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1、5.5随机变量函数的分布一、背景介绍前面从理论上探讨分析了随机变量的分布规律，然而对很多实际问题，随机变量的分布并不简洁求得；另一方面，有一些实际问题往往并不干脆对分布感爱好，而只感爱好分布的少数几个特征指标，例如分布的中心位置，散布程度等等。弓I例，要比较两个冰箱厂生产的冰箱质量，一方面要比较它们的平均运用寿命，平均寿命越长质量越好：另方面还要比较两个厂产品寿命相对于平均寿命离散程度的大小，离散程度大的质量不稳定，离散程度小的质量比较稳定，比较牢靠。可见，产品的重要质量指标，平均寿命及质量的稳定性均表现为具有肯定特征的参数或数字。知道了这类特征参数或数字，就能对随机变量分布的统计规律一目了然
2、。这类能够直观反映出随机变量分布特征的数字就称为数字特征，包括数学期望和方差。二、随机变量的数学期望及其性质定义1设离散型随机变量的分布列为P(Ar=)=pix=1,2,-,A耿=P,则和式Zl称为X的数学期望。记为若X取值为可列个，无穷级数1-1肯定收敛，则称该无穷级数之和为X的数学期望，记为5(J0=Ai4留意：假如上述无穷级数不肯定收敛，则称该随机变量X的数学期望不存在。fg定义2设连续型随机变量X的密度函数为F(x),若广义积分Jk肯定收敛，则称该积分为连续型随机变量X的数学期望，记为(Ar)=二中(1滋留意：当上述广义积分不肯定收敛时，称X的数学期望不存在。数学期望亦称为期望或均值，
3、山于完全山随机变量的概率分布所确定，所以也称为分布的数学期望。下面给出随机变量函数的期望计算公式：定理设随机变量X的函数Y=f(x),则有()1,若X高散型随机变量(丫)=夙/二1.(x)p(x)dx,若力连续型随机变量例1甲、乙两个工人生产同一种产品，若一天中他们生产的废品数分别为随机变量X与Y,且已知X与的概率分布分别为X0123Y0123Pk0.40.30.20.1Pk0.30.50.20设这两人的日产量相同，问哪位工人的生产技术更要好些？解：仅从概率分布看，不好干脆对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念,我们可以通过比较E(X),E(Y)的大小来对工人的生产技术作业评
4、判，依题意可得3欧M=3三00.4+l0.3+2.023.01=lEa)=EyMJUO=00.3+l05+20.2+30,9=09由于E(X)E(Y),故由此判定工人乙的技术更好一些。明显，一天中乙生产的废品数平均比甲1少记。例2某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数FXN】(x)十。，其他(单位：万小时)公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后运用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台号损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以修理，由公司负担修理费400元；在运用2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。解：设Y表示售出一台机器的获
5、利。则Y是X的函数，即-1200f0X2于是E(Y)=Hg(X)=13(-1200)加+/1200/&+1600-dxJ】/Ji?X2b/=100O即该公司售出每台机器平均获利100O元。下面给出随机变量数学期望的性质性质1E(C)=C(C为常数)证明：只需将X看成为是以概率1?取常数C的随机变量即可：因为随机变量X=C,其分布列为尸(X=C=1.由期望的定义，有：S(X)=CA-Co性质2E(CX)=CX(C为常数)证明：以连续型随机变量为例，设X的密度函数为尸(力，由连续型随机变量期望的定义E(X)=xp(x)dx=CJr9(x)dx=CE(X)性质3R(*+b)=E(R+b(b为常数)证
6、明：设连续型随机变量X的密度函数为P(X),则5(Ar+)=Jw(x+A)P(X)dx。XP(x)dx+5/p(x)dx=E(X)+b性质4B(flX+b)=aE(X)+bb为常数)由性质2,性质3,不难推出性质4成立。性质5设有两个随意的随机变量X,它们的期望E(X),月&)存在，则有E(x+y)=&(X)+E(y).性质5可以推广到n个随机变量。推论1设有n个随意的随机变量Xio=1.2,.万)，它们的期望E(X)(局)，.E(Z)存在，则有睢X总E(M)1-1/Z即n个随机变量40=1.2.-,)和的期望等于各百期望之和。推论2设有n个随意的随机变量40=1.M,它们的期望E(Xl)E(
7、X/E(Xa)存在，则有5(Jfi)=5()(i1.2,M*-nM即随机变量Xi的算术平均值的期望等于随机变量Xi的期望的算术平均。这在后面数理统计中常要用到。性质6设得4是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有式Xo=以XJ趴Xj即两个相互独立的随机变量%。=1.2）乘积的期望等政协委员自期望的乘积。推论设n个随机变量4=1.2万）相互独立，且各自的数学期望存在，则有B11Xi-11E（Xi）Ul/Ul留意：性质5与性质6条件上的差别。对“求和”，不要求随机变量XG=1.Z相互独立,对于“求积”，则要求随机变量4=1.2”）相互独立。这是因为证明“积”的性质时，用到随机变量4=1.
