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1、对一道困扰中国力学教学界40多年习题的思考摘要：以弹簧振子为例从矢量力学、分析力学的角度分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略变换的不变性，解决了这个问题的争论.机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力，不是质点加弹簧，只需研究质点即可.文章分析了造成这个习题争论40多年五个方面的原因：功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对轻质弹簧做功；弹簧振子的机械能是质点的弹性势能+质点的动能，不是弹簧的弹性势能加质点的动能，轻质弹簧在忽略质量的同时也忽略了弹簧的动能和势能，Ep=；扇不是弹性势能的一般公式，仅仅适用于特殊
2、情形，建议从教材中删除或者指明其适用范围；正确理解惯性系、功的定义和保守力.地面系作为惯性系的同时忽略地球能量、动量、角动量等物理量的变化.关键词：轻质弹簧；伽利略不变性：弹性势能：力学相对性原理：机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A一.问题的提出参考文献口29都有这样一个题目：一质量为根的小球与一劲度系数为上的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度“相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由（忽略空气阻力）.解：假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一
3、个保守力的功等于质点势能的减少.方法1（矢量力学角度）：在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线OX为X轴，建立直线坐标系如图1所示.-Kn5-Cl_X光滑水平地面图1弹簧提子机械能守恒问题当D时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为:X=Acos（Gf）,其中1=kJtn,k=m1.设小球的速度为。，加速度为必受到的力为力动能为反，势能为稣，机械能为七.则有:dx(lvV=-Asin(t),a=-2Acos(Z),f=ma=-m2Acos(t)=-kx.drdrEk(O=-mv2=w-6oJsin(Z)2=-w2A2sin2(Z)=M2sin
4、2(r).(1)2222dEp(ty)=-fdx=kxdx=d(g%父)，圻=依+C.将初始条件上0时，AA,Ep(O)=yM2,代入上式得：yM2=Ep(O)=M2+C,C=0,Ep(r)=:Ax2+C=g2+o=gM2cos2(皿).(2)E()=p()+Ek(r)=-M2cos2()+-M2sin2(Z)=；姑2=常数(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车，见图I)刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当E=O时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为即，Vi
5、faifffElkEp(t)fEi(Z).则有:x=x-ut=Acos(t)-utf=-Asin(t)-u,a=-=-2Acos(t)=afdrd/力=杨=m=一机4：05(3)二-履.(说明：f-kx,如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变的方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移).Eik(f)=；加*=；m-Asin()-w2=；/2A2sin2()+2wlsin()+w2=；M2sin2()+wwJSin(Gf)+；mu1.(4)文献30证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系质点受到的弹力也是一个保守力.J9f(UdEp(t)=-
6、fdx=kjcd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d-muAsin(t),ip(0kx2-muAsin(t)+C.将初始条件t=0时x=x=A,EIP(O)=EP(O)kA2,代入上式得：ykA2=Eip(O)=yM2-11可以发现质点222的弹性势能与质量成正比，符合质能方程的要求，势能不是伽利略变换的不变量.En(Z)=-M2cos2mMsin(M)=L正一侬04sin(Gf)=L7苏工2m(0力仙(口。没有否定经典222的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例一一观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0(相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上运动)，不能认为弹性势能对于所
7、有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性.单独的场具有不变的物理意义，而单独的势不具有不变的物理意义，势的客观性是通过其整体性来体现的（表现为只有相对值）.1.3 经典弹性势能公式的局限性分析在经典力学中，动能、动量和角动量都与质量成正比，符合质能方程的要求.根据爱因斯坦质能方程E=,能量一定与质量成正比，圻=；底无法体现.氏；炉与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性.笔者建议把公式E
8、p=g丘2教材中删除，或者指明其适用范围，它不是弹性势能的一般公式，dEp=-心是势能的一般公式.EP=J=gm2适用于弹簧振子中质点的弹性势能，但是不适用于所有的惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为O时，而且势能零点必须选在平衡位置，其他情况不成立.考虑弹簧质量时，Ep=；H2是弹簧的机械能公式，弹簧静止时是弹簧的弹性势能，也不适用于任何惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为O时，而且势能零点必须选在平衡位置、弹簧必须在弹性限度内.质点受到非弹簧的弹力时势能也不能利用EP区2计算，对于其它弹力产生的弹性势能就更不成立了.如果坚持CP=；区2适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽
9、利略变换不变量，因此部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了小车系机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理但不具有单独协变性等错误的理论27刈在经典力学中机械能守恒定律可以认为是牛顿运动定律的推论，牛顿运动定律满足力学相对性原理，机械能守恒定律不满足力学相对性原理，就等于推翻了牛顿力学.1.4 正确理解功的定义文献32分析了功的三种定义方式是一致的，本质上在于如何认识力的作用点的问题，功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对没有质量的弹簧做功.根据牛顿第二定律，力必须作用在有质量的点上,因此在本题中力的作用
