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1、经历探究过程，培养模型意识-以植树问题为例附教学评量表一、引言1 .目标概述在本次的教学设计中，我们将探讨植树问题，一种典型的数学应用问题,来展示数学与现实世界之间的紧密联系。通过这个问题，学生不仅能够理解数学概念的实际应用，还能够学会如何构建和应用数学模型来解决现实世界中的问题。这种方法不仅提升了数学学习的趣味性和实用性，也帮助学生培养了批判性思维、解决问题的能力以及数学的应用意识。2 .学习背景与重要性植树问题，作为数学教学中的一个实际应用案例，具有丰富的教学价值。它是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。例如，在一条20米的路上植树，如果每隔5米植一棵树，那么整条路上总共能植多少棵树
2、？这个问题看似简单，实则涉及到了间隔数和物体数量之间的关系，以及如何将实际问题转化为数学问题的能力。止匕外，植树问题的讨论不仅限于数学领域内，它还扩展到了生活中的多种情境，如装路灯、排队等待、间隔固定的物体排列等，让学生认识到数学不仅仅是抽象的符号和公式，更是一个可以用来理解和改善我们周围世界的工具。通过这种教学方法，学生能够在解决具体问题的过程中，加深对数学概念的理解，并发展出应用这些概念的能力。这不仅增强了学生的数学学习动机，也帮助他们认识到学习教学的现实意义和应用价值。二、教学目标1.理解植树问题的数学模型本课程的主要教学目标之一是让学生理解并掌握植树问题的数学模型。植树问题，作为一个生
3、动的数学应用实例，不仅展示了数学在解决实际问题中的应用，还提供了一个理想的场景来引入和理解数学模型的概念。植树问题通常表述为：在一定长度的路边按固定间隔植树，要求学生根据给定的总长度和间隔距离,计算可以植树的数量。例如，一个典型的问题可能是，如果有一条20米长的路，每隔5米植一棵树，那么这条路上最多可以植多少棵树？”这个问题看似简单，却蕴含了数学模型的核心元素：将现实生活中的问题抽象化，并使用数学工具进行解答。在教学过程中，我们首先引导学生理解问题中的基本元素：总长度、间隔距离和树的数量。接着，通过分析不同的植树情况（比如两端都植树、一端植树、两端都不植树），学生将学会如何将这些具体情境转化为
4、数学公式。这个过程不仅涉及基本的数学运算，如除法和加减法，也需要学生理解和应用间隔数和树的数量之间的关系。我们还将通过不同的实际例子，如排队问题，来帮助学生理解植树问题模型的普适性。例如，将排队中的人比作树，空间间隔比作树之间的间隔，引导学生发现这两个不同的情境在数学上有着相同的结构。这种方法不仅加深了学生对数学模型的理解，还提高了他们的思维灵活性，能够在不同的情境下应用相同的数学原理。2 .培养抽象和归纳能力在本课程中，另一个核心教学目标是培养学生的抽象和归纳能力。这些能力对于理解和应用数学概念至关重要，尤其是在处理像植树问题这样的实际问题时。通过本课程，学生将学会如何从具体的现实情境中抽象
5、出关键的数学概念，以及如何归纳出通用的数学规律和模型。以植树问题为例，学生初次面对这个问题时可能会被具体的数字和情境所束缚，如路的具体长度或树的具体间隔。然而，通过教学活动的引导，学生将学会抛开这些具体的数字，而专注于理解植树问题背后的数学结构：即如何根据总长度和间隔距离来确定树的数量。这种能力将帮助学生理解，无论路的长度或树的间隔如何变化，求解的基本方法和原理是不变的。归纳能力的培养则体现在教学过程中，学生通过探索植树问题的不同情况（两端都植树、一端植树、两端都不植树）后，归纳出一般性的规律。例如，学生可以发现，不管树的具体间隔是多少，总是可以通过总长度除以间隔距离来计算间隔数，再根据具体情
