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1、例1、437与323的最大公约数是多少？根本概念：I、公妁数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数：其中生大的一个，叫做这几个数的最大公妁数例如：12的约数有1.2.3.4.6,12：30的约数有1.2.3.5.6.10.15.30.12和30的公约数有I,2.3.6.其中6是12和30的最大公约数.一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的域大公约数，如(12.30)=6,假如(a,b)=1,那么a,b两个数是互质数.2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数.叫做这几个数的公倍数：其中最小的一个.叫做这几个数的最小公倍数.例如：12的倍数有12,24,36,18.60.72,-
2、18的倍数有18.36.72.90,-12和18的公倍数有:36,72其中36是12和18的最小公倍数.一般地,我们用Hb表示自然数.a.b的最小公倍数.如12.18=36.3、最大公妁效与城小公倍数的求法I.最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法(1)分好质因数法(2)短除法(3)里行相除法解龙川界M相除法求山西数的最A：公约数.E用曲数之枳除以Jft大公约数.向秋岭依小公附数I24871*24276346829755座493408T叵r857!H117Il处阖后.痔过72天又次圮面叩8J|28II再次见面.例6、付甲、乙两个有甲连乙的个相,甲轮有437齿,乙轮有323齿,甲的某齿
3、与乙的某一尚从第一次接触到K次次接触，须要各转几周？*本明实除上要先求出437与323的般小公倍数.要用它的的M小公倍数除以它的各自的齿数,即为需蔓转的周收.437.323-7429.甲轮转,7429437=I7（冏）.乙轮转429+323=23（周）.|例7、加工一种零件有三道工序第一道工序每个工人年小时可完成48个.K次道工序何个工人每小时可完成32个.第三道工序每个工人科小时可完成28个.在悠道工序至少支配多少工人,才能搭也相宜,使每道工序不产生枳压或停工将料.福由题意可知这个最小五位数是3.5,7和13的公信效加1的故.而它办的最小公倍鼓造1365.又因为100a）+1365=7（余4
4、45）.由商和余数可知符合的日条件的*k小五Kttt是1365的8倍数,或是100OO与（1365-445）的和数.所以这个最小五位数是10921.5、求被4除余I,被5除余2,被6除余3的最小自然数.解因为余数都比除数少3,所以这个以加上3能祓4,56赘除.乂4,5.6Ja60.所以符合题目条件的般小自然效应是;的一3-57.6、小明的储苻那里存有2分和S分的悚币，他把这些硬币倒出来，估计有五六元钱.小明把这些硬币分成线数相等的两堆,第堆2分和5分的硬币个数相等：其次堆2分和5分的钱数相等.你知道小明存了多少钱吗?M小明将线数分成两堆，因第一堆2分和5分健巾的个散相等.则钱数一定是2+5u7
5、（分）的倍数,因第二堆2分和5分的坡数相等,而5个2分和2个5分钱数相同，所以第二堆钱数-定是2X5+5X2=20（分）的倍数.乂因为两堆钱数相等，则每堆线数应为7和20的公倍数.7和20的M小公倍数是0,又知小明的钱数估计为五、六元.140X4=560（分）=5.6（元）.符合曲意.7.一次会转.每两人合用一只饭碗.三人合用一只菜碗.四人合用一只汤碗.会长共用了65只碗，问：与会崔的人数是多少？例10、三个连续的自然数的加小公倍数是168,那么这三个自然点的和善于.（1998年小学数学臾林匹克Bi赛B卷第4题）解：168=2337,因此这三个连续自然数是6,7.8,和为6+7+8=21.蛛习
6、，1、用长5厘米、窕3厘米的长方形铁片，搜成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？M根据正方形四条边长相等的特征当IE方形的边长分别能被长方形的长与宽整除.且摆清无瞅块数Ift少时那么正方形的边长是长方形的长与宽的籁小公倍数.3=15.所以IE方形的边长是15厘米.15X15+（3X5）-15（块）.因此,至少要用这种长方形铁皮15块.2,有一些釉果平均分成假设干包，好包10粒余9粒，包12粒余H粒，摊包15粒余14粒,这些融果最少有多少粒？斛限霭题意知.若精果总粒敢增加一粒后州三种包装方法邱恰好分完.又喂据傅提他数应为最少跤的条件可知糖果总他以应力比10、12留15的最小
7、公倍敢少1的敦,口0,12.】5-60.所以.精果,依粒敢最少是160-1=59（粒）.3、有一种自然数,它加I是2的倍数,加2是3的倍数.加3是4的倍数.加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数.那么这种自然数中除I以外，最小数是多少？*由曲意可知这种自然数分别除以2.3,4.5.6.7都余1.则这种自然数减少后,也分别是2,3,4,5.6,7的倍数.再由这种自然数除1以外的Jft小值的条件，可知它是2.3.4,5.6,7的最小公倍数加1的数这祥,这个最小数是421.4、同时能破3,5.7和13除余I的最小五位数是多少？解因为4X168=24X乙数,所以,乙数=4X16824=28.例
