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1、练习5.1假设工厂要根据拥有的资源和设备，计划生产甲、乙两种产品，其主要资源有钢材4吨、铜材3吨。专用设备能力8千台时。资源与设备能力的消耗定额及单位产品所获利润如表IT所示：问如何安排生产，才能使该厂获得的利润最大。写出该问题的线性约束条件和目标函数。产品甲产品乙现有资源的限制钢材104（吨）铜材013（吨）设备能力128（千台时）单位产品的利润（万元）23解：设生产甲、乙两种产品的件数分别为/,/，用Z表示利润。则约束条件为x14x23x1+2x28x1,x2O求目标函数的最大值maxz=2x1+Ix2习题5.11 .某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品It需消耗A种矿石10tB种矿
2、石51、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石41、B种矿石41、煤9l.每Il甲种产品的利润是600元,每It乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过3001、消耗B种矿石不超过2001、消耗煤不超过3601.若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量,才能使利润总额达到最大？写出该问题的线性约束条件和目标函数。原材料产品甲产品乙原材料限额A种矿石104300B种矿石54200煤I9360利润(TC)6001000解设生产甲、乙两种产品分别为阳t、X21,用Z表示利润。则约束条件为IOx1+4x23005x1+4x22004x1+9x2360x1,x20
3、求目标函数的最大值maxz=600x1+100Ox22 .某家具厂有方木材90木工板600zn3,准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1、木工板2；生产每个书橱需要方木料0.2加3,木工板1加3,出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元。怎样安排生产可以获利最大？写出该问题的线性约束条件和目标函数。解设生产书桌阳张，书橱张，利润为Z元，则约束条件为0.1x10.2x2902x1x2600x1,x20求目标函数的最大值maxz=80x1+120x23.某玩具公司每天工作10小时的机器上可制造两种玩具：卫兵和骑兵。制造一个卫兵需要8秒钟和8克金属，制造一个骑兵需
4、要6秒钟和16克金属，每天可供给的金属量最多为64千克，制造一个卫兵的利润是0.05元，制造一个骑兵的利润是0.06元，问：每种玩具制造多少时利润最大，最大利润是多少？解:设制造卫兵司个，制造骑兵看个，则再、满足的线性约束条件:8x1+6x2360008x1+16x264000x1,x20其目标函数maxz=0.05x1+0.06x24.某工厂生产甲、乙两种产品，生产It甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t,产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料91,产生的利润为1万元.现有库存A种原料10t、8种原料60t,如何安排生产才能使利润最大？写出该问题的线性约束条件和目
5、标函数。A种原料（I）B种原料9（t）利润为（万元）甲种产品（It）4122乙种产品（It）191现有库存（D1060解：设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为X2,根据题意，A、B两种原料分别不得超过IOt和601.所以上述问题转化为如下个数学问题：4xl+x210在约束条件,12*+9/60下，求出再，x2,使利润z（万元）达到最大.其x1,x20目标函数maxz=2x1+x2O习题5.11 .解设生产甲、乙两种产品分别为再t、x21,用Z表示利润。则约束条件为IOx1+4x23005x1+4x22004Jt1+9x2360x1,x20求目标函数的最大值maxz=600x1+100Ox22.
