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1、(R.a=G12(jmR),且+；=2,则称小，4调和分割A,A3已知平面上的点C,。调和分割点A,B,则下列说法正确的是().A.C可能是线段AB的中点B.。可能是线段AB的中点C.C、。可能同时在线段八8上D.C、。不可能同时在线段八8的延长线上第2讲平面向基本文理及其生标未示【2013年高考会这样考】1 .考查平面向量基本定理的应用.2 .考查坐标表示卜响量共线条件.【复习指导】本讲攵习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算.011.专基自主导学皿K基硼梳理I.平面向笫基本定理如果e,由是同一平面内的两个不共线向母,那么对于这一平面内的任意向量,有
2、I1.只有,对实数九，X2.使=Ze+%2e2,其中不共线的向量e,e?叫表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设。=(XI,y),b=x2,W).则+b=(x+x2,Vi+3),a8=(XI心，,1.m),z=(,x.zv,).=.11+)1.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向垃的坐标.设A(XI,y).B(X2,).则A=SXi,V?Vi),AB=(x2-t)2+(yj-y)2.3 .平面向量共线的坐标表示设=(x,户)，b=(x2,n),其中6工0,当且仅当KIy2一工2V1.=O时,向量0,b共线.【豆
3、习指导】本讲纪习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质,重点解决平面向Ift的数比积的有关运算，利用数比积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系.Mkaojizizhuoaoxue考基自主导学EK基明梳理1 .两个向量的夹角已知两个非零向量和伙如图),作=,0B=b,则NAOB=的。WGW180。)叫做向量。与/，的夹角，当，=0。时，。与b回向：当。=180。时，与b反向:如果0与的夹角是90。，我们说。与垂直，记作1.b2 .两个向量的数量积的定义已知两个非零向量。与b,它们的夹角为d则数量M1.版OS8叫做a与b的数量积(或内积),记作。力，即b=I1.bICoS规定
4、零向量与任一向人的数址积为0,即0=0.3 .向量数量积的几何意义数量积ab等的长度同与人在的方向上的投影网COS的数量积.4 .向量数笫积的性质设a、力都是非零向量，e是堆位向量，为。与从或e)的夹角.则(1.)ea=aeacos。：(2)aOaft=0:(3)当。与/，同向时;ab=ab当。与b反向时，ab=-ab,特别的，aa=IaF或者IaI=石W：ab(42=丽(5)a6a6.5 .向量数量积的运算律()ab=ba模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角脑中边角的向量关系式的表达影式，最后用三角知识规范解答.【示例】ZA5C的面积是30.内角4，B.C所对边长分别为小4C,CoSA
5、=白.(1)求A耳戢?：若c-A=1.,求a的值.【试一试】已知AABC的面积S满足5WSW3,昆丽雇=6,设油与前的夹角为。.(1)求0的取值范围：求函数人。)=Sin%+2sinffcos+3COSM的最小值.第4讲平面向量的废用【2013年高考会这样考】1 .考老利用向量方法解决某些简派的平面几何问题.2 .考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【复习指导】发习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量枳的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点.A/KA04Z*ZMUDA0XUE01考基自生导学0彳0昆；，堂和长基础梳理1 .向量在平
6、面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向fit的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题,常用共线向量定理：。从=。=b(b0),tV2.t2Vi=0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab=(X=wx2+.vy2=O.(3)求夹角问题，利用夹角公式Cabxx2yy2COS用丽=鬲俄不为与的夹角).2 .平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是个标员，这是力F与位移S的数量积.即W=
7、FS=IS1.COS取。为尸与S的夹角).=.9号诚峥，一个手段您现坐收回董与二.他函.数土改叁支与展物.生理之现妁.拄色的支委关段也应支的.坐标遹亮两条主线(1)向量兼具代教的抽象与严谨和几何的立观与形象，向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问邈时，要注意教与杉的结合、代数与几何的结合、彩象思维与逻辑思维的结合.(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质斛邈.双基自测I.某人先位移向舟G“向东走3km”，接着再位移向量从“向北走3km”，/.垂足为0，mPC+pQ)(PC-PQ)Q.(I)求动点P的轨迹方程；若“.为厕N：(+0,一1-=1的任条直径，求成
8、苏布J最值.【训练3】已知点P(0,-3),点A在X轴上，点。在y轴的正半轴上，点M满足或鼐f-0,AMw,当点A.t轴上移动时，求动点M的轨迹方程.Kaotizhuanxianotupo,考题专项突破才丁赤：名Hwat难点突破12高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是i中数学的重要知识，是离中数学中数形结合思想的典型体现.近几年新课标高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，乂保持与其他知识交汇的命题思路.呈现出“综合应用，融会贯通的特色，充分彰显平面向量的交汇价值.一、平面向量与命题的交汇【示例】设a，b是向量，命题“若”=-b,则Ia1.=网”的逆命题是()
9、.A.若a#b，则Ia1.W仍B.若a=b,则MC.若IH*的,9)1.a-bD.若Ia1.=I,则a=f二、平面向量与函数【示例】若a，分是非零向量，且0_1.b,qH”,则函数火x)=(*a+b)a力一。)是()A.一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数平面向量与线性规划【示例】(2011福建)已知。是坐标原点,点八(一1.1),若点M(X,y)为平面区x+y2.域xW1.,上的一个动点，则勿加的取值范围是().y2A.-1.0B.0,1C.0,2D.-1.2专题二高考三角色故与平面向量令题动向病冷命题分析纵观近年各省的高考数学试题，出现了些
10、富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力.在新课标高考试卷中一般有24网，分值约占全卷的14%20%,因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考更习无疑有十分重耍的意义.现聚焦高考：角函数与平面向fit试题.揭秘:角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示.海为命题的成新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如卜.：（1）考小题，承基础：有关三角函数的小题其考杳求点在于基础知识：解析式：图象与图象变换：两域（定义
11、域、值域）：四性（.单调性、奇偶性、对称性、周期性）:简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.有关向量的考查主要是向量的级性运算以及向量的数量积等知识.（2）考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加.大迤中的向量，主要是作为工具来考杳的，多与三角、圆锥曲线相结合.（3）考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、Isi锥曲线的知识与方法，又能考隹运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向室平行与垂直的