6、况调整以得到树的实际数量。这种通过具体实例到一般规律的归纳过程，是数学思维的重要组成部分。3 .提高解决实际问题的数学应用能力在本课程中,我们旨在提高学生利用数学解决实际问题的能力，特别是在类似植树问题这样的实际情境中。这一目标的实现不仅要求学生理解数学模型的构建和运用，还要求他们能够将这些模型应用于解决现实世界中的各种问题。此外，我们将通过一系列类似于植树问题的实例来进一步提升学生的应用能力。例如，可以引入排队问题、装路灯问题或间隔固定的物体排列问题，这些问题在结构上与植树问题相似，但又各具特点。通过对这些问题的探索和解决，学生将学会如何在不同的实际情境中运用相同的数学模型。课程还会涉及一些
7、更为复杂的应用情境，如在不规则形状的区域植树或在不同条件下优化植树方案等问题。这些问题将挑战学生将数学模型与实际情境相结合的能力，促使他们思考如何在复杂或不确定的环境中应用数学知识。三、教学内容分析1 .实际问题的数学化：排队问题与植树问题的关联植树问题的引入植树问题是一个典型的实际问题，可以用数学方法解决。这个问题通常表述为：在一定长度的路边按固定间隔植树，需要确定可以植树的数量。例如，如果有一条20米长的路，每隔5米植一棵树，学生需要计算整条路上可以植多少棵树。这个问题虽然简单，但却涉及到间隔数与物体数量之间的关系，以及将实际问题转化为数学问题的能力。排队问题作为类比为了更好地理解植树问题
8、，我们将其与排队问题进行类比。在排队问题中，可以将人比作树，人与人之间的空隙则相当于树与树之间的间隔。通过这样的类比，学生可以更容易地理解植树问题中的间隔数和树的数量之间的关系。例如，如果让学生想象5个学生站成一排，他们可以观察到其中的空隙数（间隔数）。这种直观的比较有助于学生理解，在不同的植树（或排队）情况下，间隔数与树（或人）数量之间的关系如何变化。从现实到数学的转换在讨论这两个问题时，重点是指导学生如何从具体的生活情境中提炼出数学问题。这包括识别问题中的关键数学元氯如总长度、间隔距离、数量）和理解这些元素之间的关系。通过这种方法，学生不仅学会了解决特定的植树问题，更重要的是，他们学会了一
9、种通用的思维方式：如何将日常生活中遇到的具体情境转化为可以用数学工具解决的问题。这种能力是数学教育的核心目标之一，即培养学生的数学应用能力和问题解决能力。2 .数学问题的模型化：从具体问题到抽象模型的提炼植树问题的模型化植树问题提供了一个理想的案例来展示如何将一个看似简单的实际问题转化为一个数学模型。在这个问题中，我们有一个具体的场景：一条特定长度的路和每隔一定距离植一棵树。要解决这个问题，学生需要理解并应用间隔数（空隙数）和物体数量（树的数量）之间的关系。通过引导学生观察和分析这个问题，我们可以帮助他们理解如何从具体的实际情境中提炼出关键的数学信息。例如，学生首先需要识别出问题中的关键数值:
10、路的总长度和树之间的间隔。接下来，他们需要理解这些数值如何转化为可以进行数学运算的数据。在植树问题中，这意味着学生需要学会如何将总长度除以间隔距离来计算间隔数，然后根据不同的植树情况（两端都植树、一端植树、两端都不植树）来确定树的实际数量。抽象和归纳在模型化过程中，学生将通过抽象和归纳的思维方式来理解这个问题。这包括从具体的数字中抽象出一般的规律，如间隔数与树的数量之间的关系，并归纳出适用于所有类似情况的数学公式。例如，学生将学会如何将不同长度的路和不同间隔距离的植树问题归纳为一个通用的数学模型，这个模型可以应用于任何类似的植树场良35.03 .数学模型的应用：问题链与模型的迁移类推问题链的创
