的坐标为（2,0）或（2,3）或（三）.【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，勾股定理的
6、应用，利用待定系数法求解次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解（2）的关键.42. （2021广东佛山市华英学校八年级期中）如图，直线/上尸-六+3与X轴、y轴分别交于A、8两点,QMJ.A8于点M,点尸为直线/上不与点A、B重合的一个动点.（1）点4坐标为（）;点B坐标为（）；线段加的长为.（2）当ABOP的面积是6时，求点P的坐标；（3）在），轴上是否存在点。，使得以0、P、。为顶点的三角形与AOMP全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标，否则，说明理由.【答案】（0,3）,2；卜4年）或（4,-g）；存在，点P的坐标为：（春灯或（11）【分析】（1）根据一次
7、函数图像的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到点A和点B坐标；通过勾股定理的性质计算，得OM,结合三角形面积公式的性质计算，即可得到答案；（2）点尸的坐标为x,-gx+3）,通过列方程并求解，再结合一次函数的性质计算，即可得到答案；（3）设点P的坐标为（p,-P+3）结合题意，分NQoP=90。，NOQP=90。，NoP0=90。三种情况分析;根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算，即可得到答案.4【详解】（1）当，=0时，-x+3=00x=-4周点A坐标为：（9bOR=（；当X=O时，y=3回点8坐标为：（0,3）,08=3：AB=JA2+OB2=4-OAOB=-ABOM22
8、PQM =OAXoBAB故答案为：（孑0），（0,3）,1：（2）设点尸的坐标为（x,-gx+33Sabop=-OBx=x=60x=4团点P的坐标为1-4,g）或（4,一|；（3）设点P的坐标为（p,-gp+3）团以。、P、。为顶点的三角形与AoMP全等，且OMj_AB国分NQOP=90。，NOQP=90。，NOPQ=90。三种情况分析;Ia点。在y轴上，点P为直线/上不与点A、A重合的一个动点ONQOP=90。不成立；当NOQP=90。时，如卜.图:团NOQP=NOMF=90。，OP=OP,回当AOQgAQWP成立时，得：OQ=OM或QP=OM949当OQ=OM=一时，得；一一p+3=-Bi
9、P=A畔团点P的坐标为(H*I)QQ当QP=OM=M时，得=1瓦点P的坐标为或(4用；当NoPQ=90。时，如下图：回ZXOPQ的直角边OPjOMP的斜边OPOQOP,即和AOQ尸思ZOMP矛盾团NoPQ=90。不成立;回在y轴上存在点。，使得以0、P、。为顶点的三.角形与QMP全等，点。的坐标为：(V3)或【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、勾股定理、绝对值、全等三角形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理、全等三角形、直角坐标系的性质，从而完成求解.3. (2022辽宁丹东八年级期末)已知一次函数.y=-3+3的图象分别与X轴，)，轴交于A,8两点，点C(3,0)
10、.图1图2如图1,点。与点C关于)，轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接。E,交y轴于点F.求点E的坐标；(2)A4OB与团尸Oo是否全等，请说明理由；如图2,点G与点8关于X轴对称，点尸在直线GC上，若0A8P是等腰三角形，直接写出点P的坐标.33【答案】石(p(2)a4O00FOD,理由见详解；137(3)P(0,3)或(4,1)或(方，-).【分析】(1)连接OE,过点E作EG0OC于点G,日龙IOB于点”，首先求出点A,点&点C,点。的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分回8OC,进而求出点E的坐标即可；首先求出直线。石的解析式，得到点尸的坐标，即可证明
11、0AOH三R%;首先求出直线GC的解析式，求出48的长，设P(m,m-3),分类讨论当AB=A户时，当A8=8P时，当AP=BP时，分别求出机的值即可解答.(1)解：连接OE,过点E作EG0。C于点G,EM308于点”,当产O时，-3x+3=O,解得x=,0(1,0),当X=O时，产31308=3,B(0,3),同点。与点C关于y轴对称，C(3,O),0C=3,0D(-3,0),回点E到两坐标轴的距离相等，田EG=EH,EHOC,EGOC,团。E平分团80C,0OB=OC=3,CE=BE,EIE为8。的中点，33团E(大，);22解:AOBFOD,设直线DE表达式为y=kx+b,-3k+b=0
