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1、. 第五讲 全等三角形与角平分线 一选择题共10小题1如图四边形ABCD中,ADBC,BCD=90,AB=BC+AD,DAC=45,E为CD上一点,且BAE=45若CD=4,则ABE的面积为ABCD2如图,点P为定角AOB的平分线上的一个定点,且MPN与AOB互补,若MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论：1PM=PN恒成立；2OM+ON的值不变；3四边形PMON的面积不变；4MN的长不变,其中正确的个数为A4B3C2D13如图,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为
2、半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是A15B30C45D604如图,AD是ABC中BAC的角平分线,DEAB于点E,SABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是A3B4C6D55如图,在ABC中,ABC=50,ACB=60,点E在BC的延长线上,ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是ABAC=70BDOC=90CBDC=35DDAC=556如图,在ABC中,C=90,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动点E不与点A、C重合,且保持AE=CF,连接DE、DF、EF在此运动变
3、化的过程中,有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是A1个B2个C3个D4个7如图,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B下列结论中不一定成立的是APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP8如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有A1处B2处C3处D4处9如图,在ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PRAB于R,PSAC于S,则三个结论AS=AR；QPAR；BPRQSP中A
4、全部正确B仅和正确C仅正确D仅和正确10如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB,PDOB,如果PC=6,那么PD等于A4B3C2D1二填空题共10小题11如图,已知ABEACF,E=F=90,CMD=70,则2=度12已知ABC中,AB=BCAC,作与ABC只有一条公共边,且与ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出个13AB是四边形ACBE的对角线,AB=AC,过点C作CDAE交BE于D若AE=DE,ACD=45,BD=1,CD=5,则AE=14如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO下列结论：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所有正确结论的序号
5、是15如图,AB=12,CAAB于A,DBAB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动分钟后CAP与PQB全等16如图,ABC中,C=90,CA=CB,点M在线段AB上,GMB=A,BGMG,垂足为G,MG与BC相交于点H若MH=8cm,则BG=cm17如图,已知在ABC中,A=90,AB=AC,CD平分ACB,DEBC于E,若BC=15cm,则DEB的周长为cm18在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=15,且BD：DC=3：2,则D到边AB的距离是19如图,已知RtABCRtDEC,连结AD,若1=2
6、0,则B的度数是20如图,ABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm点P从A点出发沿AC路径向终点C运动；点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PEl于E,QFl于F则点P运动时间为时,PEC与QFC全等三解答题共15小题21如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,点D是AB的中点,点E是AB边上一点1直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G如图l,求证：AE=CG；2直线AH垂直于CE,垂足为H,交CD的延长线于点M如图2,找出图中与BE相等的线段不需要添加辅助线,并
7、说明理由22如图,已知ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD与CQP全等？23已知ABC,点D、F分别为线段AC、AB上两点,连接BD、CF交于点E1若BDAC,CFAB,如图1所示,试说明BAC+BEC=180；2若BD平分ABC,CF平分ACB,如图2所示,试说明此时BAC与BEC的数量关系；3在2的条件下,若
8、BAC=60,试说明：EF=ED24如图,四边形ABCD中,B=90,ABCD,M为BC边上的一点,且AM平分BAD,DM平分ADC求证：1AMDM；2M为BC的中点25如图,已知1=2,P为BN上的一点,PFBC于F,PA=PC求证：PCB+BAP=18026如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC1求C点的坐标；2如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰RtAPD,过D作DEx轴于E点,求OPDE的值27如图1,ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重
