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1、.等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：,称为公比2、通项公式：,首项：；公比：推广：3、等比中项：1如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即：或注意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个2数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：1当时,2当时,为常数5、等比数列的判定方法：1用定义：对任意的,都有为等比数列2等比中项：为等比数列3通项公式：为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列7、等比数列的性质：2对任何,在等比数列中,有。3若,则。特别的,当时,得 注：等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公式；通项公式中项前项和重要性质经典例题透析类型一
2、：等比数列的通项公式例1等比数列中,求.思路点拨：由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得；或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.总结升华：列方程组求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法除式不为零.举一反三：变式1an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。变式2an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。变式3已知等比数列,若,求。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比
3、q.举一反三：变式1求等比数列的前6项和。变式2已知：an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.变式3在等比数列中,求和。类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求.举一反三：变式1正项等比数列中,若a1a100=100; 则lga1+lga2+lga100=_.变式2在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。举一反三：变式1等比数列中,公比q
4、=2, S4=1,则S8=_.变式2已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？变式3等比数列的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.变式4等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.变式5等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,
5、应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：变式1一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.变式2已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。变式3有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第
6、二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5=n,求出数列an的通项公式,并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断an类型.举一反三：变式1已知数列Cn,其中Cn=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列,求常数p。答案p=2或p=3；证明设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq变式3判断正误：an为等比数列a7=a3a4；若b2=ac,则a,b,c为等比数列；an,bn均为等比数列,则anbn为等比数列；an是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列；若a,b,c成等比
7、,则logma,logmb,logmc成等差.类型七：Sn与an的关系例7已知正项数列an,其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：变式命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b,则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1等比数列中,求.思路点拨：由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得；或注意到下标,
8、可以利用性质可求出、,再求.解析：法一：设此数列公比为,则由得：.由得：, .得：, ,解得或当时,；当时,.法二：,又,、为方程的两实数根,或 , 或.总结升华：列方程组求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法除式不为零.举一反三：变式1an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。答案96法一：设公比为q,则768=a1q8,q8=256,q=2,a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2,a6=96。变式2an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。答案64
9、；,又an0,a45=4。变式3已知等比数列,若,求。答案或；法一：,从而解之得,或,当时,；当时,。故或。法二：由等比数列的定义知,代入已知得将代入1得,解得或由2得或 ,以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析：若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而=0,因q31,故,所以。举一反三：变式1求等比数列的前6项和。答案；,。变式2已知：an为等比数列,a1a2a3=27,S3=
10、13,求S5.答案；,则a1=1或a1=9.变式3在等比数列中,求和。答案或2,；,解方程组,得 或将代入,得,由,解得；将代入,得,由,解得。或2,。类型三：等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求.解析：是等比数列,举一反三：变式1正项等比数列中,若a1a100=100; 则lga1+lga2+lga100=_.答案100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51原式=lg50=50lg=50lg100=100。变式2在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。答案216；法一：设这个等比数列为,其公比为,
11、。法二：设这个等比数列为,公比为,则,加入的三项分别为,由题意,也成等比数列,故,。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨：等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn,b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n易知b1,b2,b3成等比数列,S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：,由已知得得,即代入得,。法
12、三：为等比数列,也成等比数列,。举一反三：变式1等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=_.答案17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4=S4+q4S4=S4=1=17变式2已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？答案130；法一：S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,2=S10 即302=10,S30=130.法二：2S10S20, ,.变式3等比数列的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.答案,=80.=6560.,得：1+qn=82,qn
13、=81.该数列各项为正数,由知q1an为递增数列,an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.代入得,q=3,n=4.变式4等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.答案4；令b1=a1+a2=a1,b2=a3+a4=a1q2,b3=a5+a6=a1q4,易知：b1, b2, b3成等比数列,b3=4,即a5+a6=4.变式5等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。答案448；an是等比数列,=q3,q3=8, a7+a8+a9=q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用
14、例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列,a-d, a-4, a+d成等比数列.由得a=.由得32a=d2+32d.代消a,解得或d=8.当时,；当d=8时,a=10原来三个数为,或2,10,50.法二：设原来三个数为a, aq, aq2,则a, aq,aq2-32成等差数列,a, aq-4, aq2-32成等
15、比数列由得,代入解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时.原来三个数为2,10,50或,.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：变式1一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.答案为2,6,18或；设所求的等比数列为a,aq,aq2；则 2=a+aq2,且2=a；解得a=2,q=3或,q=
16、-5；故所求的等比数列为2,6,18或.变式2已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。答案1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1设这三个数分别为,由已知得得,所以或,即或故所求三个数为：1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1。变式3有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.答案0,4,8,16或15,9,3,1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x由得x=3y-12,代入得144-24y+y2=y144-24y+y2=-3y2+28y,4y2-52y+144
17、=0, y2-13y+36=0, y=4或9, x=0或15,四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足：log5=n,求出数列an的通项公式,并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断an类型.解析：log5=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1 , a1=S1=51-1=4,当n2时,an=Sn-Sn-1=-=5n-5n-1=5n-1=45n-1而n=1时,45n-1=451-1=4=a1,nN+时,an=45n-1由上述通项公式,可知an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三
18、：变式1已知数列Cn,其中Cn=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列,求常数p。答案p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比数列,对任意nN且n2,有2=Cn=2n+3n,-p2=-p-p即2n+3n2=2n+1+3n+12n-1+3n-1整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn0,故p=2或p=3为所求.变式2设an、bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.证明设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq为证Cn不是等比数列,只需证.,又 pq, a10, b10,即数列Cn不是等比数列.变式3判断正误：an为等比数列a7=a3a4；若b
19、2=ac,则a,b,c为等比数列；an,bn均为等比数列,则anbn为等比数列；an是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列；若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差.答案错；a7=a1q6,a3a4=a1q2a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同；错；反例：02=00,不能说0,0,0成等比；对；anbn首项为a1b1,公比为q1q2；对；错；反例：-2,-4,-8成等比,但logm无意义.类型七：Sn与an的关系例7已知正项数列an,其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an.解析：, ,解之得a1=2或a1=3.又, 由-
20、得,即an+an-10,an-an-1=5.当a1=3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列a13；当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,a1=2,an=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：变式命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b,则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为个.答案0；由命题1得,a1=a+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=an-1.若an是等比数列,则,即,所以只有当b=-1且a0时,此数列才是等比数列.由命题2得,a1=a-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=a-1,显然an是一个常数列,即公差为0的等差数列,因此只有当a-10,即a1时数列an才又是等比数列.
