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1、2024圆锥曲线中存在点关于直线对称问题圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直(斜率之积为一1)和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x?+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线/：y=4xm,椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x,y)、B(x2,y2)关于/对称，中点为C(XoJy则AB所在直线为y=-1xb.与椭圆联立得：彳x2-2bx+4b2-12=0,x24bXO=3，y.+y24xb-4x2b12byo=-=2=TT.*/C在y=4xm上，.
2、12b4b-1.13m.-y=B4+m,b=XV=4b2-4彳(4b2-12)=4b2-52b2+13120,切u213bi1169m213故b-T，即6VT.付2灰2灰解得：一甘-m13,由此解题过程不难归纳出步骤如下：1 .假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2 .联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3 .把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4 .利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：已知双曲线2-=1,双曲线存在关于直线/：y=kx+4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率
3、k范围要考虑k=0和k#0,因为要用到一：.K2.k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线/：y=k(-1)+1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题:1弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在I(交点在同一支上)弦中点在抛物线“内部”或11(交点不在同一支上)2。范围问题22椭圆+l=1双曲线抛物线为1或京一点1或W0M(xo，yo)为中点，则y2-2px0)y2+2px0)x2-2py0)(焦点在y轴上)x2+2py0(Px)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：32+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线1：y=4x
4、m,椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x,yi)、B(x2,y2)关于/对称，中点为C(x,y),则r3x2+4y2=12,a2.4v2-12得yf_3(X+X2)_3x_113X2+4y2-12,得X1.X2-4(y1y2)-4y4：y=3x.联立y=4x+m,解的X=m,y=-3m,TM在椭圆内部，.(-m)2(Tm)?U213-4一十-31，即一%B(x2,y2),2c2yfaxr-ax22/1日U1=a(X1-X2)=1，即X1X2=二，Xl-X2Xi-X2ay1+y2,x1+x2_hii1-a9-5-二即2=p-，因为存在这样的两点，故方程X?J+=O的(),dd
5、hm11-a3即U-47-a4这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之中央教科所全国课件大赛一等奖，2007年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报电子版连载6期发表,现已完善至(21-46)共135个案例.次所周知圆雒曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代教性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：邮编：310005联系电话：13067788898E-Mail:wenj一、儿个统一定义1 .椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2
6、 .椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题5 .椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7 .椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9 .椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14 .椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15 .椭圆、
7、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16 .椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18 .椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19 .椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一五、切点弦的相关问题21 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25 .椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题
