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1、2023年上海市15区中有数学一模汇专题07相似、锐角三角比的应用与圆（13题）一.逸邦JI（共1小Ji）1.（2022秋杨浦区校级期末）下列说法正确的是A.三个点确定一个圆B.当半径大于点到圆心的距离时，点在国外C.B1.心角相等,它们所对的瓠相等D.边长为/?的正六边形的边心第等于但R【分析】分别根据确定哄1的条件，点与IS的位盥关系圆心角、式、弦的关系及圆内接正六边形的性质对各选项进行逐一判断.【解答】解：/1、只有不在同一条在线上的三点才可以确定一个圆，故本选项错误：8、当半径大于点到圆心的距禹时，点在国内,故本选项错误：C只有在网圆或等If1.I中圆心角相等，它们所对的弧相等，故本选
2、项错误；。、边长为R的正六边形的边心距等于近R,故本选项正确.2故选:D.【点评】本SS考查的是确定圆的条件，点与阳的位置关系，掰心角、讽、弦的关系及内接正六边形的性质，熟练掌握以上知识是解答此Sfi的关健.二.填空JI（共2小愚）2 .（2022秋杨浦区校敬期末已知。|与。2两圆外切，3=5,0。1的半径为3.氐么06的半径,为2.【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得站果.【解答】解：.0O与。6的IH外切,.5=3+r,.r=2,故答案为：2.【点评】本题考查了两圆的位置关系：两掰外切时两回的网心距与两圆半径的关系,掌握这一关系是解题的关键.3 .（2022秋杨浦区校级期末
3、）如图,矩形A8C。中，八8=8,D=6.以A为圆心,r为半径作Ozb使得点。在期内，点C在圆外，则半径r的取俏范用是6外r10.B【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，利用以A为圆心，r为半径作O4使得点力在圆内，点C在圆外，得出厂的取值范田即可.【解答】解：如图,连接Ae；矩形矩形ABCo中，Afi=8.D=6.AAC=IO.；以A为圆心，为半径作。八，使得点。在网内，点C在圆外，二半径r的取值范围是：6rI0.故答案为：6r10.【点评】本跑主要考查了点与阀的位置关系以及勾股定理利用图形得出，的取优范围是解遨关犍.=.解密愚（共10小题）%（2022秋杨浦区校缎期末）己知：如图，A8是。
4、的食径,。是O。上一点，CD1.AB,垂足为点。,户足筋的中点?与AC相交于点AC=12.EF=3.求八。的长；-*1【分析】由尸於AQ的中点,根据垂径定理的推论，得AE=IAGOF1.AC,在&ZWEO中利用勾股定理求解即可:2)i1.1.CD1B.利用同光的余角相等得到Ne=NACOSC=COSNA(龙.在Rt,().即可得到CoSNA(足的值.【斜答】解：(1设八0=r,则O=r.F是血中点,AE-AC=6FO1C.在RtZsAEO中，AR2OE2=OA2,.62+(r-3)2=r2.解得：r吟，OA喏：2),：OE1.AE,：.ZA+ZAOE=WVCO1.AB,二/4+/C=90,/C
5、=/AOR9T3AcosC=cosZAOE=TT=.T熟练掌握知识点是好时的关世.点A,在边ACI-.且DF/BE.【点评】本题考查了垂径定理以及推论,勾股定理,1.直角：.角形,5.(2022秋杨浦区校级期末如图.在448C中,点。在边A8I.AFAEFBoCE求证：DE/BCt2)如J=,s,aw=2.求Sc的值.AE2【分析】（1）由/8E可得黑鲁.再结合已知比例,可得区*.即可得证：BDFEDBCE（2）由图可知,/）F与。石尸等高.根据等高的两个三角形面枳比等于底边的比，再由/）E8C,得出A。NSz48C利用相似三角形的面枳比等于相似比的平方求解.【解答】（1）证明：YO尸8.AD
6、AF二,BDFE,AFAE,FE3CE.ADAEDB3CE.,.EHC.2解：V=.AEAF+FE.AE2,AF=FE=JE:，sADF=2sADE又,：DFJfBC,.Zsaoesaabc.xAE-A1.-1,人Ee-FET,AE=1AC-sADE=2sAK,:，S.：ARC=4.S-DE-8,d=16.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,平行规的性质,平行线分线段成比例.关键是利用平行线得出相似：.角形及比例，利用相似:角形的面枳比等于相似比的平方解题.（2022枚浦东新区期末如图,R1.AEACNEAC=90.NE=45,点8在边EC上，BD1.AC,垂足为。，点F在8。延长战上，