12、充要条件，向量的数显：积等.（4）考综合，体现三角的工具作用：由于近几年病考试即突出能力立意，加强对知识性和应用性的考杳，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用.高力3向近视动向。考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考在主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角：.角函数的关系的应用等,在这类问
13、题的求解中，常常使用的方怯技巧是“平方法”，“齐次化切”等.【示例I】若g,SRSin%+cos2=（,则tan的值等于（）.A.坐B.坐C2D.i动向囱考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦（型）函数、余弦（型）函数、正切（型）函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图级的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考.试卷中都有考查三角函数的图象与性侦的试题，而I1.对三角函数的图象与性历的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考隹图象的相关性质：解答巡主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏F.【示例2】Q已知函数
14、_/U)=Asin&+JWR,40.0,尸益)的部分图缭如图所示,P，。分别为该图象的最高点和最低点，点。的坐标为(1,A).求y的城小正周期及9的值；(2)若点R的坐标为(1.0),NPRQ=F求A的值.动向目求单调区间高考对三角函数的单调性考杳，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小间中,属中档题.对于形如y=Asin(x+砌,oW0的单调区间的求法是：先考虑A.”的符号，再将以+U),则负)的单调递增区间是().A.11-11+j(Z)B.k11,E+专(Z)C.A11+.11+yjAZ)Dj11-,111.Z)【训练】设函数Kr)=Sin(0x+3)+cos(3+3)O,IdV引
15、的最小正周期为11.且J(-x)=K0,贝).A./U）在（0,，单调递减B.游.r)递调C.危）在0野单调递增D启在京空）单调递增动向E1.求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题.有时也在大题中的某一步呈现，凤中档偏琲题，高考常考查以下两种类型：化成y=Asin（sx+0的形式后利用正弦函数的单调性求其最值：化成二次函数形式后利用配方法求其最值.示例4设aWR,fix)=cosAfaSinX-CoSX)+cOs2T满足GW=y(0),求函数火X）在片明上的最大值和最小值.【训练】函数y=2sinacosx的最大值为动向日利用三角恒等变换求三角函数值：角恒等变换是研究:角函
16、数的图象与性所，解三角形的基础，在前几年的而考中维独命题的情况很少，但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性侦，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行单独命题，由此可见，高考加大J对一：角恒等变换的考查力度，而考命题考杳的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.示例5已知函数=1.an（2r+（1）求KO的定义域与最小正周期：设（,若序=2CoS2,求”的大小.【训练】若OVaV*一曰VAV0，cos(；+“)=g,co；-9=坐，则CoSM+=().A当B.一卓C*D.邛三角函数的综合应用三角函数的综合应用
17、是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与第合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战.【示例6设函数W)=5sinJ+cos以其中，角，的顶点与坐标原点重:合，始边与X轴非负半轴重合，终边经过点P(r,y),且OWJWm(1)若点P的坐标为(；，孚)求大)的值；x+y,(2)若点P(x,y)为平面区域OXW1.上的个动点，试确定角0的取值范.y1.国，并求函数十附的最小值和最大值动向a有关解三角形的考查新课标高考对解：角形的考查，以正弦
18、定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180%诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值.在近几年的高考中，对解三角形的考杳力度有所加强，而且更加注31知识点的综合运用，没有怪题、偏题.下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题.【示例7】在AABC中，角A,B.C的对边分别为“，b,c.(1)sin42cosA.求4的值：(2)若COSAg,Z=3c,求SinC的值.【训练】在AABC中，内角A,B.C的对边分别为/b,，己知B=CM=/a.求CoS
19、A的值:(2)求cos(24+；)的值.动向目平面向址共线与垂直高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题，有时也在大题的条件中出现，屈中档偏难题.平面向量的坐标表示可使平面向狂运算完全代数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题.【示例8】已知e2是夹角为W的两个单位向量，a=e-2e2h=ke+e:.若ab=O,则实数4的值为.【训练】若向量,b,C满足。b且aJ_c,则c(+2b)=(A.4B.3C.2D.O劭回回平面向的夹角高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题.有时也在大题中出现，属中档题.两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变
20、形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：依条件等式，运整求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围：依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解.【示例9】已知。与力均为单位向地，其夹角为仇有卜列四个命题：pi：+b1.e,亨J：户：+1.;,11:3：-1.序)：p4：-h1.,n.其中的真命题是().A.pi，paB.|，pC.QpyD.p?,小平面向R的模高考对平面向量的模的考杳，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向狂=(x,V),求向增，的模只需利用公式Ia1.=符于即可求
21、解.不把向地放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运匏法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量的模进行如下转化：=p.【示例10若,b,C均为单位向量，且Gb=0,(-c)(ft-c)0.则a+ZC1.的最大值为().A.2-B.IC.2D.2【训练】设向满足M1.=Ib1.=I,aA=则a+2=().A.2B.3C.5D.7动向血向量的应用近年的新课标高考，对手平面向量的应用的考查不仅体现在力学中，还港透到中学学科的各个分支，但不论睡型如何变化，都是把向量作为工具进行考杳的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目.【示例II】己知向量a=(1.,2),b=(1.,-I),则2a+与。一的夹角等于().w4x-6B.11-4-A.
