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1、双曲线的性质,双曲线的标准方程,形式一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0）,形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）其中,复 习,Y,X,F1,F2,A1,A2,B1,B2,焦点在x轴上的双曲线图像,2.对称性,研究双曲线 的简单几何性质,1.范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),课堂新授,3.顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,4、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e的范围：
2、,（3）e的含义：,5.e的几何意义：,x,y,o,a,b,c,b,a,c,，固定a，若e增大，则c增大，开口增大。,A1,D,D,A1,在双曲线中e越大,开口越大。,A1,A2,B1,B2,a,b,c,几何意义,思考：,规定：,6.双曲线的渐近线,两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？,双曲线 的渐近线方程是什么？,7.双曲线的画法：,定顶点,画矩形,画渐近线,画双曲线,方程是,渐近线方程为 _ _,定义：实轴与虚轴等长的双曲线,x 2 y 2=k(k 0),8.等轴双曲线,离心率 e=_,8.等轴双曲线,9.共轭双曲线,焦点在x轴上,焦点在y轴上,实轴长=2a、虚轴长=2b,实轴长=2b、
3、虚轴长=2a,共轭双曲线的焦点共圆,以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线，求证：(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线；(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上。,Y,X,A1,A2,B1,B2,F1,F2,o,F2,F1,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一
4、定是共轭双曲线吗？,例1:求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。（教材58页例3）,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例题讲解,所以c=5,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,B1（0，-b），B2（0，b）,F1(-c,0)F2(c,0),关于x轴、y轴、原点对称,A1（-a，0），A2（a，0）,渐进线,无,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2
5、（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),|x|,4,(6,0),练习题:填表,方程,实轴长,虚轴长,范围,顶点,焦点,离心率,渐近线,所表示的双曲线有如下结论：（1）有相同的顶点（2）有相同的焦点（3）有相同的离心率（4）有相同的渐近线 其中正确的是()A.（1）（4）B.（2）（4）C.（3）（4）D.（4）,结论,C,与 有相同渐近线的双曲线是,渐近线方程是 的双曲线方程可设为,记住,例3、双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线方程是 x=1.且经过点A（2，2）.（1）求双曲线的离心率e;(2)双曲线右焦点的
6、轨迹方程.,答案:,练习：1、求双曲线 的共轭双曲线的顶点和焦点坐标及渐近线方程。,2、求与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4的双曲线方程。,3、教材61页练习2-4，习题A组3、4、6，,教材58页例4,课堂练习,错了,7、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为。8、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为。,9.设双曲线 的半焦距为 c，直线L过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线L的距离 为，求双曲线的离心率,1、“共渐近线”的双曲线,0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。,2、“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示
7、为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为,例5:求下列双曲线的标准方程：,例题讲解,法二：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为,法二：设双曲线方程为,双曲线方程为,解之得k=4,双曲线的渐近线方程为,解出,回顾：椭圆的第二定义？,椭圆的第二定义：动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比为定值e（0e1)，则动点的轨迹是椭圆。,题目：动点M（x,y)与定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数（ac0)，则动点的M轨迹是椭圆。,双曲线的第二定义：动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比为定值e（e1)，则动点的轨迹是双曲线。,x,y,l,点M(x,y)与定点F(c,0)的距
8、离和它到定直线 的距离的比是常数，求点M的轨迹。,解：设d是点P到直线的距离根据题意得,令,双曲线的第二定义,1.第二定义：当点M到一个定点的距离和它到定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线。,定点为双曲线的焦点，定直线为双曲线相对应于此焦点的准线，常数e为双曲线的离心率。,2.准线方程：,两准线间的距离是,3.焦半径公式,重在理解，关键用第二定义。,例1.(04湖南)如果双曲线 上一点P到右焦点的距离为，那么点P到右准线的距离是（）A.B.13C.5D.,A,变式1：点P到左准线的距离多少？,变式2：若|PF2|=3,则点P到左准线的距离多少？,13或13/5,反思：为什么原题及变
9、式1只有一解？,?,变式：求|PA|+|PF|的最小值,例2.已知点A(3,2)、F(2,0),在双曲线上 求一点P,使 最小。,F1,x,R,例3.(04重庆)已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率的最大值为（）A.B.C.2D.,B,|PF1|=a+ex0,|PF2|=ex0-a,a+ex0=4(ex0-a),总结,1、双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相推出，双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点 的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率。这也是双曲线的一个几何性质；,2、求双曲线方程要根据具体条
