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1、计算方法期中复习试题一、堞空题：I、已知f=1.O./=1.2./(3)=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得。小.用三点式求得/。答案：2.367,0.252、/()=-,/(2)=2,/(3)=1,则过这三点的二次括值多项式中/的系数为拉格朗日插值多项式为.1.(x)=a-2)(X-3)-2(x-I)(.v-3)-(.v-I)(-2)答案：-1,223、近似值父=。231关于再值.=0.229有(2)位有效教字：4,设“X)可微，求方程X=八处的牛顿迭代格式是()：X=./-/)人网lnIrz、答案”/(J)5、对.r)=/+x+1差商/10.1.2,31=(),/0,1,2.3,4=
2、(0);6、计算方法主要探讨(奴斯)误差和(合入)误差：7、用二分法求非线性方程/(x)=0在区间色内的根时，二分n次后的误差F艮为b-a(k)：8、已知川)=2,2)=3,.A4)=5.9,则二次NeWlOn插值多项式中小系数为(0.15):n,两点式高斯型求枳公式Jk.j3kW62翳八符H),代数精度为(5);y=IO+J12、为了使计算x-1-1)(XT)的乘除法次数尽爰地少，应将该表y=IO+(3+(4-6)r)r,/=达式改写为工-1_,为了削减舍入误差，应将表达式22O-1999改写为2(X)1+I99913、用二分法求方置=X+*=在区间0.1)内的根.进行一步后根的所在区间为0
3、5I.进行两步后根的所在区间为0.5,0.7514、计算积分1.sd二取4便有效数字。用悌形公式计算求得的近似值为0.4268.用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309.禅彩公式的代数新度为，辛卜生公式的代数相度为3.15、谈/(0)=0./(1)=16./(2)=46lj1I1(x)=_1（八）=一X(X-2)_,f(x)的二次牛顿插值多项式为_O)=l6,v+7x(x-l)广/()(k=SMXA)16、求积公式“*-o的代教精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2+1)次代数精度。17、 已知/(1)=1/(3)=5/(5)=3用半普生求积公式求，(12).18、 i5t(l)=l,y(
4、2)=2,/(3)=0,用三点式求/*(2.5).19、假如用二分法求方程x+4=在区间2内的根精确到三位小数，需对分(IO)次。xj0XISa)-1.(XT)+*T)+仇XT)+c.r320、已知12是三次样条函数，则=(3),=(3),c=(I).21、UX)4(),JK*)是以整数点XqEu，&为节点的1.agrange插值基函数，则4U)=xxi)=(l),(，)，当”之2时(x：+.r；+3此(X)=*-(X+X+3)o22、区间上的三次样条插值函数S(X)在鼠”上具有直到2阶的连续导数。23、变更函数/O)=HR-&(X1)的形式，使计算结果较精确W=7=Trx+l+.v。24、若
5、用二分法求方程/(6=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则须要对分IO次。S()三f2f*-v25、设U+r+x+Gx2是3次样条函数，则a=3.b=-3c=1c.26、若用夏化梯形公式计算1.”,要求误差不超过I。”,利用余项公式估计，至少用也个求积节点。27、若/(x)=3x2x+1,则差商/12,4,8,16,32=3ff(x)dx*(-D+8(0)+/(1)28、数值积分公式JT9的代数精度为2。选择题I,三点的高斯求积公式的代数达度为(B)。A.2B.5C.3D.42、舍人误差是（八）产生的误差。A.只取有限位数B.模型精确值与用数值方法求得的抬确值C.视察与测量D.数学模型
6、精确值与实际值3、3.141580是n的有(B)住有效数字的近似伍。A.6B.5C.4D.74、用Itx近似表示C1所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.板断D.舍人X5、用1+3近似表示中行三所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.我斯6、-324.7500是舍人得到的近似色，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.87、设/(-1)=1/(0)=3/(2)=4,财挺物括值多取式中.1的系数为(AA.-0.5B.0.5C.2D.-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.29、(D)W3位有效数字是0.236102.（八）0.0023549
7、103(B)2354.82IO-2(C)235.418(D)235.54IO-110、用简洁迭代法求方标f(x)=O的实根，把方程f(x)=O表示成x=(x),则f(x)=O的根是(B)。（八）y=(x)与X轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与X粒的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点II、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿牯值多项式的余项是(C)O（八）f(x,xO,xl2.xn)(xxl)(-x2).(-xnIXx-xn),u,h()+)!(C)Rx,xO,xl,x2,.,xn)(x-x)(x-xl)(x-x2).(-xnl11-xn),(D)R.g-
8、fO(B)(xo)(x)0(C)/(.r(1)/(x)0(D)/(x0),f(x)013、为求方程x3-2I=O在区间1.31.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭咒公式，迭代公式不收敛的是（八）.一=工,迭代公式;K=TJ=(A) XTQX=1+，.迭代公式iui=+-y(B) X先(C)X=l+x迭代公式：XhI=(I+X；)X：+i+1X，-1=x迭代公式:X“I=I+(D)f(.r)J.v-)Cr(x1.)14、在牛顿-柯特斯求积公式:合中，当系数C,是负值时公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不运用。X00.511.522.5f(x)2-
9、1.75-10.2524.25“26.23、有下列数表所确定的插值多项式的次数是(),(I)二次；(2)三次：(3)四次；(4)五次15、取6-1.732计算*=(6-)、下列方法中哪种最好？()(I)8,“7,3)”之10,4)1616(AW-1/：(B)(4-23).(4+23.(D)(J3+)4c50H2S(X)=J26、已知2(x-l)+a(x-2)+b*4是三次样条函数，则&的值为（八）6,6；(B)6,8；(C)8,6；(D)8,8。16、由下列数表进行NeWtOn插值，所确定的插值多项式的报高次数是(II-I-I_-I-I-A.11.522.533.5flx,1-10.5265.