9、合,且EF=FP1示例：在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是、2将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是、3将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ你认为2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立,给出证明；若不成立,请说明理由28如图,ABC=90,D、E分别在BC、AC上,ADDE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与
10、AB相交于点M1求证：FMC=FCM；2AD与MC垂直吗？并说明理由29如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于点E在ABC外有一点F,使FAAE,FCBC1求证：BE=CF；2在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME求证：MEBC；DE=DN30问题背景：如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=120,B=ADC=90E,F分别是BC,CD上的点且EAF=60探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G使DG=BE连结AG,先证明ABEADG,再证明AEFAGF,可得出结论
11、,他的结论应是；探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180E,F分别是BC,CD上的点,且EAF=BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心O处北偏西30的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离31如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作A
12、DAB交BE的延长线于点D,CG平分ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且ACF=CBG求证：1AF=CG；2CF=2DE32如图,点E是AOB的平分线上一点,ECOA,EDOB,垂足分别为C、D求证：1ECD=EDC；2OC=OD；3OE是线段CD的垂直平分线33如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F1说明BE=CF的理由；2如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长34四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于E,ADC+B=180求证：2AE=AB+AD35如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中C=90,B=E=
13、301操作发现如图2,固定ABC,使DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是2猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想1中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想3拓展探究已知ABC=60,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DEAB交BC于点E如图4若在射线BA上存在点F,使SDCF=SBDE,请直接写出相应的BF的长参考答案与试题解析一选择题共10小题1如图四边形ABCD中,ADBC,BCD=90,AB=BC+
14、AD,DAC=45,E为CD上一点,且BAE=45若CD=4,则ABE的面积为ABCD解答解：如图取CD的中点F,连接BF延长BF交AD的延长线于G,作FHAB于H,EKAB于K作BTAD于TBCAG,BCF=FDG,BFC=DFG,FC=DF,BCFGDF,BC=DG,BF=FG,AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,AB=AG,BF=FG,BFAF,ABF=G=CBF,FHBA,FCBC,FH=FC,易证FBCFBH,FAHFAD,BC=BH,AD=AH,由题意AD=DC=4,设BC=TD=BH=x,在RtABT中,AB2=BT2+AT2,x+42=42+4x2,x=1,BC=B
15、H=TD=1,AB=5,设AK=EK=y,DE=z,AE2=AK2+EK2=AD2+DE2,BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,42+z2=2y2,5y2+y2=12+4z2由得到2510y+2y2=58z+z2,代入可得z=代入可得y=负根已经舍弃,SABE=5=,故选D2如图,点P为定角AOB的平分线上的一个定点,且MPN与AOB互补,若MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论：1PM=PN恒成立；2OM+ON的值不变；3四边形PMON的面积不变；4MN的长不变,其中正确的个数为A4B3C2D1解答解：如图作PEOA于E,PFOB于FPEO=PFO
