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1、7.5正态分布素养目标定方向学习目标1 .通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2 .通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3 .了解正态分布的均值、方差及其含义.4 .会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.核心素养1 .通过学习正态分布，培养数学抽象和直观想象素养.2 .借助“3。”原则解题，提升数学运算素养.、必街知识探新知知识点1正态分布(D正态密度函数，刻画随机误差的函数F(X)=一T=C-W，x三R其中W3 ，。0为参数.对任意的XWR,F(x)0,它的图象在X轴的上方，X轴和曲线之间的区域为面积_，我们称F(X)为正态密度函数.(2)正态密度
2、曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(3)正态分布：定义：若随机变量的概率密度函数为八%),则称随机变量X服从正态分布；OXMab记作：XMu,2);特例：当A=0,。=1时，称随机变量/服从标准正态一分布.想一想：若JV(,d),怎样表示上图中阴影8的面积？提示：阴影/!的面积尸(收x)；阴影3的面积尸(aWAA)练一练：(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(BCD)A.曲线都在X轴的上方，左右两侧与X轴无限接近，最终可与X轴相交B.曲线关于直线X=对称C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D.曲线与X轴之间的面积为1解析正态密度曲线与X轴永远不相交，A错，其余均
3、正确.知识点2正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线X=对称.(2)曲线在X=P处达到峰值(3)当1/1无限增大时，曲线无限接近于dL.想一想：，c;取值不同对正态曲线有何影响？提示：当参数。取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿X轴平移;当取定值时，当。较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量X的分布比较集中，当。较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X分布比较分散.练一练：解析因为正态曲线函数F(X)关于直线x=l对称，故选D.知识点3XN5M)在区间/+AojV)上的概率(1)概率：P-Jju)0.6827,P(-2。W启+2。)=0.9545,P(-3。W收+3
4、)0.9973.(2)3夕原则：通常认为服从正态分布A(，d)的随机变量X只取-3。，+3。中的值.练一练：关于正态分布做，),下列说法正确的是(D)A.随机变量落在区间长度为3。的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6。的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在(一3%3。)之外是一个小概率事件D.随机变量落在-3。，+3。之外是一个小概率事件解析因为小一3。乏收+3C)0.9973,所以尸或水-3。)=I-P(一3。W收+3。)七1一0.9973=0.0027.所以随机变量落在-3。，+3之外是一个小概率事件.关键能力攻重旗Ga题I型I探1究题型一正态分布和正态曲线的性质1(
5、xu)9典例1(D已知三个正态密度函数,=(xR，/=l,2,3)的图象aN2乙。乙i如图所示，则下列结论正确的是(D)B. 小=23,12=3,1=23D. 1“2=3,。1=。2一。)=2。(/+。)+。(尼+。)1) .函数尸(x)=P(尤*)在R上单调递减解析(1)由正态曲线关于直线X=,对称，且。越小，曲线越“瘦高”，。越大，曲线越“矮胖”，知小2,12,故A、B均不正确；由尸CrWa)为X轴、直线x=a及Aa时的曲线所围成的面积知C正确，D错误.故选C.(2)曲线y=人力与X轴用成的几何图形的面积等于1,所以A不正确；f(x+)=-=-1e3;万，f(uj=f=eJ石，所以f(x+
6、)=f(一x),所以函数f(x)的图象关于乙。乙y211o乙G乙直线X=对称，所以选项B正确；因为P(U-X一。)=?(-X+。),(V+。)=2P(JXx)随X的增大而减小，是减函数，所以选项D正确.题型二利用正态分布的对称性求概率典例2设人加(10,1).(D求证：P(1K2)=P(18AK19)；若尸QW2)=a,求P(I(X/18).解析(1)证明：M10,1),正态曲线OnJX)关于直线X=Io对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线X=Io对称，即尸(12)=尸(18*19).(2)VP(2)+P(2T10)+A10K18)+A18)=1,=10,P(2)8)=a,H2J10
7、)=P(1018),.2a+2P(10M8)=l,1 一2a1即尸(IoqU8)=2a,规律方法正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(D充分利用正态曲线对称性和曲线与X轴之间面积为1.(2)熟记尸(一。启+。)，户(一2。启+2。)，P(一3。启+3。)的值.(3)注意概率值的求解转化：/(/a)=l-尸(冷疝；尸(/c=尸(冷+而；若b2)=0.023,则尸(一2c)=a,则狄f4一。)等于(B)A.aB.1aC. 2aD.l-2a解析(l)P(-24-c)=l-P(fc)=l-a题型三实际问题中的正态分布典例3(D数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数才近似服从正态分
8、布，且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率；(2)某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸/4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？分析(3)判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想.欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(一3。，+3。)之内还是在(3。，+3。)之外.解析(1)由题意可知，分数hA110,2()2),/=110,=20,P(信90)=P(4110-20)=0(尼一。)，因为P(XW-)+P(一J+。)+P(冷+。)=2/QW
9、一。)+0.683=1,所以P(启O)=O.1585,所以尸(冷90)=1一尸CrW一。)=1-0.1585=0.8415.(2)由于圆柱形零件的外径尺寸hV(4,0.25),由正态分布的特征可知，才在区间(43XO.5,4+3X0.5)(即(2.5,5.5)之外取值的概率约为0.0027.而5.745,5.5),这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的.规律方法解答正态分布的实际应用题的关注点(D方法：转化法，把普通的区间转化为3。区间，由特殊区间的概率值求出.(2)理论基础：正态曲线的对称性；曲线与X轴之间的面积为
10、1：P(一。W启+)1尸(-2W启+2。)，一3。WXW+3。)的概率值.10对点训练(1)已知某批零件的长度(单位：毫米)服从正态分布MloO,32),从中随机抽取一件，其长度落在区间(103,106)内的概率为(B).4.56%B.13.59%(2)现有1OOO名学生参加数学测试，测试成绩飘满分150分)服从正态分布M100,2),已知120分及以上的人数为160人，那么通过以上信息推测这次数学成绩140分以上者人数约为(B)A.20B.25C.30D.40解析(1)尸(103*106)=2(+2。)J):他Lq。里2J=。,l359=13.59%.因为成绩1(满分150分)服从正态分布M
11、lO0,2)f又因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，所以A80A由此可知，=20,即hM100,2()2),所以600的图象是下图中的(D)解析正态曲线函数的图象关于直线X=0对称，故选D.2 .若了一2,则才落在(一3.5,-0.5内的概率是(B)A.95.45%B.99.73%D. 0. 27%C.4.55%解析由/一2,知=-2,P(-3.5I-0.5)=P(-2-30.5A-230.5)=0.9973.3 .某物理量的测量结果服从正态分布MIO,d),则下列结论中不正确的是(D).。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大8 .。越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.。越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等解析对于A,。越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确.对于B,C,由于正态分布图象的对称轴为=10,显然B,C正确.D显然错误.故选D.4.(2022新高考II)已知随机变量才服从正态分布.M2,2),且尸(22.5)=0.14.解析因为hM2,2)f所以Pa2)=0.5,所以Pa2.5)=Pa2)狄2辰2.5)=0.5-0.36=0.14.