6、解设生产书桌用张，书橱张，利润为Z元，则约束条件为O.Ix1+0.2x2902x1+x2600x1,x2O求目标函数的最大值maxz=80x1+120x23.解：设制造卫兵再个，制造骑兵/个，则再、满足的线性约束条件：8+6x2360008xl+1664000XpX20其目标函数maxz=0.05x1+0.064.解：设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为内，x2,根据题意，A、B两种原料分别不得超过IOt和601.所以上述问题转化为如下个数学问题：41+x210在约束条件“12再+9/60下,求出再,x2,使利润z（万元）达到最大.其x1,x20目标函数maxz=2xl+x20练习5.1.11
7、：在直角坐标系中，画出不等式2x+y-60表示的平面区域。解：先画直线2x+y-6=0取原点（0,0）,代入2x+y-6因为20+0-6=-60,所以，原点在2x+y-6V0表示的平面区域内，不等式2x+y-6V0表示的区域如下图所示。2x+y-6=0y3x+122用平面区域表示不等式组的解集.x2y解:不等式y-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域;不等式x2y表示直线y=0.5x上方的区域.取两区域重叠的部分.3.在直角坐标系中，平面区域。画出不等式（x+2y-l）（x-y+3）0表示的平面区域。解：不等式（x+2y-l）（x-y+3）0表示的平面区域如下图所示（阴影部分）。20x
8、+y304.在直角坐标系中，画出不等式组x+2y40x0表示的平面区域。y0解：不等式组所表示的平面区域如右图所示（阴影部分）。练习5.2.2解二元线性规划问题:约束条件x+2y9002x+y600x0y0求目标函数的最大值maxz-80X+120y解：在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线1：80x+120y=0,即直线2x+3y=0.把直线1向右上方平移到h的位置时，直线经过可行域上的点M,此时z=80x+120y=0取得最大值.x+2y三900由12x.y600,解得点M的坐标为(100,400).所以当X=IoO,y=400时，目标函数z=80x+120)，
9、取得最大值ZmaX=80100+120400=56000习题5.21、用图解法解一元线性规划问题：maxz=x+0.5yxy1003x0Iy1.8x0满足解：可行域如下图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线x0.5y=0,并作平行于直线人的一组直线x+0.5y=z与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的1点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3*+0.1丫=1.8的交点。Jxy-10由l3x+Iy=18,得到=4,y=6,此时目标函数最大值Z=1X4+O.5X6=7。2、用图解法解二元线性规划问题:minz=x-2y+126121-Iy207-0Y8y2
10、Ojr+y7Oa（）v（）满足、解：可行域如下图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作出近线w-2.v=0.把.线/平行移动,显然当支线/移动到过点（O8）时在可行域内z-2y726取得最小值minz=O-28+126=110练习5.3.11.将下列线性规划问题化为标准型：maxZ=A+2,V22xl+Ix212X1+2x284x1164x212x1,x20解：在约束条件的各不等式中，分别加上一个松驰变量内、M、15、抵，使不等式化为等式,于是得标准型maxZ=x1+2x22xl+2x2+x3=12x1+2x2+x4=84x1+x5=1642+x6=12x1,x2O2.将下列线性规划问题化为标准
11、型：tmnz=3x-X2+3x3;X+M+勺W6x1+X3-X32(-3xl+2x2+3=5XINaXiNO,X房非负约束解：通过以下四个步躲：(1)目标函数两边乘上/化为求最大值；(2)以均=E-W代入目标函数和所有的约束条其中只O,Xo(3)在第一个约束条件的左边加上松弛变量4:(4)在第二个约束条件的左边减去剩余变量七。于是得到线性规划问题的标准型：max(-z)=-3x1+x2-3x；+3x；.x1+xa+x-X3+x4=6x1+x2-xj+Xj-x5=2-3xl+2x3+不；W=5X1,X2,J,X3tx4,x50练习5.3.2用表格法解线性规划问题：maxz=4再+4x2x1+X2
12、452x1+x280x1+3x290x1,x20解：化为标准型：maxz4x+4xa;x1xa+xz=45,2x1+xa+x4=80,x13x2+xj=90,Xj0.U=1.2力列出初始表格Cj44OOOCBXBXlX2X3X4X5瓦仇OX3111OO4545OX4(2)1O1O80140OX513OO19090aJ44OOOO将变量打换入，将变量X/换出，转下表c44OOOCBXBXiX2X3X4X5hi仇OX3O(1/2)1-1/2O5104X111/2O1/2O4080OX5O5/2O1/215020iO2OO1/2160将变量X2换入，将变量如换出，转下表44OOOCBXBXiX2X3