16、=90,EPF+AOB=180,MPN+AOB=180,EPF=MPN,EPM=FPN,OP平分AOB,PEOA于E,PFOB于F,PE=PF,在POE和POF中,POEPOF,OE=OF,在PEM和PFN中,PEMPFN,EM=NF,PM=PN,故1正确,SPEM=SPNF,S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故3正确,OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值,故2正确,MN的长度是变化的,故4错误,故选B3如图,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC
17、于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是A15B30C45D60解答解：由题意得AP是BAC的平分线,过点D作DEAB于E,又C=90,DE=CD,ABD的面积=ABDE=154=30故选B4如图,AD是ABC中BAC的角平分线,DEAB于点E,SABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是A3B4C6D5解答解：如图,过点D作DFAC于F,AD是ABC中BAC的角平分线,DEAB,DE=DF,由图可知,SABC=SABD+SACD,42+AC2=7,解得AC=3故选：A5如图,在ABC中,ABC=50,ACB=60,点E在BC的延长线上,ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D
18、,连接AD,下列结论中不正确的是ABAC=70BDOC=90CBDC=35DDAC=55解答解：ABC=50,ACB=60,BAC=180ABCACB=1805060=70,故A选项正确,BD平分ABC,ABO=ABC=50=25,在ABO中,AOB=180BACABO=1807025=85,DOC=AOB=85,故B选项错误；CD平分ACE,ACD=18060=60,BDC=1808560=35,故C选项正确；BD、CD分别是ABC和ACE的平分线,AD是ABC的外角平分线,DAC=18070=55,故D选项正确故选：B6如图,在ABC中,C=90,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分
19、别在AC、BC边上运动点E不与点A、C重合,且保持AE=CF,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中,有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是A1个B2个C3个D4个解答解：连接CD；ABC是等腰直角三角形,DCB=A=45,CD=AD=DB；AE=CF,ADECDFSAS；ED=DF,CDF=EDA；ADE+EDC=90,EDC+CDF=EDF=90,DFE是等腰直角三角形故正确；当E、F分别为AC、BC中点时,四边形CEDF是正方形故错误；如图2所示,分别过点D,作DM
20、AC,DNBC,于点M,N,可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积,故面积保持不变故错误；DEF是等腰直角三角形,DE=EF,当EFAB时,AE=CF,E,F分别是AC,BC的中点,故EF是ABC的中位线,EF取最小值=2 ,CE=CF=2,此时点C到线段EF的最大距离为EF=故正确；故正确的有2个,故选：B7如图,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B下列结论中不一定成立的是APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP解答解：OP平分AOB,PAOA,PBOBPA=PBOPAOPBAPO=BPO,OA=OBA、B、C项正确设PO与AB相交于E
21、OA=OB,AOP=BOP,OE=OEAOEBOEAEO=BEO=90OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D8如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有A1处B2处C3处D4处解答解：满足条件的有：1三角形两个内角平分线的交点,共一处；2三个外角两两平分线的交点,共三处故选：D9如图,在ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PRAB于R,PSAC于S,则三个结论AS=AR；QPAR；BPRQSP中A全部正确B仅和正确C仅正确D仅和正确解答解：PR=PS,PRAB于R,PSAC于S,AP=APARPASPHLAS=
22、AR,RAP=SAPAQ=PQQPA=SAPRAP=QPAQPAR而在BPR和QSP中,只满足BRP=QSP=90和PR=PS,找不到第3个条件,所以无法得出BPRQSP故本题仅和正确故选B10如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB,PDOB,如果PC=6,那么PD等于A4B3C2D1解答解：过P作PEOA于点E,则PD=PE,PCOBOPC=POD,又OP平分AOB,AOB=30,OPC=COP=15,ECP=COP+OPC=30,在直角ECP中,PE=PC=3,则PD=PE=3故选B二填空题共10小题11如图,已知ABEACF,E=F=90,CMD=70,则2=20度解答解：AME=
23、CMD=70在AEM中1=1809070=20ABEACF,EAB=FAC,即1+CAB=2+CAB,2=1=20故填2012已知ABC中,AB=BCAC,作与ABC只有一条公共边,且与ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出7个解答解：以AB为公共边有三个,以CB为公共边有三个,以AC为公共边有一个,所以一共能作出7个故答案为：713AB是四边形ACBE的对角线,AB=AC,过点C作CDAE交BE于D若AE=DE,ACD=45,BD=1,CD=5,则AE=解答解：连接AD,过A分别作DC、BE的垂线,垂足分别为F、G,过E作EHAD于H,AE=DE,ADE=DAE,CDAE,CDA=DAE