10、08.011.5（八）5;(B)4;(C)3：(D)2。17.形如fMxAJs+W)的高斯(Gauss)里求积公式的代数精度为()（八）9;(B)7;(C)5：(D)3。K计算出的NCWtOn迭代格式为()xk3X1a3xta2xt3Xaai三+X.,三+7X1.1三+Xt.,三+（八）：(B)1.K：(C)lXk：(D)J。6=X10*19、用二分法求方程r+42-l=。在区间U,2J内的实根，要求误差限为2则对分次数至少为()（八）IOs(B)12:(C)Si(D)9。20、设1.(X)是以怎=W=OJ1.为节点的1.agnmge插值基函数，则()（八）x：(B)A：(C)i；(D)Io3
11、3、5个节点的牛顿-柯特斯求枳公式，至少具有()次代数精度（八）5；(BH:(C)6：(D)3。,、fr0x2S(x)21、已知2(x-l)+(x-2)+2x4是三次样条函数，则，方的值为()（八）6,6；(B)6,8；(08,6：(D)8,8。35、已知方程x-2x-5=O在x=2旁边有根,下列迭代格式中在4=2不收敛的是)22、由下列数据XO234/3II243-5确定的唯一插值多项式的次数为()（八）4：(B)2：(C)l:(D)3。23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()（八）8；(B)9；(C)IO;(D)IK三、是非题(认为正确的在后面的括抽中打，否则打x)1、已知
12、观察伍yJO=o12，用最小二来法求n次拟合多项式时,PKx)的次数可以随意取。2、JflI-近似表示COsx产生舍入误差.()(丁一*0)(*-*2)3、(X1.fXx1.必)表示在节点H的二次(拉格朗日)怙值度函数。()4.牛领插值多项式的优点是在计算时，商一级的插值多工页式可利用前一次插值的结果。()311-2535、矩阵A=I125/具有严格对角占优。()四、计算题:/fxdxAf(-l)+f()+B(-)+/(一)I、求A、3使求积公式JT.2，2I的代数精度尽量高,并求其代数希度：利用此公式求:衿保留四位小姒答案：/()=i/是精确成立,即2A+2B=21 22A+-B=-2 3求
13、权公式为jtf(x)dx=(-1)+d)+()+)2当x)=x时，公式明显新硝成立：当/(X)=K时，左=3,=3所以代i731数精度为3.JiJ-r+39-1+31+39-1/2+397=0.692861402,已知/(XJ2654分别用拉格朗日插依法和牛顿插依法求/*)的三次插依多项式PKX),并东人2)的近似俵(保留四位小数)。,/、0(-3)(a-4)(a-5),(-1X.v-4X.v-5)1.,(.r)=2+6答案：(1-3X1-4X-5)(3-1X3-4X3-5)*$(X-I)(X-3Xx-5)+4(x-1Xx-3X-4)(4-1X4-3X4-5)(5-1X5-3)(5-4)爰商表
14、为为力一阶均差-FfrBjl三阶均爰1236245-I-154-I04PI(X)-/V1(X)=2+2(X-1)-(x-l)(,r-3)+(.v-l)(x-3)(x-4)/=八=5.55、已知JT1-2-1012/(Vl)42135求x）的二次拟合曲线P式幻，并求/（）的近似值。答案：解：iX,yiWiyi+l()z=15Kkz1=3IOu0+340,=41103Il0710-14，,、3Ilp(X)=+X*IO7八OhPKO)=K6、已知SinX区间(J.%0,8的函数表i0.40.50.60.70.8Vi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求S
15、ino63891的近似值，如何选寻节点才能使误差最小？并求该近似他。答案：解：应选三个节点，使误差e2(x)yiw1(x)尽量小，即应使I式外1尽量小，最靠近插值点的三个节点满意上述要求.即取节点(0.5.0.6.0.7)超好，实际计算片果sin0.638910.596274,旦S1110.63891-0.596274|-1(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6X0.63891-0.7)3!0.55032047、构造求解方程b+x-2=0的根的迭代格式Xe=WxJ=J2，探讨其收效性，弁将根求出来,IJr*1一二答案：解：令/(x)=ex+10-2./(O)=-20且八幻=小+
16、10对BrG(-8,+8),故f(x)=在(),)内有唯一实根.将方程)=变形为则当XG(Oj)叶()=-(2-e*)“外卜故迭代格式收效。取%=5,计算结果列表如下:n0I23Xe0.50.0351278720.0964247850.089877325H4567品0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满意I必一K00(XX)95106所以X*0.09052500810、已知下列试验数据Xi1.361.952.1616.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：OrlBt,/V)=etf则f(r)We,且IS
