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1、习题课组合数的综合应用素养目标定方向位学习目标1 .学会运用组合的概念，分析简单的实际问题.2 .能解决无限制条件的组合问题.心素养通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.0必箭知识探新知1 .对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法.2 .对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关.想一想：在解决排列组合的综合问题时要注意哪些问题？提示：在解决此类问题时，要注意题中的隐含条件；解题过程中要首先分清“是分类还是分步”“是排列还是组合”；在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏.练一练：1 .某小组共有
2、10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（D）A.27种B.48种C.21种D.24种解析方法一（直接法）：满足题意的选法有两类，一类是1名女生，1名男生，有C；Xc；种选法；另一类是2名女生，有点种选法.所以至少有1名女生当选的选法有dci+d=24（W）.方法二（间接法）：先不考虑限制条件，10名学生选2名代表，有CiO种选法，再去掉不满足条件的，即2名代表全是男生，有Y种选法，所以符合条件的选法有-d=24（种）.2 .从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位偶数，则满足条件的数的个数为逆维个.解析从1,3,5
3、,7中任取2个数字有Y种方法，从2,4,6,0中任取2个数字，不含。时，有心种方法，可以组成CW=216（个）没有重复数字的四位偶数；含有0时，0不能在千位位置，其他任意排列,共有CL（Ai+C=18O（个），所以共有216+180=396（个）.关健能力攻重遁题型探究题型一基本组合问题典例1(1)为了配合创建全国文明城市的活动，某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人组成创文明志愿者小组，若男女教师至少各有一人，则不同的选法共有(C).140种B.84种C.70种D.35种(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，则此人有17325种不同的投资方式.(3)现
4、有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为26.分析(1)选出的3名教师之间无顺序之分，因此是组合问题，但需要对教师的组成人员分类求解；(2)选出的8种股票无顺序之分，选出的4种债券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解；(3)本小题需要注意一个问题，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题.解析(1)(方法一：分类法)可按选取男教师的人数分两类：第一类：从9名教师中选1名男教师2名女教师，共有C；仁种选法；第二类：从9名教师中选2名男教师1名女教师，共有C
5、；以种选法.根据分类加法计数原理得不同选法种数为C；C；+C；d=70.(方法二：间接法)从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有C；种情况.若全为男教师，共有滔种情况；若全为女教师，共有以种情况.所以若男女教师至少各有一人，则不同的选法种数为Cl-d-d=70.(2)需分两步.第一步：根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有僚种选法.第二步：根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C；种选法.根据分步乘法计数原理，此人有2C；=17325(种)不同的投资方式.(3)在这8本杂志中，3本文学杂志是完全相同的，因此从中选取并不是组合问题.从这8本杂志里选取3本，可分四类完成.第一类：文学杂志
6、选取0本，数学杂志选取3本，有C；种不同的选法.第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有以种不同的选法.第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有C；种不同的选法.第四类：文学杂志选取3本，数学杂志选取。本，有1种不同的选法.根据分类加法计数原理，不同选法的种数为序+戏+以+1=26.规律方法求解无限制条件的组合问题的思路对于无限制条件的组合问题，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类(或每一步)中注意分清对象的总数及取出对象的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数.1对点训练(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，
7、每个盒里至多放一个球,则不同的放法有(A)A.然种B.爆种C.5种D.8$种(2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(B)B.点种D. 6种A.Ai种C.58种(3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有(D)A.8种B.以种C.5种D.S种解析(1)由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有麓种不同的放法.(2)由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有点种不同的放法.(3)由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，
8、第5个球也有8种放法.故不同的放法共有8X8X8X8X8=81种).题型二有限制条件的组合问题典例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选：(2)至多有两名女生当选：(3)既要有队长，又要有女生当选.解析(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C；Ch+C=825(种)(或采用排除法有-Cj,=825种).(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有心以+C；*C；+C；=966(种).(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C种；
9、第二类：女队长不当选，则男队长当选，有c!c?+c?d+c?c；+c：种.故共有cl2+dc?+dd+d+cl=790(种).规律方法常见的限制条件及解题方法(D特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.1对点训练在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必
10、须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加；(6)甲、乙、丙三人至多2人参加.解析(1)有C%=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有瑶=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有戊=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C；=3种选法，再从另外的9人中选4人，有种选法，共有点以=378种选法.(5)方法一(直接法)：可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC=378种；第二类：甲、乙、丙中有