12、则3,3,-k+b=-(22k=-解得：3,b=到y=gx+l,团尸是直线。E与)，轴的交点，0F(0,1),HOF=OA=LOB=OD=3,BAOB=团/00=90,00A600W;(3)解:0点G与点8关于X轴对称，B(0,3),13点G(0,-3),0C(3,0),设直线GC的解析式为：产水+c,c=-33a+c=0解得：二，团产厂3,AB=J3?+f=M，设P(bzn-3),当AB=AP时，(m-l)2+(M-3)2=10整理得：77J2-411=O,解得：/Hj=O,加2=4,0P(0,-3)或(4,1),当AB=BP时，l=5m2+(m-3-3)22-6wi+13=0,0O故不存在
13、，当AP=8P时，小(加-1丫=yn2(w-3-3)213解得：?=,C/137、(3P(,-),22137综上所述尸(0,-3)或(4,1)或(彳，-),22【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.考点二一次函数与三角形的面积问题例题：(2022广东广州八年级期末)直线产-2x+4与X轴，)，轴分别交于A、B,过点A作AaIA8于点A,且Ac=A8,点C在第一象限内.求点A、B、C的坐标；在第-象限内有一点P(3,力，使S必B=S求1的值.【答案】A(2,0),B(0,4),C(6,2)；f的值为8.【分析】(1)令.eO和产0分别代入尸
14、2x+4中即可求出A与B的坐标，证明aA86SEC4Q(AAS)即可解决问题：(2)过点P作Pfat轴于点E,SPAB=SBOEP-SLABO-SLPAE,列出方程，解方程即可求解.(1)解：令=0代入y=-2x+4中，回产4,0(O,4),令y=O代入y=-2x+4中，0x=2(M(2,0),过点。作CQELv轴于点。,00BAC=9Oo,BSOAC+08AO=0A8O+13840=90，00AO=0DAC,ZABO=DAC在0480与团CW中，,NBoA=NCDA,AB=AC00AO00CD(AAS)f1CD=OA=2,AD=OB=Af0OD=6,0C(6,2)；(2)解：过点P作P0x轴
15、于点E,0P(3,/),0E(3,O),0A(2,O),B(O,4),(3OA=2,08=4,t3AB=247=25,0C0A,AC=AB,sabc=-acab=o,2SRB=SBOEP-SAHO-SPE-；(4+r)3-；24-；(3-2)z=z+2,0r+2=lO,解得：f=8,电的值为8.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.【变式训练】1.(2021广东高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习)如图，已知一次函数y=比+3的图象经过点A(2,6),B(,-3).求：(I)n的值；(2)团O
16、AB的面积(3)M为坐标轴上的一点，是否存在点M,使S4O8M=4S4QA8?若存在，请求出M的坐标，若不存在,请说明理由【答案】(1)n=1.5,=-4；(2)9；(3)存在，f(-3,0),f2(3,0),f3(O,2.25),Af4(0,-2.25)【分析】(1)把4代入解析式，求出机，再把B代入求出即可；(2)当X=O时，产3,再根据面积计算即可；(3)根据M为坐标轴上的一点和三角形的面积可知点M有四种情况，分别计算即可：【详解】解：(1)将A(2,6)代入y=ix+3中，2m+3=6,m-1.5，将B(厂3)代入y=1.5x+3中，1.5+3=-3/7=-4;(2)当x=0时,y=3
17、05OA=-34-32=6+3=9；22(3)存在；由已知条件可得22,M在X轴上，SAoBM=LoM3,24.5=1.5OM,OM=3,MJ-3,0),M2(3,O);”在y轴上，SAOBM=LOM4,24.5=2OM,OM=2.25,f3(O,2.25),4(0,-2.25);S(-3z0),Af2(XO),M3(O,2.25),M4(0,-2.25).【点睛】本题主要考查一次函数解析式求解，次函数与坐标轴的交点，一次函数的应用，准确计算是解题的关键.2.(2021辽宁丹东八年级期中)如图，在平面直角坐标系中将y=2x+l向下平移3个单位长度得到直线R直线4与X轴交于点C；直线4：y=x+
