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1、word1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1，a2，as线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知A的特征向量0，则先用定义A0=00处理一下再说。8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
2、2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲 基本概念线性代数的主要的基本容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数, 构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 的线性方程组.0,0,0 总是齐次线
3、性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为mn矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.是一个23矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为,常数列为,则方程组为由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.零矩阵
4、:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和是不是一样? 作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是13矩阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.3. n阶矩阵与几个特殊矩阵nn的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的
5、的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵?对角矩阵: 、上三角矩阵: 、下三角矩阵: 、对称矩阵: 、三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的. 加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).两个同维数的向量可以相加(减),规则
6、为对应分量相加(减). 数乘: 一个数c与一个mn的矩阵A可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c. 向量组的线性组合:设，是一组n维向量, ,是一组数,则称为，的(以,为系数的线性组合. 例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合. 解: 2.转置把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作.四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换: 交换两行的位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一
7、行上. AB.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵? 一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A是阶梯形矩阵.(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每
8、个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵请注意: 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:矩阵消
9、元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(). (2)用()判别解的情况:如果最下面的非零行为(),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；rn时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉()的零行,得到一个n(n+1)矩阵(),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(),则h就是解. 就是解.,h就是解.解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；rn时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程
10、的个数mn即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量).a1, a2, a3, a4, a5无关a1, a3, a 5无关逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.(3) 如果a1,a2,as 线性无关,则a1,a2,as ,b线性相关ba1,a2,as .(a1,a2,as ,b线性无关ba1,a2,as .) 明显. 设c1,c2,cs, c不全为0,使得 c1a1+c2a2+csas+cb=0,则c不为0(否则a1,a2,as 线性相关),因此ba1,a2,as .例 b1=(1,2, a+3
11、)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4) 线性无关例15 a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.(D) a1,a2,a3,b+cg线性无关.2008年的一个题中:已知 a1,a2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 a3满足Aa3= a2+a3.证明a1,a2, a3线性无关.(看题解)设（1）A（1） 得 （2）（1）-（2）： （3）A（3） （4）（3）-（4） 4，得 ； 代人（3），-，得
12、 ， 代人（1），得 方法二：，线性无关，只用证 若 ，（1） 得（2） （2）-（1）： 与线性无关矛盾。2009年的一个题中: a10, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 证明a1,a2, a3线性无关. (看题解) 证明：A 是3阶矩阵，是3维非零列向量，使得，又 满足， ，证明线性无关。证：方法一（用定义法）设 （1），即，得 （1）化为A（1）：，得 （1）化为 ，得方法二：，无关（否则 ，）所以 线性无关又 （否则， (4) 如果ba1,a2,as ,则a1,a2,as 线性无关.a1,a2,as 线性相关.(5) 如果b1,b2,bta1,a2,as ，并且ts,则
13、b1,b2,bt线性相关.逆否命题: 如果b1,b2,bta1,a2,as ,并且b1,b2,bt线性无关. 则ts, 推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.三.向量组的极大无关组和秩向量组的在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.，1. 定义与简单性质定义 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I) 线性无关. (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.称(I) 中所包含向量的个数为a1,a2,as 的秩。记作
14、r(a1,a2,as).说明i) a1,a2,as 的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？任何aI都可用极大无关组(I) 线性表示,从而(I) 与a1,a2,as 等价.于是任意两个极大无关组 等价，因此包含向量的个数相同。说明ii) 如果a1,a2,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,as)=0.如果r(a1,a2,as)=3,则i) a1,a2,as 有包含3个向量的无关部分组。ii) 一个部分组如果含有多于3个向量,则它一定的相关.iii） a1,a2,as 的每个含有3个向量的线性无关部分组一定是极大无关组. 0r(a1,a2,as) Mins。n2. 应用 a1,a2,as
15、 线性无关 r(a1,a2,as)=s. b可用a1,a2,as 线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).命题： r(a1,a2,as,b)= 证明思路:看a1,a2,as 的一个极大无关组(I)是否也是a1,a2,as ,b的极大无关组?ba1,a2,as b(I) (I), b 线性相关(I)也是a1,a2,as ,b的极大无关组，则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).ba1,a2,as b(I) (I), b 线性无关(I), b 是a1,a2,as ,b的极大无关组.则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.例14已知b可用a1,a2
16、,as线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明as不可用a1,a2,as-1线性表示；as可用a1,a2,as-1,b线性表示 r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2,as-1,as). r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.b可用a1,a2,as 唯一线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)=s.b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).推论: 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则 r(b1,b2,bt)r(a1, a2, ,as )
17、. a1,a2,as和b1,b2,bt等价 r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).r(a1,a2,as)的计算: 用初等行变换把矩阵(a1,a2,as)化为阶梯形矩阵,其非零行数= r(a1,a2,as).例11中的向量组的秩:r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a1,求a. (05)秩4 得 1-2a=0 a=例3设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2
18、,a3)=2?1) 若 b=0 时秩）时秩为例4设a1=(1+，1，1)，a2=(1，1+，1)，a3=(1，1，1+)，b=(0，,2)为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式不唯一？为何值时，b不可用a1，a2，a3线性表示？ (看题解)当时，,当时，当，例7 设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.(00二)(看题解)思
19、路：先用这个条件求出b则例9 给定向量组() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)当a为何值时()和()等价? a为何值时()和()不等价?(03四)当时，当时，而结论：a=-1时不等价，时等价例8求常数a,使得向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组b1=(1,1,a),b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)线性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3线性表示. (2005年数学二)于是或-2a=1时， 时：，
20、，相关，(看题解)3. 秩的计算,有相同线性关系的向量组两个向量个数相同的向量组a1,a2,as,和 b1,b2,bs称为有相同线性关系,如果向量方程x1a1+x2a2+xsas=0和x1b1+x2b2+xsbs=0同解,即齐次线性方程组(a1,a2,as)X=0和( b1,b2,bs)X=0同解.当a1,a2,as和 b1,b2,bs有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.a1,a3,a4和 b1,b3,b4相对应.如果a1,a3,a4相关,比如3a1-a3+5a4=0,则(3,0,-1,5,0,0)是x1a1+x2a2+xsas=0的解,从而也是x1b1+x2b2+xs
21、bs=0的解,就得到3b1-b3+5b4=0, b1,b3,b4相关.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.(3)它们有相同的在线性表示关系.a2=2a1+a3-a4 b2=2b1+b3-b4.例如,当A经过初等行变换化为B时, AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.问题:为什么阶梯形矩阵的非零行数就是它的列向量组的秩?a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5g1g2g3g4g5显然g1,g2,g4无关, g3= 3g1+g2, g5=2g1+g2,g1,g2,g4是g1,g2,g3,g4, g5的一个极大无关组.这样,就产生了计算一个向量组a1,a2,as的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(a1,