7、ZFC=ZEB.BF=5,1.anZF=4求：（1）AQ的长：co1./Oc尸的值.【分析】(D由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解;2)由锐角的余切定义，即可求解.【解答】解：(1)VZEAC=W)=,.NEA8+N8AC=90.：ZFAC=EAH.ZMC+ZAC=90,.ZBF=9O.tanZAFR=-=-,AF4令八8=3x,AF=4x.：m-i=ABi+Ahz.*.Ba=(3)2+4.r)2,.,.RF=5x=5.Vx=I,二八8z3x=3zz4,v-4:BF-AD=ARAF=2Sab5D=34=I2.n-125在RtAWF中,ADJ_M,.B1=BDBF.32=5D.Q：.BD
8、=亳.IDF=BF-81)=电.3NE4C=90.NE=45.：.NBCD=45.：.NDBC=45：.DC=BD咚O.8iNDCF=鉴=.DF16【点评】本即考查锐角的正切，余切的慨念,关键足由勾股定理求出八8.八的长：由射影定理求出8。的长.7.（2022秋青浦区校级期末）如图，在I1.角拂形48C。中，AB/DC,NZM8=9,AB=S.CD=5,BC=35.I求梯形八友刀的面积：联结BD.求NDBC的正弦ffi.【分析】（1）过C作C1八，于，推出四边形八/X芭是矩形，得到AO=CE,AE=CD=5.根据勾股定理汨到CE=近受F=6,于是得到梯形A8C。的面枳=X（5+8）X6=39:
9、2）过C作CB。子II,根据相似三地形的性喷得嘴喘，根据勾股定理得到=AB2+AD2=82+62=,o于是得到结论【解答】解：（I）过C作C从1.AS于E.：AB/DC.ZDB=90.：.ZADC=W,.NA=NADC=NAEC=90,.四边形ACCE是矩形，.,.AD=CE.AE=CO=5,.,.HE=A1.i-AE=3.,：BC=胞,ce=bc2-be2=6，梯形A8C/)的面积=X(5+8)X6=39：2过C作C7/18。于从：CD/AB.：.NCDB=ZABD.VZCWD=ZA=90.,.CDHDB.CHCD二一*ADBD，,ff=AB2+AD2=82+62=I,.CH_5T1o,【点
10、评】本区考查了直用梯形,好直角：.角形,相似:角形的判定和性质，矩形的判定和性质,正确的作出辅助线是解遨的关键.8 .(2022秋静安区期末如图,已如在AABC中,NB为脱角，AO是8C边上的高，CosB=磊，8=13,BC=2.1求AC的长；【分析】(1)由N8的氽弦求出W)长,得到OC长，I1.1.勾股定理即可解决问题:(2)过C作CH1.AB于/.由三角形的面枳公式求出C”的长即可解决问题.【耨答】解：（I.cos=,AB=I3,AB13tfD-1.3-=5.,.CD=BC-RD=21.-5=16.dAB2-BD2=V132-52=124C=ad2d2=i22+162=20三作CH1.A
11、8于”.VC的面积马C3C,2213CH=2112.rH_252ch1,252.ZHAC的正弦值是空=圣_=器.AC2065【点评】本时考杳解口角三角形，关键是过C作C，A8于，由三角形的面积公式求出C”的长.9 .(2022秋黄浦区校级期末)如图,在RtBC中,/048=90,SinC=,AC=8,8。平分/C8A交AC边于点。.求：(1)莲段AB的长：IanZDBA的值.【分析】(I)先解R1.八8C得出SinC=黄=卷，设出A8=3A,9BC=5k,C-AB2=AC2,得出方程(5A)2-(3D2=82,解方程求出大的他，进而得到A8；2过。点作。氏1.8C于心设A）=x,则CD=8-X
12、.根据角平分线的性防得出DE=AD=X,利用H1.证明RtDE5RtDA.得到BE=BA=6.那么CE=BC-BE=4.然后在Rt（?中利用勾股定理窗出。Ec+CE2=CA即FW=（8-X）2,解方程求出X的值,即为八。的仁再根据正切函数的定义即可求解.【解答】解：（1；在R1.AA8C中，/68=90,.sinC=?,RC2-AfJi=AC22=春,=2(负(ft舍去).8=3X2=6；(2)过。点作O1.8C于E,设4D=x,则CD=8-x.8C平分NCBA交AC边于点C,NCA8=90,：.DE=AD=X.在RtBDE与RtBM中,fBD=BDIDE=Da.R1.ZSBOEgRtzMOA
13、中，；NCED=90：.,.DEi+CEi=Cbi.x2+42=8-)2.解得x=3.：.AD=3.UmNOZM=丝=3=.AB62【点过】本题考查/解直角三角形.锐角三角函数的定义,勾股定理,全等三角形的判定与性质.冰度适中.准确作出辅助线是解决第（2问的关杨.10. （2022秋百浦区校级期末）如图，已知在R1.AtBC中，NC=90,tan/ABC5，点。在边仇?上,49BD=8,连接八。，tanDAC=求边AC的长：2求coNZM。的（ft.【分析】(1)设CD2x.解直角三角形RtACD得到AC=3x.再解RtAWC得到8C=4x,则BD=2t,由此得到2r=8.解方程即可得到答案：