13、X4X5仇Oi4X2O12-1O104Xl1O-11O35OX5OO-53125jOO-4OO180因为所有检验数都为非正数，故所得可行解x=35,=1，/=0，=，Z=25就是最优解，删去松弛变量，得原线性规划问题的最优解为Xy35,%2=1。最大值为z=180习题531、将下列线性规划问题化为标准型:(1)minZ=2X1-3X2+4X33xt+4x2-5x362xl+x38x1+x2+x3=-9x1,2,x30maxz=2x1+3x2-5x3x1+x2+x3=7V2xl-5x2+x310x1,x2,x30解：（1）通过变换，可以得到线性规划问题的标准型为:maxz,=-2xl+3X2-4
14、X3满足,3i+4x2-5x3+4=62xl+x3-x5=8-x-x2-x3=9x1,x2,3,4,50（2）通过变换，可以得到线性规划问题的标准型为:满足maxz-2x1+3x2-5x3xl+x2+x3=72xl-5x2+x3-x4=10xl,x2,x3,x40maxz=5x,+2尤maxz=50x1+30x230x1+20%1604x,+321201L（1）满足Cl2（2）满足5x.+152x1+x250VILx14xi,X2Oxl,x2O2.用表格法解下列线性规划问题:解：（1）化为标准型:maxz=50i+302满足41+3x2+x3=1202x1+x2+x4=50i,x2,x3,x4
15、O列出初始表格Cj5030OOCBXBXIX2X3X4瓦OX3431O12030OX4(2)1O150125i150)30OOO将变量切换入，将变量均换出，转卜表：Cj5030OOCBXBXlX2X3X4OiOX3O(1)1-22012050Xl11/2O1/22550OiO5O-251250将变量M换入，将变量X3换出，转F表：Cj5030OOCBXBXiX2X3X4bi430X2O11-22050Xi1O-1/23/215iOO-5-151350因为所有检验数都为非正数，故所得可行解再=15,=20,冗3=0,Z=就是最优解，删去松弛变量，得原线性规划问题的最优解为%15,X2=20，最大
16、值为z=1350(2)化为标准型：3 Ox1 +5x1 +再maxz=5x1+Ix2+0x3+04+0x5= 160=15=420x2+x3x2x4+与x1,x2,x3,x4,x5,O列出初始表格52000CBXBXiX2X3X4X5瓦仇0刈302010016016/30X4(5)10101530X51000144i520000将变量制换入，将变量均换出，转下表:J52000CBXBXlX2X3X4X5bi30X30(14)1-607055Xl11/501/503150X50-1/50-1/511i010-1015将变量X2换入，将变量制换出，转下表:Ci52000CBXBXiX2X3X4X5
17、瓦2X2011/14-3/7055Xl10-1/702/7020X5001/70-2/712%00-1/4-4/7020因为所有检验数都为非正数，故所得可行解玉=2,=5,马=0,x4=0,x5=2就是最优解，删去松弛变量，得原线性规划问题的最优解为x-2,x?=5,最大值为z=20练习5.4用Excel软件求下列线性规划问题：maxz=2x1+3x2x2x28满足4X164x212x1,x2O(2)maxz=80x1+120x2x1+2x2900满足hx1+x2600x1,x20解：（1）利用EXCel求解（请同学们完成），结果为为=4,=2时，目标函数最大值为14。（2）利用EXCel求解
18、（请同学们完成），结果为项=100,W=400时，目标函数最大值56000o习题5.4用Excel软件求下列线性规划问题:maxz=xi+0.5x2x1+x210(1)满足0.3x1+0.1x21.8220,x330.0410,满足八10034例4图作出可行域（如图4）.作出一组平行线x+y=t（t为参数）中，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线2x+y=20和直线x+3y=30的交点M（6,8）。故当x=6,y=8时，z=x+y取最小值。所以，符合条件的下料方案是：使用2m长的条钢6根、3m长的条钢8根。2.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷
19、酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料。生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润？请建立线性规划模型，并求解。解：设生产甲种肥料X车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元，根据题意，建立线性规划模型如下:maxz=xO.5y满足，4xy1018x+15y66x0y0利用EXCel软件求解（请读者完成），求出这个问题的最优解为x=2,y=2,最大值为3。故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。3.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查