8、26 .椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27 .椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28 .椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30 .椭圆、双曲线、抛物线的共鞭弦性质七、与动弦中点相关的问题31 .圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32 .圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33 .椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34 .椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35 .椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题37 .椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38 .圆锥曲面光线反射路径的性质39
9、.椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40 .椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41 .椭圆、双曲线的90度的中心角性质42 .圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43 .椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44 .椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45 .椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46 .椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轨点距离等积实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备用课件定圆上i动点与圆外一定点的垂直3分线与其半径所在直线的交点的轨是双曲线备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆4一定点的垂
10、直平分线与其半径所在J线的交点的轨迹是抛物线备用课件无穷大。I的QDJUP7IK心在无可近处的举竹问题探究1动点在圆力：(x+X)2+y2=4上运动，定点B(ZO),则(1)线段QB的垂直平分线与直线0A的交点尸的轨迹是什么？(2)若BM=/MQ,直线/过点M,与直线QA的交于点P,则点尸轨迹又是什么?2. 椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二沱实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件问题探
11、究2已知定点A(1,0),定直线:x=-3,动点N在直线乙上，过点N且与4垂直的直线4上有一动点只满足f=X,请讨论点P的轨迹类型.IPNl3. 椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作准线实验成果切线与华半径的性质备用课件备用课件动态课件概圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为楸圆相应之准线逐曲线上一点处的切线与该点的焦半那的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件H切线与焦问题探究3已知两定点A(To),8(1,0),动点P满足条件IRAl+|冏=8,另一动点Q满足p
12、PRQBPB=0,QP(-.-+1-1)=0,求动点。的轨迹方程.MIM4. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质焦点在切线匕射影的性质实验成果动态皆焦点在椭圆切线上的射影轨迹长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨以实轴为直径的圆备用课件焦点在切线上射影的性质焦点在抛物线切线上的射影轨切抛物线于顶点处的直线(无圆)备用课件问题探究4已知两定点A(-2,0),8(2,0),动点尸满足条件IPAITP邳=2,动点Q满足八八zPAPBQ8(j+j-I.网网)=0,QP+(PAPRI1+|)=0,求动点Q的轨迹方程.网网焦半径阅的性质5.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质实验成果动态
13、课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与怅轴为直径的圆相切（此圆与椭圆日切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必上实轴为直径的圆相切（此圆与双曲纣外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此限无穷大与曲线外切）备用课件焦半径圈的性质问题探究5221 .已知动点尸在椭圆?+1=1上/为椭圆之焦点，PM+FM=O,探究2。/+卜尸|是否为定值X2V22 .己知点尸在双曲线一一=1上，尸为双曲线之焦点，PM+FM=0,探究4320MH明是否为定值6. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦宜径圆性质双曲线的焦点杉/1件Ml件叽/咦验成果动态课件备用课件备用课件甬17-A-1RWrMal*
14、nsc椭园的焦点弦“彳那件质,椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离段？*句号!EHR聊以焦点弦为直径的圆必与准线相交A问题探究6过抛物线=4y上不同两点4、B分别作抛物线的切线相交于尸点，PAPB=O.（1）求点尸的轨迹方程；（2）己知点户（0,1）,是否存在实数/1使得元IZ+/1（而2=0?若存在，求出4的值，若不存在，请说明理由.7. 椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质鸟.A-*实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨为以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心专是以过原顶点的两平行开线段（长为21备用课件抛物线中焦点三角形（另一焦点在无5处）的内切圆圆心轨迹