11、2人参加，共有CC=252种；第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有CS=36种；共有CM+C+C666种不同的选法.方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有已种，甲、乙、丙三人都不能参加的有C种，所以，共有C%-C=666种不同的选法.(6)方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：第一类：甲、乙、丙都不参加，共有百种；第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有点以种；第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有仁或种.共有C+CK+C=756种不同的选法.方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有(种，甲、乙、丙三人全参加的有Cj种，所以，共有-=756种不同的选法.题型三组合应用中分组
12、分配问题角度1不同对象分配问题典例36本不同的书，按下列要求分组或分配，求各有多少种不同的分法？(I)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人得1本；(7)分给甲、乙、丙三人，甲1本，乙2本，丙3本；(8)甲3本，另外两人中有1人1本，1人2本.解析(1)这是平均分配问题，分3步.第一步：从6本书中选2本给甲，有戊种选法；第二步：从其余的4本书中选2本给乙，有种选法；第三步：把余下的
13、2本书全部给丙，有C种选法.根据分步乘法计数原理得，共有C-C-d=90种不同的分法.(2)这是平均分组问题，共有CQ0=15种不同的分法.(3)这是不平均分组问题，共有dC”060种不同的分法.(4)这是不平均分配问题，在(3)的基础上再进行全排列，所以共有以C；CA；=360种不同的分法.rir,l1r!(5)这是部分均匀分组问题，共有5,5=15种分法.CC】C1(6)这是部分均匀分配问题，在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人，共有l3=90种不同的分法.(7)这是直接分配问题，从6本不同的书中选1本分配给甲，有G；种方法，再从剩下的5本不同的书中选2本分配给乙，有点种方法，最后剩下的
14、3本不同的书全给丙，有点种方法.根据分步乘法计数原理，共有点ChC=60种不同的分法.(注意与的区别)(8)由于甲的书本数己知，先给甲选书，有霖种选法.再把剩下的3本书分成本数分别为1,2的两份，有C；以种分组方法，把分好组的两份书分给乙、丙两个人，有虐种分法.根据分步乘法计数原理，可得共有dCjdA=120种不同的分法.角度2相同对象分配问题典例4有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班.(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？分析(1)直接使用隔板法计数；(2)(3)先将问题进行等价转
15、化，再使用隔板法计数.解析(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有窃=36(种)分法.如图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个.oooooooooo1班2班3班(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有=15(种)分法.如图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是3+1=
16、4(个)，2+1=3(个)，2+1=3(个).ooofloooo1班2班3班(3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有僚=66(种)分法.如图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是31=2（个），61=5（个），4-1=3（个）.ooofloooooo11oooo1班2班3班规律方法L分组、分配问题的求解策略（D分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种.完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有组均匀，最后必须除以加；完全非均匀分组，这种分组不考虑
17、重复现象.（2）分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.2.相同元素分配问题的建模思想（D隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.（2）将个相同的元素分给切个不同的对象（2加，有限:种方法.可描述为A-I个空中插入m1块板.1对点训练（1）我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把5名专家分配到力，8,。三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去力医疗点，则不同
18、分配种数为（B）A.116B.100C.124D.90（2）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？（A）A.680B.816C.1360D.1456解析（1）根据题意，分2步进行分析：将5名医学专家分为3组，若分为2、2、1的三组，有于=15种分组方法，若分为3、1、1的三组，有=10种分组方法.则有15+10=25种分组方法；将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去小医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，则3个组的分派方法有2X2=4种情况，则有25X4=100种分配方法.（2）先给每个小朋友分
19、三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共有七=680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，有680种不同的分配方案.A课堂检刈固双基YWZ1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有（C）.27种B.24种C.21种D.18种解析分两类：一类是2个白球有Ci=15种取法，另一类是2个黑球有点=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）.2. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）A.150种B.180种C.200种D.28
20、0种解析人数分配上有1、1、3与1、2、2两种方式，若是1,1,3,则有警XA=60（种），P1P2P2若是1、2、2,则有MXA；=90（种），所以共有150种，选A.3.四面体的一个顶点为人从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点力在同一平面上，不同的取法有（B）B. 33 种A.30种C.36种D.39种解析如图，含顶点力的四面体的3个面上，除点力外都有5个点，从中取出3点必与点力共面，共有3点种取法；含顶点/的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时共有3种取法.故与顶点力共面的3个点的取法共有3（+3=33（种）.C4.编号为L2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有上。一种.解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C；=10.