24、,ADE=CDA,AGBE,AFCD,AG=AF,AGD=AFD=90,AD=AD,AGDAFD,DG=FD,AGB=AFC=90,AB=AC,AGBAFC,ABG=ACD=45,FAC=45,FAC=ACF,AF=CF,DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5,设DG=t,则AG=5t,AG=BG=5t,BG=BD+DG=1+t,5t=1+t,t=2,DG=2,AG=3,AD=,在ADE中,AE=DE,EHAD,AH=AD=,在RtAEH中,cosDAE=,在RtADG中,cosADE=,AE=14如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO下列结论：ACBD；CB=C
25、D；ABCADC；DA=DC其中所有正确结论的序号是解答解：ABOADO,AOB=AOD=90,OB=OD,ACBD,故正确；四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,COB=COD=90,在ABC和ADC中,ABCADCSAS,故正确BC=DC,故正确；故答案为15如图,AB=12,CAAB于A,DBAB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动4分钟后CAP与PQB全等解答解：CAAB于A,DBAB于B,A=B=90,设运动x分钟后CAP与PQB全等；则BP=xm,BQ=2xm,则AP=12xm,分两种情况：若BP=AC,
26、则x=4,AP=124=8,BQ=8,AP=BQ,CAPPBQ；若BP=AP,则12x=x,解得：x=6,BQ=12AC,此时CAP与PQB不全等；综上所述：运动4分钟后CAP与PQB全等；故答案为：416如图,ABC中,C=90,CA=CB,点M在线段AB上,GMB=A,BGMG,垂足为G,MG与BC相交于点H若MH=8cm,则BG=4cm解答解：如图,作MDBC于D,延长MD交BG的延长线于E,ABC中,C=90,CA=CB,ABC=A=45,GMB=A,GMB=A=22.5,BGMG,BGM=90,GBM=9022.5=67.5,GBH=EBMABC=22.5MDAC,BMD=A=45,
27、BDM为等腰直角三角形BD=DM,而GBH=22.5,GM平分BMD,而BGMG,BG=EG,即BG=BE,MHD+HMD=E+HMD=90,MHD=E,GBD=90E,HMD=90E,GBD=HMD,在BED和MHD中,BEDMHDAAS,BE=MH,BG=MH=4故答案是：417如图,已知在ABC中,A=90,AB=AC,CD平分ACB,DEBC于E,若BC=15cm,则DEB的周长为15cm解答解：CD平分ACBACD=ECDDEBC于EDEC=A=90CD=CDACDECDAC=EC,AD=EDA=90,AB=ACB=45BE=DEDEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=A
28、B+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm18在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=15,且BD：DC=3：2,则D到边AB的距离是6解答解：BC=15,BD：DC=3：2CD=6C=90AD平分BACD到边AB的距离=CD=6故答案为：619如图,已知RtABCRtDEC,连结AD,若1=20,则B的度数是65解答解：RtABCRtDEC,AC=CD,ACD是等腰直角三角形,CAD=45,DEC=1+CAD=20+45=65,由RtABCRtDEC的性质得B=DEC=65故答案为：6520如图,ABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm点P从A点出发沿AC
29、路径向终点C运动；点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PEl于E,QFl于F则点P运动时间为1或时,PEC与QFC全等解答解：如图1所示；PEC与QFC全等,PC=QC6t=83t解得：t=1如图2所示：点P与点Q重合,PEC与QFC全等,6t=3t8解得：t=故答案为：1或四解答题共15小题21如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,点D是AB的中点,点E是AB边上一点1直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G如图l,求证：AE=CG；2直线AH垂直于CE,垂足为H,交CD
30、的延长线于点M如图2,找出图中与BE相等的线段不需要添加辅助线,并说明理由解答解：1点D是AB中点,AC=BC,ACB=90,CDAB,ACD=BCD=45,CAD=CBD=45,CAE=BCG,又BFCE,CBG+BCF=90,又ACE+BCF=90,ACE=CBG,在AEC和CGB中,AECCGBASA,AE=CG；2BE=CM理由：CHHM,CDED,CMA+MCH=90,BEC+MCH=90,CMA=BEC,又ACM=CBE=45,在BCE和CAM中,BCECAMAAS,BE=CM22如图,已知ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/
31、s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD与CQP全等？解答解：1经过1秒后,PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,ABC中,AB=AC,在BPD和CQP中,BPDCQPSAS2设点Q的运动速度为xx3cm/s,经过tsBPD与CQP全等；则可知PB=3tcm,PC=83tcm,CQ=xtcm,AB=AC,B=C,根据全等三角形的判定定理SAS可知,有两种情况：当BD=PC,BP=CQ时,当BD=CQ,B
