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1、利用导函数研究函数的隐零点问题一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数/(无)，导函数方程/(X)=O的根存在，却无法求出，设方程T(X)=O的根为%,则有:关系式/(%)=0成立；注意确定/的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数/(x,),其中。为参数，导函数方程/(x,)=0的根存在，却无法求出，设方程。)=0的根为则有有关系式f(x)=O成立，该关系式给出了玉),。的关系；注意确定方的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理：设函数力在闭区间凡可上连续，且/()/S)VO,那么在开区间(。/)内至少有函数/(x)的一个零点，即至少有一
2、点(4),使得“o)=O若/(4)(0)0,则/(x)的零点不一定只有一个,可以有多个若a)“。)。，那么在W,可不一定有零点若/(冗)在。，可有零点，则/()(b)不一定必须异号(3)若/(x)在句上是单调函数且连续，则/3)l,使/()+x0时，(X-女)(x)+x+lO,求攵的最大值.3 .己知函数/(X)=吧上,eR.若x=l是/(x)的极值点，求外当WT时，证明：/(x)e-2-l.利用导函数研究函数的隐零点问题一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数/(无)，导函数方程/(X)=O的根存在，却无法求出，设方程T(X)=O的根为%,则有:关系式/(%)=0成立；注意确定/
3、的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数/(x,),其中。为参数，导函数方程/(x,)=0的根存在，却无法求出，设方程。)=0的根为则有有关系式f(x)=O成立，该关系式给出了玉),。的关系；注意确定方的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理：设函数力在闭区间凡可上连续，且/()/S)VO,那么在开区间(。/)内至少有函数/(x)的一个零点，即至少有一点(4),使得“o)=O若/(a)(0)0,则/(x)的零点不一定只有一个,可以有多个若a)“。)。，那么在W,可不一定有零点若/(冗)在。，可有零点，则/()(b)不一定必须异号(3)若/(x)在出句上
4、是单调函数且连续，则f()3)0,从而说明g(x)=e12x-3在R上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出g0,5=？-20,所以：存在.“U，使得g(%)=0,即1+2/-3=0,也即/=3-2/第6步：得到g(x)=+x2-3x+3的单调性：当x(yo,Ai)时，()O,g(x)单调递增.第7步：求g(x)milj(x)()=,2-+3=3-2xoxo2-33=2-5+6当Xoe(；)时，2-02-5x0+60恒成立，则/(X)在R上单调递增，且/(0)=0所以当x0时，,(x)0时，,(x)0所以/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.所以当X=O时，力有极小值O)
5、=I-O+0=1,无极大值.存在实数X,使得f(x)x2+2x3+2帆成立即存在实数1,使得e-x+224f+2-3+2m,即，+f-3x+32加成立设g(x)=+W-3x+3,即(X)S0X11un/(x)=+27小)=/+20所以g(x)=+2x-3在R上单调递增./=e-lO,g(g)=G20所以存在/w(g,l),使得g(%)=0,即1+2/-3=0,也即*=3-2/所以当x(o,%)时,gK)O,g(x)单调递增.所以g(x)g(xo)=淖+-3xq+3=3-2a+-3x0+3=玉)2-5%+6当Ai)(万/)时，2x02-5x0+61,使f()+l,使/()+xnx+2x-t由于x
6、l等价转化为：4+工XX-I第2步：构造函数：g(x)=则目标转化为：Cg(x*nX1ynYJ-2X1/XInX-2第3步：借助导致研究g(=叫匕f：g(1=,H(g(x)不容易确定正负，且含有Inx,通常进行二阶导)；令：h(x)=x-nx-2第4步：求二阶导：MX)=I=MX)在(L+)上单调递增第5诟借助零点存在定理？找出MX)=XTnX-2的根：M3)=3-ln3-2=l-ln3vO,(4)=4-ln4-2=2-21n20,根据零点存在性定理，可知MX)在(l,+)上有唯一零点，设该零点为,则内)e(3,4),且&j=N)-InXO-2=0,即第6步：得到晨力=包若1的单调性：当)时，