18、2与”轴、轴交于A、8两点.(I)填空：点A的坐标为,点3的坐标为.(2)直线4的表达式为.(3)在直线4上是否存在点石，使5&=250的？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(-2,0),(0,2);(2)y=2x-2;(3)(3,4)或(TT)【分析】(I)分别令My=O即可求得A、8两点的坐标；(2)根据一次函数图象的平移特点求解即可；(3)根据等底不同高，以及三角形的面积关系即可求得点E的坐标，进而代入(2)的解析式中即可求得点E的坐标.【详解】(D.直线Ly=+2与X轴、y轴交于a、8两点,令y=0,贝Jx=-2,令X=0,则丁=2.A(-2,0),B(0,2)故
19、答案为：(-2,0),(0,2)(2) y=2x+l向下平移3个单位长度得到在线4,则4的解析式为y=2x-2；故答案为：y-flx-l.(3) Scje=Sbo.W=2O8=4%=4将y=4代入y=2x-2,得=3,将y=-4代入丁=2%-2,得=T,.E的坐标为(3,4)或(-1,-4)【点睛】本题考杳了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键.3. (2022河北保定外国语学校一模)如图，已知点A(6,4),直线经过点B(0,2)、点C(3,-3),且与X轴交于点。，连接A。、AC,AC与X轴交于点P.求宜线的表达式，并求出点。
20、的坐标；在线段A。上存在一点Q.使SAPQQ=SZiPOC,请求出点。的坐标；一次函数户+45的图象为氏若点4,。到/2的图象的距离相等，直接写出火的值.【答案】尸-$+2,点。坐标为(，0)；点Q坐标为(弓，3)“或4|【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先利用待定系数法求得A。所在宜线的一次函数表达式，根据Sjw=SPDC推出=-先，列式计算即可求解;(3)先判断直线/2过定点(“，5),再根据题意知当/2与线段AO平行或过线段AO中点时,点A,O到/2的图象的距离相等，据此求解即可.解：设/1的表达式为y=kxb(kO),W经过点5(0,2)、点C(3,-3),2 = b-3 =
21、 3 5C =3, b = 2助的函数表达式：y=-x+2.国点。为人与X轴的交点，故令y=0，-x+2=0,3解得T，13点D坐标为0）；（2）解：由（1）同理可得AD所在直线的一次函数表达式为：y=x-l,O团点。在线段Ao匕瞰点Q坐标为卜，一1）,其中qm6.团SPDQ=SPDC，团）,q-Jc即n-=3,624解得加二,满足题意.团点Q坐标为（高，3）：（3）解：眇=履+5=伙+l）x+5,团直线/2过定点（“，5）,团点A,。到/2的图像的距离相等，13当/2与线段AD平行或过线段AD中点,当/2与线段Ao平行时，心:O1Q当/2过线段A。中点（7，2）时，j802=k+k+5,5解
22、得：上我；综上，&的值为4或-O23【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等.解决问题的关键是利用图象求解各问题.考点三一次函数与三角形存在问题例题：(2021辽宁本溪八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-*+2与X轴交于点C,与y轴交于点A.(1)求AAOC的面积；(2)点尸是直线AC上的动点，过尸作X轴，y轴的垂线，垂足分别为点F,E,若PF=2PE,请求出点P的坐标；(3)点在直线AC上，坐标轴上存在动点M,使.ABM是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标.【分析】(1)利用一次函
23、数的解析式分别求解AC的坐标，再利用三角形的面积公式即可得到答案；(2)设尸(惆-?+2),再分别表示QE=MPF=-+2,利用尸尸=2PE列方程解方程可得答案;(3)分三种情况讨论，当NM43=90。,M在4轴上时，设M(X0),当NA3M=90。,M在X轴上时，设M(X,0),当4助%=90。,M在y轴上时，设(0,y),再分别利用勾股定理列方程解方程即可得到答案.【详解】解：ISy=-x+213当X=O时，y=2,即A(0,2),O=2当y=o时，x=6,即C(6,0),OC=G0S.nr=OCOA=62=6Z0).(2)当F值为多少时，APBQ为等边三角形?是否存在f的值，使依Q为直角