32、P=PC时,两三角形全等；当BD=PC且BP=CQ时,83t=5且3t=xt,解得x=3,x3,舍去此情况；BD=CQ,BP=PC时,5=xt且3t=83t,解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为cm/s时,能够使BPD与CQP全等23已知ABC,点D、F分别为线段AC、AB上两点,连接BD、CF交于点E1若BDAC,CFAB,如图1所示,试说明BAC+BEC=180；2若BD平分ABC,CF平分ACB,如图2所示,试说明此时BAC与BEC的数量关系；3在2的条件下,若BAC=60,试说明：EF=ED解答解：1BDAC,CFAB,DCE+DEC=DCE+FAC
33、=90,DEC=BAC,DEC+BEC=180,BAC+BEC=180；2BD平分ABC,CF平分ACB,EBC=ABC,ECB=ACB,BEC=180EBC+ECB=180ABC+ACB=180180BAC=90BAC；3作BEC的平分线EM交BC于M,BAC=60,BEC=90+BAC=120,FEB=DEC=60,EM平分BEC,BEM=60,在FBE与EBM中,FBEEBM,EF=EM,同理DE=EM,EF=DE24如图,四边形ABCD中,B=90,ABCD,M为BC边上的一点,且AM平分BAD,DM平分ADC求证：1AMDM；2M为BC的中点解答解：1ABCD,BAD+ADC=180
34、,AM平分BAD,DM平分ADC,2MAD+2ADM=180,MAD+ADM=90,AMD=90,即AMDM；2作NMAD交AD于N,B=90,ABCD,BMAB,CMCD,AM平分BAD,DM平分ADC,BM=MN,MN=CM,BM=CM,即M为BC的中点25如图,已知1=2,P为BN上的一点,PFBC于F,PA=PC求证：PCB+BAP=180解答证明：如图,过点P作PEBA于E,1=2,PFBC于F,PE=PF,PEA=PFB=90,在RtPEA与RtPFC中,RtPEARtPFCHL,PAE=PCB,BAP+PAE=180,PCB+BAP=18026如图1,OA=2,OB=4,以A点为
35、顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC1求C点的坐标；2如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰RtAPD,过D作DEx轴于E点,求OPDE的值解答解：1如图1,过C作CMx轴于M点,MAC+OAB=90,OAB+OBA=90,则MAC=OBA,在MAC和OBA中MACOBAAAS,CM=OA=2,MA=OB=4,OM=OA+AM=2+4=6,点C的坐标为6,22如图2,过D作DQOP于Q点,则DE=OQOPDE=OPOQ=PQ,APO+QPD=90,APO+OAP=90,QPD=OAP,在AOP和PQD中,AOPPQDAASPQ=OA=2即
36、OPDE=227如图1,ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP1示例：在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是AB=AP、ABAP2将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是BQ=AP、BQAP3将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ你认为2中所猜想的BQ与AP的数量关系和
37、位置关系还成立吗？若成立,给出证明；若不成立,请说明理由解答解：1AB=AP,ABAP；2BQ=AP,BQAP；3成立证明：如图,EPF=45,CPQ=45ACBC,CQP=CPQ,CQ=CP在RtBCQ和RtACP中,RtBCQRtACPSASBQ=AP；延长QB交AP于点N,PBN=CBQRtBCQRtACP,BQC=APC在RtBCQ中,BCQ+CBQ=90,APC+PBN=90PNB=90QBAP28如图,ABC=90,D、E分别在BC、AC上,ADDE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M1求证：FMC=FCM；2AD与MC垂直吗？并说明理由解答1证明：ADE是等腰直
38、角三角形,F是AE中点,DFAE,DF=AF=EF,又ABC=90,DCF,AMF都与MAC互余,DCF=AMF,在DFC和AFM中,DFCAFMAAS,CF=MF,FMC=FCM；2ADMC,理由：由1知,MFC=90,FD=FA=FE,FM=FC,FDE=FMC=45,DECM,ADMC29如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于点E在ABC外有一点F,使FAAE,FCBC1求证：BE=CF；2在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME求证：MEBC；DE=DN解答证明：1BAC=90,AB=AC,B=ACB=45,FCBC,BCF=90,ACF=9045=45,B=ACF,BAC=90,FAAE,BAE+CAE=90,CAF+CAE=90,BAE=CAF,在ABE和ACF中,ABEACFASA,BE=CF；2如图,过点E作EHAB于H,则BEH是等腰直角三角形,HE=BH,BEH=45,AE平分BAD,ADBC,DE=HE,DE=BH=HE,BM=2DE,HE=HM,HEM是等腰直角三角形,MEH=45,BEM=45+45=90,MEBC；由题意得,CAE=45+45=67.5,CEA=1804567.5=67.5,CAE=CEA=67.5,AC=CE,在RtACM和RtEC