11、建为了深化学生的理解，课程中将创设一系列相互关联的问题，形成一个问题链。这些问题在结构上与植树问题类似，但在具体情境上有所不同。通过解决这一系列问题，学生可以逐渐理解数学模型的普适性和灵活性。例如，可以引入安装街道灯、规划停车位等问题，让学生发现这些问题虽然在具体内容上不同，但在数学结构上与植树问题相似。模型的迁移和类推在教学过程中，特别强调如何进行模型的迁移和类推。学生将学习如何将植树问题的数学模型迁移到其他问题上，并进行必要的调整和优化。例如，学生将探索如何将植树模型应用于安装路灯的问题，考虑路灯的间隔、路的总长度，并确定路灯的数量。这种迁移不仅需要学生理解数学模型的基本结构，还需要他们考
12、虑新问题的特殊要求和条件。四、教学步骤1 .引入新课：通过排队问题引出植树问题在这一教学步骤中,我们将通过一个熟悉的日常活动排队问题，来引入植树问题。这种方法旨在帮助学生从已知和熟悉的概念过渡到新的和可能不太熟悉的数学问题。引入排队问题首先，我们将让学生想象一个日常场景：在学校的食堂门前，学生们排成一队等待进入。接着，提出一个问题：如果有5个学生排成一队，会有多少个空隙？学生可以根据自己的经验或者在课堂上进行小型的模拟活动来猜测答案。这个简单的问题有助于学生理解间隔数与物体数量之间的关系。转换到植树问题一旦学生们理解了排队问题中人和空隙的关系，教师将引导他们将这种理解转换到植树问题上。教师可以
13、提出一个具体的植树问题：假设你有一条20米长的路，你每隔5米植一棵树，你能植多少棵树？这个问题将帮助学生从排队问题中的间隔数和人数的关系，过渡到植树问题中的间隔距离和树的数量的关系。嵌入性评价评价内容评价标准1分：未能建立排队和植树问题之间的联系。学生对排队问题与植树问2分：能够识别排队和植树问题之间的基题关系的理解本相似性。3分：能够清晰地解释排队问题与植树问题之间的关系，并举例说明。学生对植树问题中间隔数1分：未能理解间隔数与树的数量之间的与树的数量关系的理解关系。评价标准评价内容2分：理解间隔数与树的数量之间的基本关系，但可能在应用中出现错误。3分：准确理解并能够正确应用间隔数与树的数量
14、之间的关系来解决问题。2 .探究活动：小组内探讨植树问题的各种情境在这一教学步骤中，学生将通过小组讨论的方式深入探讨植树问题的不同情境。这个活动旨在促进学生之间的交流，帮助他们通过合作学习更好地理解和应用植树问题的数学模型。活动描述学生将被分成小组,并在每个小组中讨论植树问题的不同变体。例如，教师可以提出不同的植树情境，如不同长度的路、不同间隔的树木种植，或者考虑一些实际因素，比如路边已有的建筑或自然障碍。学生需要在小组内讨论如何应用植树问题的数学模型来解决这些具体情境，并且预测可能的结果。讨论主题标准植树问题：如20米长的路，每隔5米植一棵树。实际因素考虑：两边需要植树、两边不需要植树、存在
15、障碍等等。嵌入性评价评价内容评价标准对标准植树问题的理解与应用1分：未能正确理解或应用植树问题的数学模型。2分：能够基本理解并应用模型，但在复杂情境中出现错误。3分：准确理解并能够灵活应用植树问题的数学模型于不同情境。对植树问题变体的探讨与解决方案的提出1分：未能提出合理的解决方案或对变体问题的理解有误。2分：能够对部分变体问题提出基本的解决方案。3分：能够对各种变体问题提出创新且有效的解决方案。3.学生交流：详解数学模型的构建过程数学模型构建的基本步骤首先，教师将向学生介绍构建数学模型的基本步骤。这包括识别问题中的关键变量（如路的长度、树的间隔）、定义这些变量之间的数学关系（例如，树的总数是