24、三角形？若存在，求出/的值：若不存在，说明理由.【答案】(I)A(0,186)，8(18,0)当，=12秒时，APBQ为等边三角形(3)当r=9秒或秒时，APBQ为直角三角形【分析】(1)分别将和户0代入函数表达式求解即可；(2)根据勾股定理求出AB的长度，根据As和OB的数量关系可得NQ84=60o,求出BP=BQ时f的值即可；(3)分情况讨论当NPQB=90。当NBPQ=90。时f的值即可.(1)解：当40时，y=-50+183=180(o,183),当有产。时，O=-TJXX+18J,解得X=I8；团5(18,0)综上：(,183),3(18,0)(2)在RtZXAOB中，OA=I8J,
25、OB=I8AB=4B2+OA2=yjl82+(183)2=360AB=36,OB=I8,BPAB=IBO0ZOW=3Oo,NOBA=60。回当3P=5Q时，V3PQ为等边三角形36-2z=r,解得f=12(秒)团当f=12秒时，APBQ为等边三角形;(3)PB=36-2,BQ=t当/73=90。，则8P=28Q,36-2/=2/,解得39；当N3PQ=90。BQ=2BPf=2（36-力），解得f=母（秒）7?回当1=9秒或f=T（秒）时，尸BQ为直角三角形.【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，动点问题与函数图象的关系；熟练地掌握一次函数的图象和性质，根据题意进行分类讨论是解题的关键.2
26、.（2021广东河源市第二中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线A&y=-：x+3与坐标轴分4别交于点A、B两点,直线X=I交AB于点O,与X轴交于点E,P是直线X=I上的一个动点.（1）直接写出A、8的坐标，A,B:（2）是否存在点尸，使得0AOP的周长最小，若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在点P使得MBP是等腰三角形，若存在，请写出点P的坐标及计算过程；若不存在，请说明【答案】（I）（0,3）,（4,0）；（2）3+13：（3）存在点尸的坐标为（1,或（1,3+2#）或（1，3-26）O或（1,4）或（1,4）使得SABP是等腰三角形.【分析】（I）根
27、据一次函数与坐标轴的交点坐标求解方法求解即可；（2）作A关于直线X=I的对称点尸，连接O尸与直线X=I交于耳点，连接AP,FP,OP,即可推出MOP的周长=04+AP+O尸=。4+2&OP,则要想。4+AP+OP最小，即。4+PF+OP最小，故当FO尸三点共线时，OA+paop最小，即P在点的位置，此时PlaoPi=OR利用两点距离公式求出。尸的长即可得到答案；（3）设尸点坐标为（1,m）,先求出242=（1-0）2+（加一3）2=62一66+10,p2=（i-4）2m2=m2+9,2=32+42=25,再分当布=PB时，当aI=AB时，当AB=尸8时，三种情况进行求解即可.【详解】解：（I）
28、团），=-。+3与坐标轴分别交于点A、A两点，0A点坐标为（0,3）,B点坐标为（4,0）,故答案为：（0,3）,（4,0）；（2）如图所小，作A关于直线x=l的对称点凡连接。尸与直线X=I交于4点，连接AP,FP,OP,Ia点”的坐标为（2,3）,0OF=22+32=13*0点坐标为（0,3）,（304=3,由轴对称的性质可知PA=PFt00AOP的周长=OA+AP+OP=OA+PROP,13要想。A+AP+OP最小，即OA+PF+OP最小，团当Po户三点共线时，OA+PF+OP最小，即P在R点的位置，此时P/+Opl=O尸，（30AOP的周长的最小值=OA+O=3+L(3)设P点坐标为(1
29、,加)，3PA2=(1-0)2+(w-3)2=w2-6w+10,PB2=(1-4)2+/W2=ZW2+9,0A点坐标为(0,3),B点坐标为(4,0),2=32+42=25t当雨=尸8时，m2-6/m+10=w2+907W=,6团此时P点坐标为（1,7）:当Bl=AB时,112-6w+10=25,即（加一3）二24,0Wi3=26团帆=3+2或6=3-2（求平方根的方法），团此时P点坐标为（1,3+2#）或（1，3-26）；当48=P8时，0w2+9=250w=4,团此时尸点坐标为（1,4）或（1,-4）,吃所述，存在点夕的坐标为（1,4或（1,3+2#）或（I,3-2指）或（1,4）或（I,
30、-4）使得财8PO是等腰三角形.【点睛】本题主要考查r-次函数与坐标轴的交点问题，轴对称一最短路径问题，等腰三角形的性质，两点距离公式，利用平方根解方程等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.考点四一次函数中折叠问题例题：（2021江苏镇江八年级阶段练习）如图，已知一次函数y=J+3的图像与坐标轴交于点A、B,点C4在线段Ao上，将（3BoC沿BC翻折，点。恰好落在AB上点。处.（1）求点A、点8的坐标；（2）求点。的坐标；【答案】(I)A(-4,O),B(0,3)；(2)C(-,0).【分析】(1)分别令尸0,x=0,求得对应的横坐标和纵坐标即可解答；(2)由折叠可得，BD=BO,