15、是以原焦点为Jj的抛物线备用课件1 .已知动点尸在椭圆?+=1上，耳，亮为椭圆之左右焦点，点G为46尸鸟的内心,试求点G的轨迹方程.2 .已知动点尸在双曲线=1上，6，鸟为双曲线之左右焦点，圆G是46尸鸟的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）AB在异支=025,实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之不常数112FO=1.44屈米p=2.89帆米BFAFep三091*42=0.69押米1抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数E为常数112+=AFIBFIep备用课件FrFB=3.54MPB=m2BFA卬“2备用课件mJ+m2=O已知方向向量为我的直
16、线,过点4。,一2我和椭圆。）的焦点，且椭圆C的中心。和椭圆的右准线上的点3满足：OBe=0,Aq=k.（l）求椭圆。的方程；设E为椭圆C上任一点，过焦点耳，鸟的弦分别为ES,T,设EE=4S,eE=2b亍，求4+4的值.19.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一需tw*11y三tMT(tO)NT(t.O)=ZA3.7厘米3.71、1米NF:PgQ81双曲线却交弦的蝴蝶定丹NT=1.86NiaMT=1.86厘米K:H.实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点TUfi)的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT=TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T(Z,0)的两条弦端点的直线截过T
17、点的垂线段相等Nr=TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T(M)的两条弦端点的直线截过7点的垂线段相等Nr=m备用课件问题探究19已知椭圆工+匕=1,84过点T(l,0)的直线人/,分别交椭圆于8两点和C,两点，设直线/3过点7且4Jx轴，交44于点MM试证明IAVl=ITM.问题探究2022已知椭圆+二=1,过点r（o,i）的直线4，/2分别交椭圆于44凶）,832，必）两点和84实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M的两条主点作两条直线,一定截过M点与X轴垂直的直线为相等的线段PM=A备用课件过双曲线虚轴上任意一点NCtfi,两条弦端点作两条直线,一定截记点与对称轴垂直的直线为相等的PM=
18、MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点MCt的两条弦端点作两条直线,一定雀M点与对称轴垂直的直线为相等白段PM=MQ备用课件。“3，%），。“4，”）两点，设直线，3过点7且4j轴，交/12于点N，M,试证明瓦一%|=昆一卜21.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）9厘米ON=53)bIOQlloP日ONFXp=8.92aX5.87q=2.45PO=yp=3.78b=IBHBI，FPOQo=25.77陞米2ON2=25.77厘米2V-AH-双曲线切点弦性质/PO=1.90米：OQOP=ONj/POQO=9.32匣米2A/NO2=9.32匣米2问题探究21实验成果动态课平椭圆中心。与点P
19、（XO,%）的连线交椭圆N,交切点弦于点Q,IOQIIOPi=IoNF.且0点平分切点力8（无论点夕在曲线的什么位置，上述论均成立）.且点夕与直AAOX+8jy=1沿直线尸。作反向运2备用课件双曲线中心。与点P（m，y0）的连线交双线于Nt交切点弦于点0,1。11。PI=IoNF.且0点平分切点48（无论点尸在曲线的什么位置，上述论均成立）.且点与直AroX+8%y=1沿直线。作反向运（直线保持平行）.备用课件设过点户与抛物线对称轴平行（中心在称轴方向的无穷远处）的直线交抛物线N,交切点弦于点Q,IOsQIlQPI=IOfNF.且0点平分场弦力队无论点在曲线的什么位置，上结论均成立）.且点。与
20、直%y=p（+%）作反向运动（直线保持行）.备用课件X2v2已知椭圆一+2-=l,过原点0（0,0）,点7X2,1）的直线/交椭圆于点M过点T的中点84弦为力8,过力，6分别作切线4,4且交于点只求证：IOTIlOPl=IONPCQD=PDQC双曲线切生弦性质结论椭圆切点弦Ax0x+By0y=1的实验成果动态课举椭圆Ar2+珍2=1外一点的任直线与椭圆的两个交点为GD,点为0,则成二IPqIPDlIPQl反之亦然.备用课件双曲线A+为2=1外一点P的一直线与双曲线的两个交点为。、与双曲线切点弦Av:+3）6=的交点为Q,则_+_=/IPClIPQlIH成立.反之亦然.备用课件过抛物线外一点P的
21、任i直线与物线的两个交点为C、D,与抛物切点弦的交点为。，一=_2,成立.反之IPClPDPQ然.备用课件过抛物线y=r外一点p(2,0)作抛物线的两条切线刃，PB,切点分别为4B,另一直线/过点户与抛物线交于两点C、D,与直线/必交于点Q,试探求但+幽的值是否为定值.IPClIP023.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3(外项积定值)问题探究23实验成果动态课举过椭圆Ar2+By2=1外一点P的任一线与椭圆的两个交点为GD,点0是直线上另一点，且满cpD=PDc,则点C的轨迹为切点弦AxOX+8%丁=1,反之亦公备用课件过双曲线A+By?=i外一点尸的任直线与双曲线的两个交点为C、。，点是此