16、路的长度除以树的间隔），以及将这些关系表达为数学公式。例如，在植树问题中，可以引入公式：植树的数量=马路长度/间隔长举例作为示例。从具体到抽象的转化接下来，将讨论如何将植树问题中的具体情境转化为抽象的数学问题。教师将展示如何从实际的长度和间隔中抽象出一般的规律，并将其表达为数学公式。此外，还将探讨在不同植树情境下（比如两端都植树、一端植树、两端都不植树），如何调整这一公式以适应不同的情况。应用数学模型最后，教师将通过具体的例子，展示如何应用这一数学模型来解决植树问题。例如，如果有一条30米长的路，每隔4米植一棵树，学生将使用模型来计算可以植树的数量。通过这种方式，学生可以看到数学模型在实际应用
17、中的作用，并理解模型如何帮助我们解决实际问题。嵌入性评价评价内容评价标准对数学模型构建过程的1分：未能理解如何从具体问题抽象出数学模型。2分：基本理解数学模型的构建过程，但在理解应用时可能出现错误。应用数学模型解决具体3分：准确理解并能够灵活运用数学模型的构建过程来解决问题。1分：未能正确应用数学模型解决植树问植树问题的能力题。评价内容评价标准2分：能够应用数学模型解决基本的植树问题。3分：能够灵活运用数学模型解决各种植树问题。4.实践应用：尝试将模型应用于新问题在这一教学步骤中，学生将有机会将之前学到的数学模型应用于新的实际问题，从而加深对植树问题数学模型的理解，并提高解决实际问题的能力。应
18、用环节描述学生将被要求使用他们对植树问题数学模型的理解来解决一系列新的、实际的问题。这些问题可能包括不同的参数和条件，比如不同长度的路、不同的间隔距离，或是需要考虑其他因素（如地形或已有的植被）。学生需要识别关键变量，应用适当的数学模型，并计算出解决问题的答案。新问题示例问题1:如果一条路长40米，且要求在每隔10米种植一棵树，那么总共需要种植多少棵树？问题2:在一个公园的边缘，有一条弯曲的路径，全长60米。如果在路径的每个弯曲处种植一棵树，总共有5个弯曲，那么需要种植多少棵树？嵌入性评价评价内容评价标准1分：未能正确应用模型解决新问题。2分：能够应用模型解决基本问题，但在复对新问题应用植树问
19、题杂情境中出现错误。模型的能力3分：能够灵活运用模型准确解决各种新问题。1分：采用传统方法，未展现创新思考。2分：展现一定的创新思考，但解决方法有创新思考及解决问题的限。方法3分：展现出色的创新思考，提出有效且创新的解决方法。五、终结性评价评价内容评价标准植树问题模型的理解1分：无法正确理解植树评估学生对植树问题数学模型的整体理解。问题的数学模型或计算题目：一条50米的路，每隔10米种一棵树，错误。评价标准评价内容计算可以种植的树木总数。2分：基本理解模型但在计算过程中有小错误。3分：准确理解模型并正确完成计算。1分：未能正确抽象和归纳问题的特殊条件。抽象和归纳能力2分：能够抽象和归纳，评估学
20、生如何从具体问题抽象出通用规律。但对特殊条件理解不够题目：在一条两端有建筑物的40米长的路深入。上每隔5米种一棵树，最多可以种植多少棵3分：准确抽象和归纳问树？题的特殊条件并正确计算出结果。1分：无法将所学数学模应用数学模型解决新问题型应用于解决新问题。评估学生将所学知识应用于新问题的能力。2分：能够应用模型但存题目：一个公园的环形路径长200米，需要在一些计算错误。在路径上每隔20米种一棵树。需要种植多3分：准确运用模型解决少棵树？问题，并能够清晰解释解决过程。这种终结性评价方法可以全面反映学生对植树问题及其变体的理解，他们在抽象和归纳方面的能力，以及应用所学知识解决新问题的能力。这样的评价帮助教师了解学生的整体学习情况，并为未来的教学提供宝贵的反馈。