20、后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）学段班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元）初中45226/班2/人高中40354/班2/人若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？请建立线性规划模型，并求解。解：设开设初中班X个，高中班y个，收取的学费总额为Z万元。根据题意，建立线性规划模型如下：maxz=7.2x10.8y满足，20x+y30x+2y40x0y0利用EXCel软件求解（请读者完成），求出这个问题的最优解为x=20,y=10,最大值为252。故开设20个初中班和10个高中班
21、，收取的学费最多，为252万元。复习题5假设某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材3600kg,铜材200Okg及专用设备能力3000台时，已原材料和设备的单间消耗定额以及单位产品所获利润如下表所示（表I-Do问如何安排生产方使该厂所获利润最大？请建立线性规划模型。表1-1期曾、产品甲（件）乙（件）现有材料及设备能力钢材943600(kg)铜材4520C0(kg)设备能力31030C0（台时）单位产品利润（元）70120解：设甲、乙两种产品的计划产量分别为王件，总利润为Z元。根据题意，建立线性规划模型如下：maxz-70xl+120x2,9x1+4xa3600,4X+5x32000,3
22、xl+54xa3000,50,0,2.在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。设某种饲料由四种原料B1,B2,B3,B4混合而成，要求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）Ai,A2,A3的数量分别不少于25、36、40个单位（这些单位可以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数现问应如何配料，使合成饲料（产品）既含有足够的所需成份，又使成本最低。请建立线性规划模型。解：设合成的饲料中原料鸟的含量为Xj（；=1,2,3,4）百公斤，成本为Z元。根据题意，建立线性规划模型如下：minz=12x1+13x2+14x3+1Ix42x1+x2+3x3+4x425;3x1+2x2+4x3+5
23、x436;一X1+3x2+5x3+7x440;X1,，勺3.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产8产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？请建立线性规划模型，并用图解法求解。解：设生产A产品X百吨，生产B产品y米，利润为Z百万元，根据题意，建立线性规划模型如下:maxz=3x+2y满足，2x+3y142x+y9x0y0直线y=-x+,当它经过直线与2x+y=9和2x+3y=14的交点(,|)时，z/2最
24、大，也即Z最大.此时，z=14.75.因此，生产4产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元.4 .制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？请建立线性规划模型，并求解。X+V10解：设分别对甲、乙两个项目投资X万元、y万元，则x20,y20,且!,设3xy18JVz=x+0.5y当4一时，
25、Z取最大值7万元。y=65 .用图解法求下列线性规划问题：(1)maxz=6x+8y30x+20y300,满足5x+IOy110,X0,y0(2) z=x+O.5yxy1003x+01y1.8x20满足y20解：（1）由题意在直角坐标系中画出可行域（阴影区域），如下图所示。31由图知，直线产x+-P过M（4,9）时，纵截距最大.这时Z也取最大值ZmaX=6X484+8X9=96.(2)上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线/o:xO.5y=0,并作平行于直线人的一组直线x+0.5y=z与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的1点，且与直线x+0.5y=0的距离
26、最大，这里M点是直线x+y=10和0.3*+0.1丫=1.8的交点。Jxy100.3x0ly-1.8,得到=%y=6,此时Z=IX4+0.5X6=7。6.将下列线性规划化成标准型:minz=X1+2x1+3x3maxz=2x1+3x2-2xl+x2+x39xl+2x28(1)-3x1+x2+2x34(2)4x1164x1-2x2-3x3=-64x212x0X20X3无约束x1,x20解：(1)标准型为:maxz=x1,-2x2-3x3,+3x3n2x1+x2+玉F+Z=93+X2+2x3-2x3,-x5=44xi,+2x2+3-3=6x-5-(2)标准型为:maxz=2xl+3x2+Ox3+Ox4+Ox5x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=12x1,x2,x3,x4,x507 .用表格法解第6题。解略。8 .试用Excel软件解上述各题。解略。