10、点为质点，而不是弹簧.由于质点的势能是蕴藏在场中的能量，因此质点的势能无法直接对外界做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.我们默认地面系为惯性系的同时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化.文献31给出了弹性势能的概念，只要质点受到保守力弹力就具有弹性势能，因此弹簧振子问题中是质点的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能”，.在弹簧振子问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理场概念的提出，不仅仅是电磁学，而是整个物理学甚至是包括数学在内的全部科学理论的一次质的飞跃.1.5 保守力的认识现在大部分教材指出保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力
11、3（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力的、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力刈等，文献35论证了在引力机械能守恒定律漏足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献36提出了约束力是保守力，文献3738验证了约束力是保守力.即使考虑弹簧的质量，由于约束力是保守力，也不改变系统的机械能，小车系测量质点的机械能依然守恒.质点的势能是弹性势能，没有弹性形变，文献31指出质点只要受到
12、弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变.观察者相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，但是此时需要增加一个惯性力，文献39证明了惯性力也是一个保守力，机械能也守恒.保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力，势能不可能显含时间，文献28和40是完全错误的.爱因斯坦的广义相对性原理是完全正确的：物理规律对于所有的参照系都相同.1.6 惯性系的认识在经典力学的实验中，我们一般把地面系视为惯性系，此时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化，地球不再是问题的研究对象，地球质量视为无穷大，此时没有惯性力，地面无法对外做功，文献口5是完全错误的.物理学中没有真正的无穷大，只有相对无穷大.对于大部
13、分力学实验，由于实验设计物体质量相对于地球质量而言极小，因此地面系视为惯性系，地球质量视为无穷大.研究太阳系星体的运动，太阳质量充分大，太阳视为惯性系.有人提出在功能原理中去掉外势能，引入外势能没有必要.W.如果去掉外势能，利用内势能计算，地球的具体质量我们不知道，而且地球的质量是一个变量，地震、海啸、山川河流、暴风骤雨以及人类活动等对于地球运动的影响远远超过质点运动对于地球运动的影响，不具有可操作性.其实现在力学教材都是从单质点的势能外势能定义的，在推导重力、万有引力、弹力是保守力时也是按照一个质点受到的力推导，没有考虑两个质点.“势能属于系统”仅仅适用于内势能，此时势能是相对位置的函数，一
14、对保守力的功等于势能的减少量，势能是伽利略变换的不变量；对于外势能，势能是坐标的函数，dEp=Gf)dr,势能不是伽利略变换的不变量R532m35m惯性系里没有惯性力，文献12和28利用惯性力研究这个问题属于概念不清.1.7 势能零点的选择在机械能守恒定律中势能的零点可以自由选择，但是这个自由选择必须遵循一定的要求一一相对于观察者或者说坐标原点不变，上面的解答中小车系的势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，并非地面系的势能零点，所以测量的势能不再是Ep=；小，文献2728正是由于错误选取势能零点，才导致在小车系机械能不守恒的错误结论.三.主要结论笔者查到关于这个习题讨论的最早文献为50,此后大
15、中学校教师乃至中国科学院力学所纷纷发表大量文章讨论，始终未能定论，然后编入大学教材至今已经延宕40多年了，甚至作为中学生物理竞赛试题考察弹性势能的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，内势能差是伽利略变换的不变量，外势能差不是伽利略变换不变量.机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力，不是质点加弹簧，只需研究质点即可.文献8,5254证明了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，所有力学规律都满足力学相对性原理.牌对致谢：文章在写作工作过程中，曾经受到广义相对论专家、原河北师范学报(自然科学版)副主编、河北师范大学物理学院刘明成教授，两弹元勋、国家自然科学一等奖获得者、中国科
16、学院三等奖获得者、中国科学院力学研究所吴中祥研究员，中国科学院资深院士、美国杜邦公司中心研究院沈致远院士的多次指导，在此谨致谢忱！!参考文献：1高炳坤.力学中一个令人费解的问题J大学物理，1995(5):20-24.2李光惠，高炳坤.对力学中一个令人费解的问题”的补充.大学物理，1996(10):44-45.3赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学M.北京：高等教育出版社，2000：124.4高炳坤.能量追踪J.大学物理，2001(3):15-16.5高炳坤.一个保守力做的功等于势能的减少吗J.大学物理，2001(5):1920.6刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理
17、通报，2015(12):109111.7黄琼.机械能守恒定律和动量守恒定律与参照系的关系.四川教育学院学报，第12卷第2期，1996(4)：109112.8王立、张成华.机械能守恒定律具有伽利略变换不变性.吉林师范大学学报(自然科学版)，2004(3):95969郑金.对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨J.物理通报，2015(7)：109112.10裴永伟，箝延坤，吴振声,物理规律的协变性与可变性.沈阳大学学报，2005,(17)4,100-104.11李兴毅，陈速，赵佩章，赵文桐,伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报(自然科学版)，2002(2)3942.12郑永令，力学(2004年1月