22、直线上另一点，且满CPD=PDC,则点C的轨迹为切点弦AXOX+8i%y=l,反之亦丸备用课件过抛物线外一点P的任一直线与抛牧的两个交点为。、，点。是此直线上一点，且满足闭口4=|叫卜母,点。的轨迹即为切点弦，反之亦然.备用课件已知椭圆工+匕=1,过点T(1.O)的直线4,，2分别交椭圆于两点G，点0在直线/上，84且满足ICPIlQ4=回|,试探求点0的轨迹.=1.66.=-0.65=4.19XQ=2.71Vq楠吵r切点弦性质4/yW*h-106/斜率1:=1.06/Xp=7.73ayp=-3.03b结论：Mimiab实验成果动态课平椭圆A?+珍2=1中心与椭外一点的直线与椭圆的交点的切线平
23、行于椭圆的切点备用课件双曲线A2+B）,2=I中心与曲线外一点的直线与双曲线交点处的切线平行于双曲线切点弦Ax0x+By0y=1.备用课件过抛物线中心（这中心在无穷处）与抛物线外一点的直线与物线的交点处的切线平行于物线的切点弦.备用课件问题探究24过抛物线外一点p（2,o）作抛物线的两条切线刃，PB,切点分别为4B,另一直线/：x=2与抛物线交于点M与直线力8交于点0,求证：（I）N点处的切线与直线48平行.（2）AQ=QB.25.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）实验成果动态课件点T是与椭圆Ar2+By2=1外一点P的切点弦对应的直线上的动点，则与点T对应的切点弦必过定点Q双曲线
24、的打点弦性质5（强过定点）3三u)(E3ga如1.a、4K的CflaMb.crp课件点T是与双曲线A+By2=l外一点产3玄对应的直线上的动点，则与点ZW的切点弦必过定点Q.备用谡件点7是与抛物线y=2px外一点尸的切点弦对应的直线上的动点，则与点T对应的切点弦必过定点Q.（“平行对称抛物线的切点弦性质5（弦过定点）过抛物线y二r外一点。(,2)作抛物线的中点弦月8(0为四中点)，两条切线必，PB交于点R过点作直线/,且/AB,点G是直线/上的动点，过G作抛物线的两条切线GC.GD,求证：直线如过定点.26.椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究262y2已知椭圆目+彳=1,点6为椭圆之左焦
25、点，过点6的直线（分别交椭圆于48两点,问是否在X轴上存在一点只使得斜率&力+&弘=0.实验成果动态课过椭圆长轴上任意一点N(M)的一2端点与对应点(0),直线X=T与X轴交于点E,试探究：而与屈-/l丽的夹角是否为定值.29. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦）连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线I焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线焦点（另一焦点在无穷远处）连线所1的角相等.备用课件问题探究29厂为焦点，研究斜率Z炉与即A的过点P（2,0）作抛物线d=4y的切线外（斜率不为0）,关系.30.椭
26、圆、双曲线、抛物线的共旎弦性质问题探究30实验成果动态i过椭圆上一定点作倾角互木卜的两直势的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直曲线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两苣物线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过点尸(1,2)作抛物线y2=4x的直线PA、PB,且斜率kPB+kPA=O.(1)探究直线A8的斜率是否为定值.实验成果动态课举备用课件（2）试研究三角形B4B的面积是否有最大值.31.圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质圆的弦的斜率与其中点和圆心连线的斜率积为定值KPAKP1.T备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积
27、为定值双曲线的弦的斜率与其中点双曲线中心连线的斜率积为值KPAKpli=备用课件aV已知椭圆一+21.=I的动弦4?的中点为M试研究斜率原8&W是否为定值（0为原点）8432.圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）1.椭网切线上半径的斜率枳为定值斜率1.=-0.63斜率OP拖=0.91（斜率1.；（斜率OP拖）=458a=5.09b=5.09q-。介匐3f=椭圆切线归径的斜率枳为定值IMnro斜率1.=-2.21斜率OP拖=0.45同率1.）（斜率6丽）=-1.00!I-b2=-10实验成果动态课平圆切线与半径的斜率积为定Kp。Kl=T备用课件a=5.09b=3.87椭圆
28、切线与切点和中心连线斜率积为定值,拖-b2-T=-0.58a，备用课件31。双曲线切线与半径的斜率积为取斜率E拖。=-0.85=4iCP=-1.72Pa=3.01Vb=3.65V（：/陪）（斜率三）=147/*/247双曲线切线与切点和中心连的斜率积为定值KPOK1.=2a备用课件问题探究32已知点产为椭圆二十?=1上的动点，设点尸的切线斜率为攵，试研究斜率左/是否为定值（0为原点）.33. 椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质IAH-36.棚阅、双曲线动弦中垂线性质备用课件XV已知椭圆一+21.=I84实验成果动态课平椭圆的动弦4?的中垂线,跖不过焦点TA不垂直于长朝备用课件双曲线的动弦47
29、的中垂线必不过焦点（48不垂直于实力抛物线的动弦的中垂线必不过焦点38不垂直于对轴）备用课件的动弦四的中垂线交X轴于点尸（无,0）,试研究/的取值范围.34. 椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹Sa.Hf.A检对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线35. 椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹实验成果动态课平椭圆的定点弦AB的中点轨为原椭圆内的椭圆弧备用课件双曲线的定点弦AB的中点迹为双曲线备用课件抛物线定点弦的中点轨迹抛物线的定点弦AB的中点迹为抛物线.备用课件UiAJl1.问题探究35过点Pa0,%）的直线交抛物线于A,B两点,试探求初中点的轨迹.36.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值向量点积为常数BOBoACO