14、2)先利用勾股定理得到AB=20,解R(AfiC得到COSB=,si11B=再解R1.ABDE,得到DE=-BE=,即AE=AB-BE=，即可得到COtNBAD=COtNDAE=【解答】解：(I)设C0=2.RtACD,NACD=90,tanZDAC=,.CD21AC34C=3xr在R1.八席中，NACB=90,tanZABC=74.AC3BC4C=4x,8。二8.2r=8.解得x=4.AC=3x=12:2）如图所示,过点。作于E,由1.)AC=12.BC=16,AB=AC2*BC2=20-二在Rt八8C中，COSB:sinx4.在R1.E中，DE=BDsinB噜，BE=BDeOSB咯,33A
15、E=AB-BE=-7AH171.otNBAD=CotNDAE喏=UDO【点评】本啊主要考杳了解Hm三角形，勾股定理，熟知相应的税用三角函数的定义是解遨的关键.I1.2022秋徐汇区期末）如图.已知在AAHC中,CDAR.垂足为点/）,At）=2.BD=（.tanff=,点E1是边8C的中点.1求边AC的长：2求/EAB的正弦位.【分析】（I）利用WB的正切值先求*CD.再利用勾股定理求出C:2过点E作EE1.A8,垂足为E先判断/=是三角形的中位线，再求出F、DF.FJi,E.G后求出NE4S的正弦值.【解答】解：（1,：CD1.AB.ACD.Zi8C)均为直角三角形.在RtACDB中,BD=
16、6.tan=BD3CD=4.在RtCDA中,c=CD2+AD2=42+22=25.(2)过点作EFJMZh垂足为F.VCDff,EFA.AB.CDEF.又；点E是边8C的中点.是C。的中位线.DF=BF=3,EF=D=2.24F=D+DF=5.在Rt4EF.E=af2+ef2=52+22=29.FP二sin/48=合AE=229【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理.掌握出角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本胞的关键.12.（2022秋杨浦区期末）如图,己知ZkA8C是等边三角形，B=6.点。在八C上.D=2CD.CM是NACB的外角平分战，连接BD并延长与CM交于点E.求
17、CE的长；【分析】首先证明CEA8,则A48OSACM,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；过点E作EH1?C于点，在巨角ACEH中,利用：角函数求得C7/和EH的氏度，即可求得8,的大小，即可求得三角函数值.【解答】解：（D在8C延长线上取一点F.A8C是等边三角形.：.ZABC=ZCB=（.B=BC=6.ZACF=120,.C是NAC8的外角平分线，：.ZECF=-Z.ACF=W.2，ZECF=ZABC.J.CE/AB,.CE_CD1.ABAD又.YO=2SAB=f.CE_162,CE=3.2)过点作，8:于点.VZECF=60,NEHC=90：CE=3.C=3./=宜巨，2又.8C=
18、6,IBH=BOCH=E,2VZEH=9()i.3/8(?=粤=近.BH5【点评】本麴考查/相似三角形的判定与性质.以及三角函数值的求法,求三角函数值的何时常用的方法是朴化为求直角三角形的边的问题.13.2022秋金山区校级期末如图，在四边形A8C。中，8D平分NABC,N8OC=A=90,cosA8O=5sac8C且求出些的信；CD2如果8C=25,求四边形八BCD的面枳.【分析】(I)先利用两角对应相等判断八8CsA08C,再利用口角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论：2)利用宜角三瓶形的边角间关系先求出小)、八反再利用勾股定理求出A。、CD.最后利用一:角形的面枳公式得结论.【解答】解：（”.d）平分NA8C.Zabd=ACHD.,:ZBDC=Z=90,.,.ABDDBC.AD=ABCDBD在RtAASD中,.cos/ABD-=.BD5.AD_4-;CD52)VZBD=ZCBD.8sNC8)=?,BC5VBC=25.AfiD=20,:d=Vbc2-BD2=is，.8$/A8。=?，BD5.8=16,.M)=bd2.ab2=12,.,.5H.J.AsCD=SMBD+SBCD=RADBI）CD=-1.612+-1.20X5=96+150=246.【点评】本题主要考杳了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、口角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本即的关雄.