8、12、甲、乙两数的城大公约数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数W设甲数为，乙数为门且ZW依期息行-6.y=6.其中U与6花质.那么rfty的最小公倍也是：6XX6.就是说6=-36.d三5三6=32.即U养=6.hl时.则j=6X6=36.y=6Xl=6.Z若u-36=2时，则x=63-18.y-62=12.故甲、乙曲数分别为36.6或18.12.练习I、两个数的酸大公约数为12,最小公倍数为180.且大数不是小数的倍数.求这两个数.解设这两个数分别为H和y,且才依88意有r=2a,y12A,其中u叼6互质.那么r和的G小公倍数是2ab,就是12XaXb=I80.即X6=15=15Xl=5X
9、3.若u-lS6ri.j=2i5.y-12X1.大数是小数的倍数不符合题窟，舍去.若=5.6=3.则工=12X5=60.y=三12X3-36,即为所求.所以,这两个数是60和36.j2、甲、乙两数的比为5；3,并且它们的鼓大公约数与最小公倍数的和是Io40.求甲数和乙数。解先考虑使用饭碗.菜网.通碗人兹的*小公倍数/2.3,41=12.这样彬两人合用只饭阚.三人合用一只菜豌,内人合用只海豌就可以说成好12人共用6只饭碗、4只菜碗、3只汤碗,即12人共川维数可求,并Ji用这我去除鱼腕敢再乘12就是会普人数.I226.123-4.124=3.12人共用碗为：6+43=13（只）所以,叁加会鬟的人数
10、为：65+13X!2=60（人）.8、在一条长96米的路两恻，方案旬l4米栽榇树.而好记号”后发觉距离过近，改为每隔6米段-探树.还要更新做多少个“记号”？M先讨他在路的一僧侬“记号的情农.脩漏4於做一个；记号关做94+l三25个尸记愣t.立为每展6米做一个一记就要做96+6+1=17（个尸记号”.4。6的找小公信也是12.96?12+1=9.因此有9个“记号”不必收新耳.4折画的.记号节177=8（忖破百“富霜8X2=16仆比号9、把一批苹果分给幼儿园大小两个班,平均每人可分得6个.假如只分给大班，集人可分得IO个，假如只分给小班，祗人可分得几个聿果？解由一酬人分网收X人数一尊票总以不变广的
11、关系式相，6x人攻（两班人敢和）-革果配tto人数（大班的人-这说明草果他故是6与10的公倍U.MlR小公倍数是30.设苹粤总IS为30个Q为口然效）.则大小超班人数和为30+6=5人）大班人敢为，3010=S-15（b.例11、甲数是2%甲、乙两数的最小公倍数是168,G大公约数是%求乙数停解了先求出甲、乙,丙各嵬所需的时间：甲：！+3二以小时）；J1.Jn乙：J4=z（小时”,IIb丙4+5-1（小时）.O，u把奈吉，款通分,再求分的烛小公俗由焉篇，翡,个分数分干的最小公倍数是3360：.人第次同时回到出发点的时间t鬻=6（小时）.OvU53,27和42三个数被同一个数除,所得商的和为9.
12、余数和为14.求各自的商及余数。除数=（52+27+42-14）+9=1253=12x4+527=12x2+342=12x3+6.73,27,42被这个数除的角分别为4,2.3;余数分别为5.3.6.因为5与3互质所以.甲皎=最大公约数X5,乙Jft=最大公约故X3它们的Jrt小公信数-最大公妁散X5X3最大公妁数为1O4O+C5+D-65.甲数为65X5=325,乙数为65X3=195.例13、求2,”的最大公妁数.283556分析求几个最3!分散的锻大公为效的方法是:取各最三!分找分子的被大公的敢做月分子.耻芬最SJ分散分用的最小公信致做分母.所得的IS分数就这几个最同分骰的最大公约数.(
13、9.12.15)-3.C28.35.56)-280.(.y.l)三.例14、求乂，,与的最小公倍数.283556分析求几个It蔺分数的锻小公僭败的方法是I取各分数分子的14小公倍散做分子.取各分数分母的锻大公约数也分母,所对到的新分数就是这J1.个做置分数的最小公信数MC912.151-180.(28.35.56)-7.*.Il.枭一竿二,5u,例15、三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈跑道上沿同样的方向跑步.开场时三人都在旗杆的正氽方向.里圈、中圈、外Ia胞道分别长,公里.1公里,。公里.甲、乙丙三人的速度548姆小时分别为3；公里，4公里，5公里。
14、三人同时动身后，几小时第一次同时回到动身点？1、工人加工学件,第一批毛坯1788个，其次批毛坯1680个，第三批毛坯2098个。现平均分给工人，分别剩下7个、3个、5个，问；加工的工人最多有多少？艘工人据多人联的-7=】78】,幽7=1677.2098-52093:个数的臬人公约数.|乂由T1677.1781.2093.iA三个数较大乂都比较接近,用分的女因数的方法求破大公约故太麻烦.可以根据整除的性质“三个!故的最大公约数,也是它们将两个数之差的J大公约数”来求它们的收大公约It因为1781-1677=104,20931781=312.所以.只要求104和312的设大公约数就可以r,即(10