10、件具体对待，确定焦点 的位置很重要的；,3、把双曲线的性质分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行归纳总结；,5、注意等轴双曲线和共轭双曲线的概念、特征、性质。,4、注意双曲线的性质与椭圆的性质的比较；,直线和双曲线的位置关系,直线与双曲线位置关系(从“形”角度研究),相交,相切,相离,有两个公共点,有一个公共点,只有一个公共点,没有公共点,在同一支,分别在两支,直线与渐近线平行,注意：直线与双曲线只有一个公共点，情况有两种，与椭圆不同。,位置关系与交点个数,相离:0个交点,相交:一个交点,相交:两个交点,相切:一个交点,(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次项系数为0
11、时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。,2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,相切一点:=0相 离:0,直线与双曲线的位置关系:,相交两点:0 同侧：0 异侧:0 一点:直线与渐近线平行,特别注意：直线与双曲线的位置关系中：,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支,练习：求下列直线与双曲线的交点坐标,1、,2、,3、,4、,无解,例1 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求 k的取值范围。,即此方程无解。,引申：（1）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围。,直线与双曲线位置关系(从“数”角度研究),问
12、:k1有何几何意义？,（2）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点，求k的取值范围。,此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则,左支,两支都有,实际上，0可省略，为什么？,引申：（3）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公共点，求k的值。,即此方程只有一解,直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：,直线平行渐近线,直线与双曲线相切,注意：极易疏忽!,解题回顾：,根据直线与已知双曲线公共点的个数，求直线斜率k的取值范围问题的方法：,有两个或没有公共点时，根据双曲线联立 后的一元二次方程的判别式或根的分布来判断。,1、,有一个公共点时，考虑一元二次方程的二次项系
13、数为零和判别式等于零两种情况。,2、,利用数形结合，求出渐近线和切线斜率，利用图形观察直线变化时与曲线交点的情况确定k的取值范围。,练习1、若过双曲线3x2-y2=3的右焦点F2，作直线l 与双曲线的两支都相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是。,变式：在上题中，若l 与双曲线在第一象限内有交点，则l 的斜率的取值范围是,数形结合，可以快捷解题。,2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_,例2 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。,因为直线与双曲线交于A、B两点,
14、设A（x1，y1），B（x2，y2），则,而以AB为直径的圆过原点，则OAOB，即x1x2+y1y2=0,过点P(1,1)与双曲线,只有,共有_条.,变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?,4,1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.,交点的,一个,直线,（1，1）,。,练习：,1、直线与双曲线的位置关系：,相交有两个公共点，0有一个公共点（直线与渐近线平行或二次方程的二次项系数为零）,相切 有一个公共点，=0,相离 没有公共点，0,小结：,注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化
15、为二次方程，运用判别式、根与系数关系二次方程实根分布原理来解决。,2、,判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的渐近线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,例3、过双曲线 的右焦点 倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。（教材60 页例6）,例4双曲线3x2-y2=3的左、右焦点分别为F1F2，(1)过左焦点F1作倾斜角为30的弦AB，弦长|AB|;(2)已知直线y=kx-1交双曲线左右两支,求k的范围;(3)F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）;,(4)过双曲线左焦点F1作直线l 交双曲线于A、B两点
16、，若|AB|=6,则这样的直线有几条?,解题回顾:,求直线与双曲线弦长方法:,利用公式,（1）,和根与系数关系求弦长,若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的乘积,在应用时要注意区分两种情形:,（2）,如果两点在同一支上,那么,(见图一),如果两交点分别在两支上,那么,(见图二),A,B,F1,图1,F1,A,B,图2,x,x,y,y,“焦点弦的最小值问题”的有关结论,(1)当弦的两端分别在双曲线的两支时，,实轴就是最短弦，其长为2a.,(2)当弦的两端同在双曲线的一支时，,通径就是最短弦，其长为,A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),引申
17、:过双曲线3x2-y2=3左焦点F作直线l 交双曲线于A、B两点，若|AB|=6,则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条,例5.已知双曲线的方程为 求以P(2,1)为中点的弦MN所在的直线方程.试问是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在说明理由.,(1)4x-y-7=0,(2)2x-y-1=0,(3)过点P(2,1)的直线l与所给双曲线交于C,D两 点,求线段CD中点M的轨迹方程.,(3)4x-y-7=0,对于此类问题,常用点差法和方程讨论法,但点要注意对检验!,二.弦的中点问题(韦达定理与点差法）,假设存在这样的弦，,不存在这样的弦,k不存在
18、显然不合题意,设弦所在的直线方程为：,并且交双曲线于C(x1,y1),D(x2,y2）,方程讨论法：,中点弦问题的解决思路:（1）通过联列方程组，消去一个变量转化成一元二次方程，结合根与系数的关系求斜率.（2）利用点差法求斜率.解法要领：设而不求，两式相减.（3）点差法求方程要注意检验:若点在双曲线开口内（图中的阴影部分），则以该点为中点的弦一定存在.若点在双曲线开口外（图中的另外部分），则以该点为中点的弦不一定存在，必须检验.,例6 已知双曲线3x2-y2=3，且双曲线上存在关于直线l:y=kx+4对称点，如图所示，求实数k的取值范围。,例7(04全国)设双曲线 与直线 相交于点A、B。(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。,二、圆锥曲线的参数方程,2、双曲线的参数方程,b,a,o,x,y,),M,B,A,双曲线的参数方程,双曲线的参数方程,说明：,这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.,例2、,解：,