7、/(xo)O,g()单调递增.第7步：求g(x),zg(%n=纪艺上产一+1,a0(3,4)第8步：得到结论，可知y+1,又飞3,4),。2,的最小值为5【答案】(1)f(力的增区间为(0,2),减区间为(2,内)(2)5【详解】(1)由题意可知，o,(x)=i-=2y当=-2时，令r(x)=0,x=-l或x=2：r(x)O时，0x2,f(x)在(2,+oo)单调递减：综上所述，的增区间为(0,2),减区间为(2,”)(2)原式等价于(xl”jdnx+2x1,即存在xl,使业牛成立.X-I设 g(x) =xlnx2x-lx-1则 g(H =x-nx-2(if设(X)=X-lnx-2,则“(=1
8、一，=!0,.z(x)在(L+oo)上单调递增.X(3)=3-ln3-2=l-ln30,根据零点存在性定理，可知MX)在(1,E)上有唯一零点,设该零点为飞,则无3,4),且(%)=%-仙与-2=0,即/一2=InX0, g(x)minX11 In .r0 + 2xfi -1XOT由题意可知0+,又不3,4),z,的最小值为5.三、题型归类练a11. (2021山西太原五中高三阶段练习(理)设函数)=Mx,g(x)=r+3(R).X(1)求函数奴X)=+g)的单调增区间；(2)当。=1时，记/Z(X)=V)g(%),是否存在整数4,使得关于X的不等式24Kr)有解？若存在，请求出4的最小值；若
9、不存在，请说明理由.(参考数据：ln20.6931,ln31.0986)【答案】(1)答案见解析(2)存在，2的最小值为0因为奴幻=(x)+g(x)=1nx+r+3(x0),Xf-r“、1a-ax2+x-(a-)ar一(l)(x+l)八所以9(x)=+a-=7=(%0)，Xirx-x-当a=0时，由(H0,解得x0：当al时，由(x)O,解得x?；当00,解得x0;当a=l时，由d(%)0,解得XO;当av时，由(x)0,解得0工与匚，综上所述,当a1时，0(x)的增区间为(1+8).(2)当a=l时,g(x)=x-3,所以力(X)=(X-3)lnx,而Zf(X)=Inx+=Inx+1XX因为
10、y=lnx,y=-/均为(0,+e)上的增函数,3故(x)=lnx-三+1为(0,y)上的增函数,X而(2)=ln2-g0,I(I)=InlIvO,故Aa)在(0,+8)上有且只有一个零点七,x023且InxO=1且Xe(O,0)时，3O,故人(K)在(0,不)上为减函数，在(M,”)上为增函数,3IQ故)min=M/)=(七3)InXO=(X0-3)_1=6-X0+-v-xO/313920因为5%2,-xo+-t12,2(9所以一彳0时，(x-,(x)+x+l0,求攵的最大值.【答案】(1)若0,/(x)在R上单调递增：若0,/(x)的单调减区间是：(口,lna),增区间是：(ln,”)；(
11、2)2.【详解】(I)/(力的定义域为R,f(x)=ex-a,若,0,则f(x)O,/(力在霏上单调递增;若0,则f(x)=O解得X=In.当X变化时，r(),Fa)变化如下表:X(-,lnrt)Ina(Ina,+)r()-0+f)减极小值增综上所述：若O,/()在A上单调递增；若O,/(x)的单调减区间是：(YQjna),增区间是：(Ina,+8).(2)由于=l,所以(x-A)r(x)+x+=(x-(e*-l)+x+l.故当x0时，(X-W(X)+x+l0等价于vf+x(xO),e1令g(x)=芸+X，er(ex-X-2)则十寸.由(1)知，当。=1时，函数/(M=eT2在(0,+8)上单
12、调递增，而f0,所以力在(o,y)存在唯一的零点.故gx)在(0,+8)存在唯一的零点.设此零点为。，则c(l,2)当Xe(O,)时，g(x)0所以g(x)在(0,m)的最小值为g(。).又由g()=O,可得e0=a+2,所以g()=+le(Z3).由于式等价于攵Vgs),故整数女的最大值为2.3. (2022.福建莆田.高二期末)已知函数力=丹E,aeR.若X=I是/(x)的极值点，求。；当aT时，证明：f)e2-.【答案】(1)1(2)证明见解析依题意，/的定义域为9,+义由f(x)因为X=I是/(X)的极值点，所以r=0,即1一4=0,即。=1当。=时，r(x)=坐，当X0,1)时,ff
13、(x)Of所以f(x)在(U)单调递增;当x(l,+oo)时，ff(x)Of所以力在(1,+8)单调递减；所以f(x)在X=I处取得极大值，符合题意因此=1当T时,要证/Cr)eL2-i,只需证f(力+1-色皿0,即证*+Jei,等价于证明ln+x-XeToX令g(x)=l9+x+-疣&,则gx)+_(x+l)e-2=(x+i)l-e*-2令MX)=-j2,则(力=一5一广2,所以“(x)0，M2)=g0,即/(x)0,所以g(x)在(0,%)单调递增;当X(%+8)时，MX)0,即g(x)v,所以g(x)在C,+)单调递减,所以g(x)g(%).又因为M)=0,即L-ee-2=o,gJ-=e1-2,x2=,即/=e-%,xOXO所以InXo=2-所以g()=ln+/+-/eT=(2-$)+与+-1=1+，又因为T,所以l+0,即gU)O,因此g(x)O,BPnx+x-xex210,圆/(x)e*2-l15