15、4.312)-2,13.乂由F1677.1781.2093均是奇数,由奇偶性知.(1677.1781,2093)=13.所以加工的工人最多有13人.2、排练团体操时，要求队伍变成IO行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，呆少须要多少人参与团体操的排练？解由于队形要成为长方形因此人数必玳是行教的信基,求最少的人坡就是求各行数的最小公信数,因此所需最少人笠是:口0,15-8.24卜360(人).I、动物园的饲养员给二群猴子分花牛，黄如只分给第一群，那么母只獴子可得12粒：假如只分给其次群.相么祗只眠子可得15粒：线如只分给第三群，那么每只猴子可得2Q粒.那么把花生同时分给三群猴子，平均
16、每只猴子可得多少粒？W由.捋只颊子分裨花生数X我子只数=花生总粒数（不变）”的关系式得12X第一群集干只兹=花生晶粒数，15X第二群依尸只数=花生总粒数；20X第三群账子只数一花生总粒数这说明花生总数是12.15.20的公倍数Jt最小公倍数是60设花生总粒以为60（为自然数）则第胖候F只数为，6M+I2n5（只h第二群就产只数为60d15=U（只第.群媒F只数为6O+2O-3（只）因此,花生总粒蚁问时分给二群眠干,平均仔只联子可将,60（5。+4。+3。）=5（粒）.2、两个数的积是5766.它们的最大公约数是31,这两个数是几？62.93或31,186解:5766=2x3x312.於此二数可
17、以是1x31与6x31,也可是2x31与3x31.3、四个连续自然数的最小公倍数是5460.这四个数和是（）.（北京市第十一“迎春杯数学竞实刊试区）答：54600-223571312+13+14*15=54解54.72=216（厘米）.从起点到第个睁印9.合时止大亮的脚印（21654）4（个），爸爸的脚印有（216+72=）3（个）.因为他的行.个脚印是靠的,所以在216M米长的这段路程内共有脚印（4+3-1=）6个.又因为.606=IO,216X10=2160（1米）=21.6（米）.所以花IB的周长为2）.6米.6、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假设千年就分
18、别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.你知道爷爷和小明现在的年龄吗？爷爷70岁,小明IO岁梃示：苓爷和小明的年近是6,5.4.3.2的公信也乂，由到年龄的米标情况,取公倍数中最小的，216.1999。2174。2,8出21995。221.7、七个不同的三位数的最大公约数中.最大的是几？M2斜：设这个最大的公约败为人则这七个不同的三位数至少为f,2rf.3d.7d.于是1007J1000.Ed142.即这个最大的公约数不超过142,而142,284,426.56,710,852.9M这7个三位数的徽大公约数为|42,故得解答.8、在一根长棍上,有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成IO等份；其次种木机分
19、成12等份：第三种符木棍分成15殍份.假如沿每条刻度线符木棍锯妍.木机总和技据成多少段？3、两个数的最大公约数是20.最小公倍数是560.符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解谀这两个裁分别为7和y依也更有r=20y=20,其中与6互质,IIq为rj=20XX6560,所以XQ56O2O=28=lx28-4X7.（2lt.2M不互质,拿去）提中=4,6=7时,两数的庭最小.所以,这两个数分别为-20X4=80,y=20X7=M0.3524、苹果每个理三克，果毋个小士克，橘子集个画二F克，假如帮果、282421梨、橘子的总Hilft都相等.苹果梨、橘子最少各有多少个？解根据题意.先求去另片
20、的疑小公倍也因为3.521一30.28242111.所以!卷击,哥一卒-30.故取果的个数为:30+2=280（个）；4o整的个数为,30+铝144（个h枯子的个数为：304=315（个）.5、大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花闹的周长，他俩的起点和走的方向完全一样.大亮斑步场54扉米，爸爸等步长72厘米，由于两人脚卬有重合的，所以各走完一圈后雪地上只用卜,60个脚印，求花刷的周长。然先求出10.12.15的最小公倍数为60.使古为个长度单位.木板被分为60个单位木桩的10等份姆份氏6个单位；12等份.悔份长5个单位“5号份用份长4个单位iC4.5=2O,t.6=12.5.6=3O,4,5.6=6O.6O2O-3.6O12-5.6030=2,6060-l.再揖除重复情况,即可求出木棍总共被锯成的段数：10+12+1535-2+1-28（段）.9、老师在黑板上写下三个数：108,396.A.让同学们求它的的最小公倍数.小马虎误招108当作1X0进展计飘.结果竟然与正确答案样.A最小等于几？BS9解：”08,396=2,3,11.1180.3961=2,3,SXI1.因为1108.396,Al=U80.396.A,所以A至少含有因数3,W5.印A最小是35=135