31、CO=CD,C=团BOC=90。，设。O=Cf)=x,AC=4-x,再根据勾股定理列方程求解即可.【详解】解：(1)团一次函数y=+3的图像与坐标轴交于点A、B4团令尸0,可得0=4*+3,解得x=-3令A=0,可得y=g0+3=340A(-4,O),B(0,3)；(2)0A(40),B(0,3)团04=4,OB=3在R&08中，AB=SA2+OB2,由折叠可得，BD=Bo=3,CO=CD,圆BDC=团BOC=90,D=5-3=2,IMDC=90o,设Co=8=4,则AC=4-x,3团在R/0AC。中，AD2+CL2=AC2,即：22+x2=(4-x)2,解得后一，2OOC=-20C0).2【
32、点睛】本题主要考查了一次函数、翻折变换、勾股定理等知识点，灵活应用折叠的性质成为解答本题的关键.【变式训练】31.(2022广东平洲一中八年级期中)已知：直线y=：x+6与K轴、y轴分别相交于点A和点8,点C在线4段Ao上.将0ABO沿BC折叠后，点。恰好落在A8边上点。处，求A点的坐标和B点的坐标；求A8的长？(3)求出OC的长？【答案】(1)(-8,0)、(0,6)IO(3)3【分析】(1)分别令y=0,X=O即可得出点A和点8坐标.(2)点A和点8坐标已知，根据坐标系内两点距离公式即可解出.(3)根据已知条件可得出Sbc=AB-DC=ACBO,设OC氏为.v,列出等式解方程即可.(1)3
33、回直线y=-X+6与X轴、y轴分别相交于点A和点B4团分别令y=。，=0解得：y=o口寸X=8X=O时y=6Ia点A坐标为(-8,0),点B坐标为(0,6).故答案为(8,0)、(0,6).(2)13点A坐标为(-8,0),点B坐标为(0,6)1348=J(-8-0)2+(0-6)2=o13将SA3。沿折叠后，点。恰好落在48边上点。处DCYAB05rc=-ABDC=-ACBObc2213点A坐标为(8,0),点B坐标为(0,6)团AO=8,80=6设OC的长为X则CD=x,AC=AO-OC=S-X-ABDC=-ACBO220lOx=-(8-x)6解得x=3故。C长为3.【点睛】本题考查/次函
34、数与坐标轴交点、折叠的性质、三角形面积及坐标系中两点的距离公式等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.42.(2022福建福州华伦中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线y=-x+4与X轴、)，轴分别交于点A、点3,点O(O,-6)在轴的负半轴上，若将ADS沿直线A。折叠，点3恰好落在X轴正半轴上的点C处，直线8交AB于点E.直接写出点A、B、C的坐标:(2)求二ADE的面积.【答案】点A的坐标为(3,0),点8的坐标为(0,4),点。的坐标为(8,0)S3二9【分析】(1)利用次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,再利用勾股定理可求得A3,根据折叠的性质可得AC=A8,即
35、可得OC的长度，进而可得C点的坐标.(2)根据翻折的性质，可得团8=回。,HfiDA=SADC,进而可得SAO=。，可证得OD三AEO,故所求AOE的面积即为求AAOO的面积，即可得解.(1)4解：由题意，直线y=-针+4与X轴、y轴分别交于点A,B,令X=O,得y=4,.点5的坐标为(0,4),令y=o,得x=3,点A的坐标为(3,0),.OB=4,04=3,.AB=42+32=5将ADAB沿直线Ao折叠，点8恰好落在X轴止半轴上的点C处，即AC=AB=5,/.OC=5+3=8,点C的坐标为(8,0).(2)解：由翻折的性质可得，ZB=NC,NBDA=ZADc,.NBAO=NCAE,.ZAO
36、B=ZAEC=90。，.ZAOD=ZAED,AD=AD,；.,A0D!3AED(AAS),点O(OT),.OD=6,SADE=Saod=36=9.【点睹】本题考查次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质.3.(2022江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末)如图，直线/：y=2x-2与y轴交于点G,直线/上有一动点尸，过点P作)，轴的平行线尸石，过点G作X轴的平行线GE,它们相交于点七.将APGE沿直线/翻如图2,当点上的对应点？落在X轴上时，求点P的坐标；(3)如图3,直线/上有A,B两点，坐标分别为(一2,-6),(4,6),当点P从点4运动到点B的过程中，点也随之
