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1、双曲线的简单几何性质一、教学目标本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。(1)知识目标：使
2、学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。(2)能力目标:在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。(3)德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。二、教学重点、难点对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生
3、对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。三、教学程序（一） .设计思路这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生
4、自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。（二） .教学流程1 .复习引入我们已经学习过椭圆
5、的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。2 .观察、类比这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性
6、质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系,借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。3 .双曲线的渐近线(1)发现由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线Xa-/=1的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地商出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数1y=一的图像，
7、它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与X、y轴无限接近，此时X、y轴是17=一X的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线X2-/=1有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性,我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程2=1,可解出尸=当X无限增大时，y也随之增大,士=PI=L1不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为137VTr1y,我们就会发现：当X无限增大，/逐渐减小、无限接近于0,而1就逐渐增大、无限接2L0,b0)的渐y2X21ab222y=(X-a)近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为b2a2,a2,
8、由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为/斤不4afXaX,可发现当X无限增大时，犬逐渐减小、无限接yb近于0,1逐渐增大、无限接近于即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点bbJ之间连线的斜率比4小，与斜率为。的直线无限接近，且此点永远在直线a下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线X2y21.4.4F-r=1r=-?r=-a3b2(a0,bX)的图形在远处与直线a无限接近，直线a221.-匕=1叫做双曲线a2b2(a0,b0)的渐近线。将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用
9、极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。(2)几何画板演示IMQI越来越短，因此把问题转化为计算IMQl。但因IMQl不好直接求得，因此又可以把问题转化为求IMNI。此又可以把问题转化为求IMNI。MQ,a”1,这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。22k2I=4一-=JfT-I=42-I由等式C=6,可得：aa，不难发现：e越bb小(越接近于1),1就越接近于0,双曲线开口越小；e越大，Z就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探
10、究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。5 .例题分析例L求双曲线9x2-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。变1：求双曲线9y2162=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。例2.已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e=54,中心在原点，焦点在X轴上，写出双曲线的标准方程，并求出双曲线的渐近线和焦点坐标。6 .课堂小结（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质：（2）双曲线的几何性质总结（学生填表归纳）。