18、第2次印刷)：194页.13袁芳，朱炯明,功、动能和机械能.物理教学，2012(12):5-10.14冯伟.机械能守恒定律与参照系对力学中一个问题的讨论.承德民族师专学报，1986(4)：7374.15李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014(9):119-120.16刘一贯.关于机械能守恒定律的t办变性.华南师范大学学报(自然科学版)，1985(1):155-157.1刀刘敏，孙皆宜.再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，2005(5):26,34.18赵志栋，陈光红.轻弹簧之“困境”.物理通报，2016(5):98101.19唐龙.例说能量的系统性和相对性.物理
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20、技术大学物理学院力学教学组教学研讨会，2020.26孟昭辉.运用机械能守恒定律解题的参照系问题对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷”一文的不同意见.物理教师，2015年(2):94.27朱如曾.弹黄振子相对于运动惯性系的机械能不守恒关于对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷的商植J.物理通报，2015(4)：100103.28朱如曾力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016(10)：1116.29赵凯华.澄清对相对性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月：1213.30师教民答弹黄振子相对于运动惯性系的机械能不守恒关于对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷的商榷.物理通报，2015(
21、7):115118.31李学生,正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04(T)：237238.32李学生,正确理解功的定义.中国高新科技，2020年11月(下)，2020年第22期，总第82期：145147.33赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113114.34张翠.斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解.物理通报，2016(9):115117.35刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理通报，2015(6):123124.36马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989(3)2：117122.37
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24、.华侨大学学报(自然科学版)，1982年第2期:132138.51李阳，王宏，韩艳玲.与r的一次方成正比有心力作用下质点的运动研究.物理通报，2015(12):4-7.52周筑文.国外与国内大学物理对于伽利略变换不同描述的思考.物理与工程，2019(S1):112.53周筑文.物理学对称美和物理核心素界的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019(12):51-56.54张小溪.也谈力学相对性原理与机械能J.怀化师专学报，第13卷第1期，1994(4)：112114.55李学生.声波方程满足伽利略变换下的形势不变性.百科论坛，2020年第6期05卷：268.56李学生.角动量守恒定律满
25、足力学相对性原理.理论与创新，2020年第16期：390391.ThoughtsonAnExerciseProblemthatHasTroubledChinaMechanicsTeachingCirclesforMorethan40YearsAbstract:Withthespringoscillatorasanexample,theconservationlawofmechanicalenergyofelasticpotentialenergyofexternalpotentialenergysatisfyingtheprincipleofrelativitywasanalyzedfromt
26、heperspectivesofvectormechanicsandanalyticalmechanics,whichwasfoundtohaveindependentcovariance.TheelasticpotentialenergydoesnothavetheinvarianceofGalileantransformation,whichsolvesthedebateonthisissue.Theconservationlawofmechanicalenergyisthelawofparticledynamics.Inaspringoscillator,theparticleissub
27、jecttoalinearrestoringforcebutnotaparticleplusaspring,sothestudyonlyneedstobeconductedontheparticle.Thepaperanalyzesthefivereasonsforthedebateonthisissueformorethan40years:Workistheproductofthedisplacementofaparticleandtheforceitexperiences,thewallcantdoworkonthelightweightspring;themechanicalenergy
28、ofthespringoscillatoristheelasticpotentialenergyoftheparticle+thekineticenergyoftheparticle,nottheelasticpotentialenergyofthespringplusthekineticenergyoftheparticle.Thelightweightspringignoresthemassaswellasthekineticenergyandpotentialenergyofthespring,Ep=-Ioc2isnotageneralformulaforelasticpotential
29、energy,whichisonlyapplicabletospecialsituations.Itisrecommendedtodeleteitfromthetextbookorindicateitsscopeofapplication;correctlyunderstandingtheinertialsystem,thedefinitionofwork,andconservativeforces.Thegroundsystemservesasaninertialsystemwhileignoringchangesinphysicalquantitiessuchastheearthsenergy,momentum,andangularmomentum.KeyWords:LightSpring；GalileanInvariance；ElasticPotentialEnergy：MechanicalRelativityPrinciple；ConservationofMechanicalEnergy.