8、2/）相互概念，否则，不肯定成立。适当应用这些性质，可以简化期望的计算。例3设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2,且已知它们的分布列分别为X91011X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：以4+名）;（2*（X区）,耿典）解:因为n=90.3+10X0.5+11X0.2=9.9以2=6X0.4+7X0.6=6.6所以,(1)(X1+X2)=(X1)+E(X2)=9.9+6.6=16.5(2) (X1X2)=(X1)E(X2)=9.9+6.6=65.34(3) E(X22)=62O.4+72O.6=43.8留意：风&)工(夙治)=66=4356,这是因为花与其自身不满
9、意相互独立的条件。三、随机变量的方差及其性质在介绍方差的概念之前，我们先来看一个例题。例4甲、乙两人同时在医院由同一名医生检查血压，一周内七天检查的结果分别记为XI,X2,且有如下分布列：Xl120120120120120120120Pk7777777X2606060120180180180Pk777777工7试比较甲、乙两人的健康状况是否一样好？为什么？解：简洁的计算可知，两人血压的期望值均为J1.11(%)=NXAPA=120-+120-=120Ui77yIllW)=A=Wx-+120-+180-=120Ui*77尽管,(X1)=E(占)=12,但并不能说明两人的健康状况一样好。因为，简洁
10、比较两张分布列表可见，甲的血压维持在正常数值(即期望血压)上，健康状况良好：而乙的血压明显地不稳定，时而很高，时而很低，极不正常，说明健康状况极差。这个例夕说明，在实际问题中，仅仅考虑期望值还不能完善地描述随机变量的分布规律，客观上还有另一个因素对分布规律起到重要影响，这就是随机变量取值对于其期望的离散程度。于是就引出了方差的概念。定义3设有随机变量X,其数学期望为E(X),假如用(XT(X)力存,则称它为随机变量X的方差，记为Z)(2r)或K,而称JD(X)或分为随机变量X的标准差或方差根，即O(X)=d=F(X-&(X)2分=疯万=MX-4尸同时，对于离散型随机变量和连续型随机变量，可按随
11、机变量函数的数学期望公式分别给出这两类随机变量的方差为jd(x)(XKoo必1,X为离散型随机变量。=(x-K在QMx知心口JP,X为连续型随机变量。把方差的定义与期望的定义比较可知，所谓方差，乃是一个新随机变量的期望，只不过是原来随机变量X的函数”(X-耿幻尸的期望。由于夕(是一个常数，a”)也是-个常数，不过由于D(X)MX-E(M)的期望，它恒取非负值，j(Ar)On依期望的性质，有RM=(X-E(X)力二班二2Jffi(X)+(6(X)尸=(犬)-2(&(x)+(Sqr)I=RgT趴即0(冷=3(月)-(夙*)2这是一个能使方差的计算更加便利的常用公式，应给以足够地重视。例5求前例4中
12、甲、乙两人一周内血压(测量值)的方差。解：例4中已算出两人血压的期望分别为“(X)=(XD=i20,代入离散型随机变量方差的定义式分别得到T，1D(Xo=Zw-&得)2l=(120-120)0O,其他EQe)=4*X(V,)(fx=-Xd1.=1.3则有J类似有咐)=口口乜3$O(X)=EGd)-(AX)2=所以4=3)正态分布设XNQ,c2),密度函数为E(M=广力加=rX4,记则有Jy廊b广于瓯于是,21IlfHoE(JC)=J(5+)e2dt-=-J曲=类似地，可以导出(X)=/(r-事实上，由D(JC)=匚(Ar-e(x)=1.(X)耳F-翁同样,即x=5+，dx=h,代入即得。可见，对于听从正态分布的随机变量X,恒有3(扪=，P(Ar)=CF0即听从iE态分布的随机变量的密度函数由它的数学期望与方差所唯一确定。例9设XB(%p),RGV)=I2,D(JO=8,求11与P解：依题意以及期望与方差的学问，有E(X)=叩=12D(X)=npq=8211q=-P=I-g=-将式代入即有12q=8,解得3,所以有3,再代入（1）式有n=36。D(X)例io设XSdb,求(&(Ar)2(Jf)=山OGr)=-1.S-C)2解：因为2,12,所以有D(X)WS-)11仅一。丫(A(X)1.l(+)i-3lJ