37、运动，请直接写出点？的运动路径长为.【答案】(1)见解析(3)6【分析】(1)作出过点E的,的垂线即可解决；(2)设直线/交X轴于点。，则由直线解析式可求得点。、点G的坐标，从而可得。的长.由对称性及平行可得EZ)=EG,设点P的坐标为(,2a-2),则可得点E的坐标，由EG=EG及勾股定理可求得点E的坐标；(3)分别过点A、B作y轴的平行线，与过点G的垂直于y轴的直线分别交于点C、M,则点七在线段CW上运动，根据对称性知，点运动路径的长度等于CM的长，故只要求得CM的长即可，由A、8两点的坐标即可求得CM的长.(1)所作出点E的对应点f如下图所示:y(2)设直线/交X轴于点O在产2x2中，令
38、V=0，得.=l;令x=0,得产一2则点。、点G的坐标分别为(1,0)、(0,-2)OD=I,OG=I由对称性的性质得：EG=EG,ZEGD=ZEiGD水汨3X轴0ZEGD=ZErDG中NEGD=/EDGBED=EGE,D=EG设点尸的坐标为(小2a-2)t其中0,则可得点E的坐标为(m2)0EG=dEfD=aOE,=E,D-OD=a-l在R旭。GE中，由勾股定理得：22+(a-l)2=a2解得：。=|当=2时，2-3=2-2=322所以点P的坐标为(|,3)(3)分别过点A、8作y轴的平行线，与过点G的垂直于y轴的直线分别交于点C、M,则点七在线段CM上运动，根据对称性知，点E运动路径的长度
39、等于CM的长HA,8两点的坐标分别为(一2,6),(4,6)0C=4-(2)=6则点Er运动路径的长为6故答案为：6【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、折叠的性质、尺规作图等知识，一次函数的性质及折叠的性质的应用是本题的关键.考点五一次函数中平移问题例题：(2022河南安阳八年级期末)如图，直线y=gx+2分别交X轴、y轴于点A(,0),B(O,b).填空：a=b=.如图，点M0q)是坐标平面第一象限内一点，现将直线AB沿X轴正方向平移个单位长度后恰好经过点M，求平移后的直线解析式和的值.【答案】42；2)y=xfn=4【分析】(1)令x=0,可以求出B的坐标，再令尸0可以求出A的坐标
40、，从而得到和的值；(2)根据一次函数解析式平移规律一一左加右减，上加下减，设平移后函数解析式y=g(x-)+2,将代入解析式，解之即可得解.(1)解：在函数y=g+2中，令y=o得：L+2=0,2解得：x=-4,团A(Y,0),即a=T：令X=O得：y=2,0B(O,Z?),即6=2；故答案为：-4,2；(2)解：根据题意，设平移后的直线解析式为：y=(x-n)+2,团平移后的直线恰好经过点M,团将加(3,9代入丁=3(卜)+2中得：(3) 1-=-(3-)+2,22解得：w=4,13平移后的直线解析式为：y=x.【点睛】本题考查了一次函数，以及平移后直线解析式，平移后解析式遵循“左加右减，上
41、加下减的规律,熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键.【变式训练】1.（2022江苏八年级专题练习）已知直线y=gx,记为4.填空：直线y=g%+l可以看做是由直线L向平移个单位得到；将直线乙沿X轴向右平移4个单位得到直线4,解答下列问题：求直线4的函数解析式；若X取任意实数时，函数y=x-川的值恒大于直线A的函数值，结合图象求出血的取值范围.【答案】上；1或左；2直线4的函数解析式为），=gx-2；加4【分析】（1）根据解析式的图象得出结论即可；（2）根据直线乙沿X轴向右平移4个单位得到直线6，得出直线4过点（%0）,进而得出解析式即可；根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可.（1）如卜图所示，=gx+l是由y=；X向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的；（2）当y=沿X轴向右平移4个单位后经过点（4,0）,团平移得到的直线4的函数解析式为y=-m的函数图象可以看作是y=IxI沿轴水平移动m个单位，当相0时，y=R向右平移1个单位，当mVO时,y=向左平移”个单位，要是函数y=-l的值恒大直线4的函数值，则函数y=U-制的图象位于直线Z2的上方，由函数图像可知当m4时函数），=Ix-M的图象位于直线的上方,Bm的取值范围为阳4【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握次函数的图象和性质，图形的平移等知识是解题的关键.考点六绝对