17、dA有位整虬要求近似值有5位有效数字，只须误差WeSlSgXM4即可，解得=67.30877-所以=68.因此至少需将也68等份。12、取节点=54=1.求函数X)=在区间0,1上的二次插位多项式B(X),并估计误差。ft(x)=e0+gUsX解：-(0-0.5X0-l)(O.5-O)(O.5-1)T(x-0)(x-0.5)+eX(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-l)-4e-05(x-l)+2e-,x(x-O.5)f(x)=e-f,(x)=-e-,M3=mixI广(X)I=I又40.II/?2(X)I=Ie-(X)11x(X-0.5XX-1)I故板断误差3.。14、给定方程X)=
18、(XT)/T=OI)分析该方程存在几个根：2)用途咒法求出这些根，精确到5位有放数字：3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：I)将方程(x-l)e*-l=()(I)改写为XT=e-(2)作函数A*)=*，2(x)=c-的图彩(略)知(2)有唯一根w(l,2).2)将方募(2)改写为x=+e-x构造选代格式配=5(=0,l,2,)计算结果列表如下：k123456789Xk1.223131.294311.274(1.279691.278121.278561.278441.278471.278463)(r)=l+e,(x)=-e当XCu,2时d,r)eW(2)M)ul,2J,且(x)eT=5的收敛性，
19、选一种收敛格式计算“=1.5旁边的根，精幽到小数点后第三位。解：*）=F+1帆，（=OI8J故收敛:(2)(3),()=12xV,+7f,5)三o,i71,故发散.选杼(1)：%=15,r,=13572,X2=).3309,G=I.3259,=1.3249,As=1.32476.v6=1.3247225、数值积分公式形如CAXM*S(x)=4”0)+第+试确定参数ABC。使公式代数精度尽fi(2)设/9。叫推导余项公式外M=IMXM一)，并估计误差。r,.23A=Ii=,/?/)=解：将/()=1.xx，r分布代入公式得：20203020j(x,)=()构造Hennite插值多项式场满意HKX
20、J=xJ/=OJ其中X(I=O,x,=1则保C*=S(x),R(x)=(x/（八）-S(x)dx=/(x)-Wl(x)=(x-l)24!4;(X-I)1.a=空XkFa-)4!60144027、(10分)已知数值积分公式为：Cf(x)dx-f(O)+/()+yrl(O)-()J,12,试确定积分公式中的参数/，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f()=明显精确成立：仙h.,、fyZv=-=-0+/(x)=x时，品22:.2fxdlr=0+J+2/r0-2=2h=-/(X)=时，J32212.,.aXJa=-0+,+/r(0-32/(x)=a时，J)的迭代公式为:*h=t=0.
21、l,2-2XA证明：对一切太=12，心之、反，且序列x是单调递减的,从而迭代过程收敛。Xlt,i=(x+)2l.vx=A=O.1.2证明：2X,2V怎故对一切A=1.2,&之C。%i=；。+g)4J(+)=(又X*2汇2所以X-S，即序列出；是维调递减有卜界，从而迭代过程收敛。/(l)+(2)29、(9分)数值求积公式J?是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？C、P(X)=X/(1)+X/(2)解：是。因为八此在基点1、2处的插值多项式为1-22-1gM/+,其代数精度为1.30、(6分)写出求方程4x=cos(x)+l在区间0,的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性.g八、J)=；卜
22、+CoR)(6分)4,n=0,1,2,I,(1=sin(.vl-+A=A=A=72,233,6f（x）=x?时,公式左右=1/4;f（x）=x时,公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度-240、（10分）已知下列函数表:X0123(X)I3927写出相应的三次1.agrange插值多期式：（2）作均差表，写出相应的三次NeWton插值多项式，并计算/比5）的近似值。解：,(x-l)(x-211x-3)(X-0)(x-2)(x-3)(x-0Kx-1Xx-3)(x-0)(x-l)(x-2)1.i(x)b+(O-l)(O-2)(O-3)(l-0)(i-2)(l-3)(2-O)(2-l)(2-
23、3)(3-0X3-l)(3-2)2618O11329(2)均差表：3274(r)三l+2x+2x(x-l)+-x(x-l)(x-2)/(1.5),(1.5)=542、（10分）取5个等距节点，分别用复化梯形公式和发化辛普生.公式计算枳分1+2-的近似值（保留4位小数）,/（x）三T解：5个点对应的函数值+2FXiO0.511.5210.6666670.3333330.1818180.111111一一一/分)发化梯形公式n=4.h=2/4=0.5)：T1(I+2x(0.666667+0.333333+0.I818I8)+0.111111=0.868687(2)复化梯形公式(n=2,h=22=l):S、=-(1+4x(0.666667+0.181818)+2x0.333333+0.111111-6=0.861953
